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广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试（一模）数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试（一模）数学试题（原卷版+解析版），文件包含广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试一模数学试题原卷版docx、广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知公式，根据此公式，（ ）
A. B. C. D.
2. 设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
3. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
5. 已知，，则等于（ ）
A B. C. D.
6. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
A. -2B. -1C. D.
7. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰必须安排在甲区域.在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上的最大值为2
D. 若为偶函数，则
10. 掷一枚质量均匀的骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则直线恒过定点
C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________．
13. 已知正四面体中，，，，记三棱锥和三棱锥的体积分别为、，则______．
14. 设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
16. 在中，已知，，分别为角，，的对边．若向量，向量，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等比数列，求的值．
17. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.
（1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）
附：，.
18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. 约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）．
（1）当时，若正整数个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若，，…，构成等比数列，求证：；
（3）记，求证：．
3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知公式，根据此公式，（ ）
A. B. C. D.
2. 设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
3. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
5. 已知，，则等于（ ）
A B. C. D.
6. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
A. -2B. -1C. D.
7. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰必须安排在甲区域.在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上的最大值为2
D. 若为偶函数，则
10. 掷一枚质量均匀的骰子，记事件：掷出的点数为偶数；事件：掷出的点数大于2．则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则直线恒过定点
C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________．
13. 已知正四面体中，，，，记三棱锥和三棱锥的体积分别为、，则______．
14. 设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
16. 在中，已知，，分别为角，，的对边．若向量，向量，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等比数列，求的值．
17. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.
（1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）
附：，.
18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. 约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）．
（1）当时，若正整数个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若，，…，构成等比数列，求证：；
（3）记，求证：．
3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
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