广东省江门市蓬江区省实学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分120分，考试用时120分钟．
第一部分选择题 (共30分)
一、选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)
1. 已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条
【答案】A
【解析】
【分析】在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此即可得到答案．
【详解】解：∵在同一平面时，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，
∴过点P画直线l垂线，画1条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂线，解题的关键是审清题意是否规定在平面内，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2. 在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义（具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角）解决此题．
【详解】解：A．根据对顶角的定义，∠1与∠2不具有共同的顶点，不是对顶角，不符合题意．
B．根据对顶角的定义，∠1与∠2具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，符合题意．
C．根据对顶角的定义，∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意．
D．根据对顶角的定义，∠1与∠2不具有共同的顶点，不是对顶角，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解决本题的关键．
3. 如图，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”得出B能判断，A、C、D不能判断；即可得出结论．
【详解】能判断直线AD∥CB的条件是∠1=∠4；理由如下：
∵∠1=∠4，
∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）；
A、C、D不能判定AD∥CB；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．原方程组为三元一次方程组，故A不符合题意；
B．原方程组为分式方程组，故B不符合题意；
C．原方程组为二元一次方程组，故C符合题意；
D．原方程组为二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
5. 下列命题中真命题是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. 若两个角的和为，则这两个角互补
C. 若，满足，则
D. 同位角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握定理是解题的关键．利用对顶角的定义，互补的定义，开平方的定义及平行线的性质分别判断即可．
【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意；
若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题，故选项B符合题意；
若，满足，则，故原命题错误，是假命题，故选项C不符合题意；
两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意；
故选B．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根、绝对值，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值性质．根据算术平方根的定义、绝对值的性质逐一计算可得．
【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 在下列实数，，，，，((相邻两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0，等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有（相邻两个1之间依次多一个2)，共有3个．
故选：C．
8. 若点A(2，n)在x轴上，则点B(n＋2，n－5)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵点A（2，n）在x轴上，
∴n=0，
∴点B（n+2，n-5）为（2，-5），在第四象限．
故选：D．
9. 如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，利用平行线的性质可得，则可求得，可求得，即可求的度数．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
．
故选：A
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
10. 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上．则下列结论：
①∠NOA＝30°；
②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA；
③图中有4对互余的角；
④货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．
其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据方位角的意义、互余意义结合图形逐个进行判断，最后得出答案．
【详解】由方位角意义可知：∠NOA＝30°，因此①正确；
根据题意可求出；∠NOB＝120°，∠SOB＝60°，∠EOA＝60°，因此②正确；
图中互余的角有：∠NOA和∠AOE，∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE，∠BOE和∠BOS，因此③正确；
根据方位角，海岛B在轮船O南偏东60°方向，即∠BOS＝60°，也就是∠BOE＝30°，反之货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．因此④正确；
综上所述，正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】考查方位角的概念，互余的意义以及角度的有关计算等知识，理解方位角的意义和角度的计算是正确解答的前提．
第二部分非选择题(90分)
二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分．)
11. （1）的平方根是_________；（2）若，则_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根，立方根的定义，进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴的平方根为；
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，立方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根，立方根的定义是解题的关键．
12. 如图，直线a，b相交，，则的度数为____________________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查了邻补角和对顶角的知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错．根据图形以及，可求出和的值，进而能得出的值．
【详解】解：由图形可得：，
，
故答案为：．
13. 线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点，则点的对应点N的坐标是____________．
【答案】（−6，2）
【解析】
【分析】首先根据E点的对应点为M可得点的坐标的变化规律，则点F的坐标的变化规律与E点的坐标的变化规律相同即可．
【详解】解：∵点E（−1，3）的对应点为M（−4，7），
∴E点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点M，
即E点是横坐标−3，纵坐标＋4得到得到点M的横坐标和纵坐标，
∴点F（−3，−2）的对应点N坐标为（−3−3，−2＋4），
即（−6，2）．
故答案为：（−6，2）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握把一个图形平移后，各点坐标的变化规律都相同．
