广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A
2. 若，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由不等式的性质可知，当时，则，不等关系一定成立，符合题意；
B、由不等式的性质可知，当时，则，原不等关系不成立，不符合题意；
C、由不等式的性质可知，当，且时，则，原不等关系不一定成立，不符合题意；
D、由不等式的性质可知，当，且时，则，原不等关系不一定成立，不符合题意；
故选：A．
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．根据完全平方公式和平方差公式逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故选：B．
4. 如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（ ）
A. 10B. 16C. 8D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
由题意知，，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
5. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若，则的逆命题是若，则，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；
它们的逆命题是真命题的个数是3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了逆命题的判定，平行线的性质，绝对值的意义，直角和对顶角的概念，理解相关性质是关键．
6. 如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3图象交于点P（1，2），则关于不等式x+bkx+3的解集是（ ）
A. x0B. x0C. x1D. x1
【答案】C
【解析】
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数的图象都在的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
【详解】解：当x＞1时，函数的图象都在的图象上方，
则x+b＞kx+3，
即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是由函数的图像在平面直角坐标系内的高低位置来确定自变量的取值范围，掌握数型结合是解题的关键．
7. 如图，在已知的中，按以下步骤尺规作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N；② 作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据作图可知垂直平分线段，则，然后利用等边对等角和三角形外角的性质求出即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换，注意旋转的不变性是解题的关键．
由旋转得对应角，对应边相等，利用等边对等角及外角即可求解．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，
∴，
∴，
∴在中，,
∵，
∴
故选：B．
9. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是理解不等式组解集的取法．根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，可得答案．
【详解】解：解关于x的不等式组，
由①得：，
由②得：，
不等式无解，
，
．
故选：A．
10. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案．
详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时最小，即此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，，
同理可得，则，
∴，
∴当取得最小值时，的度数为，
故选：D．
二. 填空题（共5小题）
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法分解因式；提出公因式x即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为4cm，那么该等腰三角形的腰长为_____cm．
【答案】6
【解析】
【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
4cm是腰长时，底边为16-4×2=8，
∵4+4=8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它腰长为6cm．
故答案为6.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与三角形的三边关系.
13. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 ____．
【答案】．
【解析】
【分析】设CE＝x，由题意可得BE＝AE＝AC+CE＝3+x，然后再在Rt△ACE中运用勾股定理求得x，进而求得BE．
【详解】解：设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△ACE中，
∵BE²＝BC²+CE²，
∴（3+x）²＝4²+x²，
解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
故填．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理解直角三角形等知识点，掌握垂直平分线的性质并掌握运用勾股定理列方程的方法成为解答本题的关键．
14. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出，根据，均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得．
【详解】解：解方程，得：，
解方程，得：，
由，得：，
由，得：，
∵，均是不等式组的解，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是新定义问题，涉及解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 如图，点P是等边的边的中点，点M 是内一点，且，连接，线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接，若，当的长是_______ 时 ，最短．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，可证明，得，由，点P是的中点，得，，则，根据勾股定理求得，由，且，得，可证明当点M在上时，最短，则最短，此时，于是得到问题的答案．
【详解】如图1，连接、，
∵是等边三角形，
∴，，
由旋转得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴当点M在上时，，此时最短，则最短，
如图2，点M在上时，则，
∴当的长是时，最短，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三. 解答题（共7小题）
16. 分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）（
【解析】
【分析】此题考查了整式的因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）利用提公因式法因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①，得：
解不等式②，得
故不等式组的解集为：．
18. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，．
（1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）平移得到，若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点坐标是 ；
（3）若将绕某一点旋转可以得到，请在坐标系中作出旋转中心的坐标为 ；
（4）在x 轴上有一点P，使得的值最小，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了作图—作图形的旋转、图形的平移、轴对称—最短路线问题，熟练掌握旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质是关键．
（1）作出A、B、C三点关于原点的中心对称点，并依次连接即可；
（2）由A点及其对应点的坐标可确定平移，根据平移即可确定点B的对应点坐标；
（3）分别连接相交于点，则此点就是旋转中心，由中点公式即可求得旋转中心的坐标；
（4）取点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接，则可确定点P的位置；利用待定系数法求出直线的解析式，即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：如图，A、B、C三点关于原点的中心对称点的坐标分别为，依次连接这三点得到旋转后对应的；
【小问2详解】
解：∵点A的对应点的坐标为，
∴平移为向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴点B的对应点坐标，
故答案为：；
【小问3详解】
解：分别连接相交于点，则点就是旋转中心，其坐标为；
故答案为：；
【小问4详解】
解：取点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接，
则最小；
设直线的解析式为，
由（2）知，C点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，对应点
则，
把点及代入中，得：，
解得：，
即；
令，得，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若,，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查旋转性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
20. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键．
（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可．
小问1详解】
设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
【小问2详解】
设购进腊梅m束，则购进百合束，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
此时（束）．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
21. 阅读理解：
【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”．
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点．
（1）已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）．
（2）若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标；
（3）当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．
【答案】（1）B，C，E；B
（2）H点的坐标为
（3）P点的坐标为或
【解析】
【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键．
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．
【小问1详解】
∵，
∴
∴B是线段的等距点；
∵，
∴
∴C是线段的等距点；
∵，
∴
∴D不是线段的等距点；
∵，
∴
∴E是线段的等距点；
∵
∴，
∴B是线段的完美等距点；
【小问2详解】
∵点是直线上一动点
∴
∴
∴
∵点P 在第三象限，
∴
设H的坐标为
∴
∵
∴，解得：
∴H的坐标为
【小问3详解】
存在；
∵点N是线段的“等距点”， 点A 的坐标为，
∴
∴设N的坐标为
∵点是直线上一动点
∴
∴，，
∵点N为线段的“完美等距点”，
∴
∴，解得
∵点N为线段的“完美等距点”，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∵，
∴，解得或
当时，
当时，
∴P点的坐标为或；
22. 综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．
因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知和都是等腰直角三角形，且．
【初步探究】（1）小鸣将绕点A 在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若，旋转过程中，当点D、点 E 和的中点O 三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若，则____ （ 直接写出结果）；
【拓展探究】（4）如图3，当，，则（ 直接写出结果）
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）．
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得；
（3）由直角三角形的性质可分别求得，进而求得，由即可求得结果；
（4）过A作于G，过B作于F；在中，可求得的长；设，在中，由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理求得，从而可求得．
【详解】（1）解：；
理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）；
理由如下：
如图，过C作，
则；
∵O为的中点，
∴；
在和中，
，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
由（1）知，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴；
由勾股定理得，
∴；
（3）∵，
∴，
由勾股定理得：，
由勾股定理得：；
由（2）知，，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
（4）解：如图，过A作于G，过B作于F；
∵
在中，，
∴，
由勾股定理得；
∵，
∴；
设，
由（1）知，，则，
∴，
在中，由勾股定理得：
即，
解得：，（舍去），
∴；
由勾股定理得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键．