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江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷原卷版docx、江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，共4页时间120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A 3B. C. D.
4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
5. 质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A. 4B. C. 3D.
7. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A 1B. 3C. 5D. 7
8. 已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A. 有且只有一个极值点B. 在上单调递增
C. 存在实数，使得D. 有最小值
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B. 两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知一系列样本点（）回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则
10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. D.
11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
图1 图2 图3
A.
B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为3
C. 点到直线的距离是
D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则______.
13. 设数列的前项和为，，，，则______.
14. 已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为，，，满足.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
16. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中
18. 设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.
19. “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.
（1）证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；
（2）已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：
（3）求证：.
材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，共4页时间120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A 3B. C. D.
4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
5. 质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A. 4B. C. 3D.
7. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A 1B. 3C. 5D. 7
8. 已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A. 有且只有一个极值点B. 在上单调递增
C. 存在实数，使得D. 有最小值
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B. 两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知一系列样本点（）回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则
10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. D.
11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
图1 图2 图3
A.
B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为3
C. 点到直线的距离是
D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则______.
13. 设数列的前项和为，，，，则______.
14. 已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为，，，满足.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
16. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中
18. 设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.
19. “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.
（1）证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；
（2）已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：
（3）求证：.
材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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