14. 如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，设小长方形瓷砖的长和宽分别为和，则列出的方程组为_________________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的长可以表示为，长又是，故，整理得，长方形的宽可以表示为，或，故，联立两个方程即可．
【详解】解：根据图示可得：，
故答案为：．
15. 定义运算“*”，规定,其中为常数，且，则=___．
【答案】10
【解析】
【详解】解：将两组数据代入代数式可得：，
解得：，
则x*y=+2y，则2*3=4+6=10．
考点：二元一次方程组的应用
三、解答题(本大题9小题，共75分．)
16. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的应用．应用加减消元法，求出方程组的解即可；
【详解】解：
，得，解得，
将代入①可得，，解得，
则方程组的解为．
17. 计算
【答案】
【解析】
【分析】直接根据有理数的乘方，算术平方根，立方根以及绝对值的性质化简各项，再进行加减运算得出答案．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
18. 如图在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣5，1），C（﹣1，3）．现将△ABC平移后得到△A′B′C′，已知△ABC内一点P（a，b）平移后的对应点P′坐标为（a＋5，b﹣4）．
（1）直接写出点A′、B′、C′的坐标；
（2）在平面直角坐标中画出△A′B′C′，并求出△A′B′C′的面积．
【答案】（1）A′（1，0），B′（0，﹣3），C′（4，﹣1）；（2）见解析，5
【解析】
【分析】（1）利用平移规律，解决问题．
（2）利用描点法作图即可，根据割补法求出面积即可．
【详解】解：（1）∵点P（a，b）平移后的对应点P′坐标为（a+5，b-4）．
即向右平移5个单位，向下平移4个单位，
∴A（﹣4，4）平移后的坐标为A′（﹣4+5，4－4）即A′（1，0），
同理可得：B′（0，﹣3），C′（4，﹣1）；
（2）如图，△A′B′C′即所求作，
∴S△A′B′C′=5．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19. （1）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一个正数x的平方根分别是和，求x的值．
【答案】（1）；（2）x的值为9．
【解析】
【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值；
（2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值．
【详解】解：（1）由题意可得：
，
解得：；
（2）由题意可得：
，
解得：，
∴x的值为9．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键．
20. 列方程组解应用题：
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【答案】黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
【解析】
【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
【详解】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
,
解得.
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
21 如图，已知，．

（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，平分，于点，求的度数．
【答案】（1），详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据可得，进而可得，可证明，即可得出结果；
（2）根据平分可得出，根据得出，即可求出的度数．
【小问1详解】
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵.平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能够得出是解本题的关键．
22. 先观察下列各式4；
（1）计算：
（2）已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
（3）应用上述结论，请计算的值．
【答案】（1）6 （2）
（3）52
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于．
（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案；
（2）利用以上所得规律可得；
（3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得
【小问1详解】
解：，
故答案为：6；
【小问2详解】
，
故答案为：；
【小问3详解】
．
23. 某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
（3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
【答案】（1）1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨
（2）租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆
（3）最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆
【解析】
【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．
（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；
（2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．
（3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可．
【小问1详解】
解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨；
【小问2详解】
∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，
，
则有，
解得：，
∵为正整数，
．
∵为正整数，
∴，
∴．
∴满足条件的租车方案一共有3种，
即租用型车4辆，型车9辆，
租用型车9辆，型车6辆，
租用型车14辆，型车3辆．
【小问3详解】
∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次，
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元．
，
∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆．
24. 如图，在直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接．
（1）写出点的坐标；
（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
（3）设，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）①点在线段上，；②点在线段延长线上，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质对应边相等且平行以及坐标系中点的坐标求解即可；
（2）分类讨论：①当点在线段上时，利用等高三角形面积之比等于底边之比可得，设列方程求解即可；②当点在的延长线上时，同样利用等高三角形面积之比等于底边之比可得，设列方程求解即可；
（3）分类讨论：过点作，根据平行线的性质内错角相等得到，①当点在线段上时，利用角的和差计算即可；②点在线段延长线上，利用角的和差计算即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点作轴，过点作轴，
∵由平移所得，
，
；
【小问2详解】
设，当的面积是的面积的3倍时，
若点在线段上，
，
，
，
；
若点在线段延长线上，
，
，
，
【小问3详解】
如图2，过点作，交于点，
由平移的性质知，
，
，
若点在线段上，
，
即；
若点在线段延长线上，
，
即．
【点睛】本题主要考查平移的性子，平行线的性质以及坐标系中点的坐标，熟练掌握平移的性质，并能够通过添加辅助线构造平行线是解决本题的关键．批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
A型车（满载）
B型车（满载）
运货总量
3辆
2辆
38吨
1辆
3辆
36吨