2024年山西省长治市长子县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3． 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. ﹣2相反数是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，刀工别致，被国务院批准列入国家非物质文化遗产．下面是在某砖雕艺术博物馆中陈列的几幅图片，其中砖雕图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁．下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在矩形中，若点D的坐标为，则对角线的长为（ ）
A. 4B. 5C. D.
6. 如图，中，平分，将沿射线平移，当点D与点C重合时，交于点E，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，是的直径，过点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 山西拥有悠久的历史和丰富的文化资源，是中国古代文化艺术的重要发源地之一，其中壁画艺术在中国文化史上傲绝孤峰．某校课外兴趣小组设计了4张壁画艺术宣传卡片，小文将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片正面的图案恰好是“永乐宫壁画”和“云冈石窟壁画”的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 无人配送以其高效、安全、低成本等优势正在成为物流行业的新趋势，某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量比1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍多30件．某天该物流园区共有8000件包裹，2辆无人配送车和5名快递员合作恰好能配送完，问1名快递员平均每天配送多少件包裹？设1名快递员平均每天配送x件包裹，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为，则绿化带的面积为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是______．
12. 下图是一组有规律的图案组成的“小鱼”图形，它由若干根火柴棒组成．第1个图案由8根火柴棒组成，第2个图案由14根火柴棒组成，第3个图案由20根火柴棒组成，第4个图案由26根火柴棒组成…依此规律，第n个图案由______根火柴棒组成（用含n的代数式表示）．
13. 学习完生物课《血液》知识后，生物兴趣小组发现医生通常嘱咐“四小时后方可继续服药”是与药物在血液中的浓度有关的．课后查阅资料获取到下列信息：成人服用某一药物后血药浓度变化如图所示，刚开始血药浓度逐渐升高，达到最大值后开始逐渐下降，下降过程中血药浓度是服药时间x（h）的反比例函数，点在该反比例函数图象上，当血药浓度为时，药物几乎失效，则需要服用此种药物的成人______h后服药更合理．
14. 如图，中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B，C的对应点分别为点，，与交于点D，当时，旋转角______．
15. 如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组，并把该不等式组的解集在数轴上表示出来．
17. 如图，，且，．
（1）尺规作图：过点D作，垂足为点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，判断和的数量关系，并说明理由．（如果未完成第1问的作图，可以作草图完成此问）
18. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．

经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数．

（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为，宽为，露出水面高度为的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为多少米．

19. 某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下：
（1）求扇形统计图中成绩为“5~7分”所占扇形的圆心角度数；
（2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由．
（3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据．
根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？
20 项目化学习
问题提出：
山西省位于中国北方，地理坐标为北纬，东经，气候属于温带大陆性气候，夏季高温多雨，冬季寒冷干燥．太原某小区居民楼窗户朝南，窗户高度为2米，一年中正午时刻太阳光线与地平面最小夹角为，最大夹角为．某居民想为窗户设计遮阳棚，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．请帮该居民完成设计．
下面是某学习小组的设计：
问题探究：
第一步：拍照，模拟设计遮阳棚需要遮挡的光线，如图1所示；
第二步：抽象数学模型，设计示意图，分析已知条件和要求的数据．
如图2，AB代表窗户的高，CD代表遮阳棚的宽，，，为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最小夹角时的光线．
问题解决：
请求出此居民楼需要设计的遮阳棚的宽．（结果精确到．，，，）
21. 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务．
（1）材料中的依据为______；
（2）把材料中的证明过程补充完整；
（3）古希腊数学家帕普斯在梅文鼎证法的基础上进行了改进，如图（3），中，，，以为边作和，且中边的高为2，的面积为6，延长交于点R，连接并延长，过点B作，且，再以为边作．请直接写出中边的高．
22. 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点，且点P的横坐标为m．
（1）直接写出点A，C的坐标，及抛物线和直线的表达式；
（2）如图2，若点P在第三象限，连接，，用含m的代数式表示的面积；
（3）连接，若，直接写出点P的坐标．
23 综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度．
x/米
0
1
3
4
y/米
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
平均数
众数
中位数
方差
李敏
5
9
9
8
9
8
9
9
张颖
8
8
8
8
8
8
从毕达哥拉斯到帕普斯
毕达哥拉斯从地板的结构中发现了直角三角形的三边关系——勾股定理，之后相继有很多数学家及数学爱好者都用面积割补法给出了验证．如我国三国时期的数学家赵爽，美国第二十任总统加菲尔德等．
欧几里得在《几何原本》中第一次在公理体系下给出了以三角形为“桥梁”证明勾股定理的方法：如图（1），过点A作，交于点M，连接．
先证明，所以．
又因为，，
所以．
同理得，则，
即．
之后，我国清代数学家梅文鼎在欧几里得证法基础上，进行了“改进”，以平行四边形作为“桥梁”进行了证明．如图（2），延长交于点P，连接并延长分别交于点M，N，延长交于点Q．
梅文鼎的证法如下：由题可知，四边形为矩形，∴．
∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，．
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵．
∴．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∴四边形为平行四边形（依据______）
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，．
∴．……