陕西省西安市曲江第一学校2023-2024学年中考五模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项符合题意）
1. 计算：（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂的运算，，根据公式进行计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2. 如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，有1个立方块；中间有2竖列，其中1列有2个立方块；右边是1竖列，有1个立方块；结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，其中1列有2个立方块，右边是1竖列．
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方以及完全平方公式，根据积的乘方，合并同类项和完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．与不是同类项，不能合并，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
4. 如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接延长CB，交格点于点M，连接AM，进而利用勾股定理逆定理得出△AMC是直角三角形，进而求出答案．
【详解】解：延长CB，交格点于点M，连接AM，
∵AM2=2，CM2=8，AC2=10，
∴AM2+CM2=AC2，且
∴△AMC是直角三角形，
∴∠ACB的余弦值为：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．
5. 在平面直角坐标系中，直线与关于直线对称，若直线的表达式为，则直线与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解与轴交点坐标，再求解关于的对称点的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图， ，
令 令

作关于直线对称的点
直线与关于直线对称，即上图中的直线与直线关于直线对称，



所以直线与y轴的交点坐标为：
故选：
【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．
6. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，识别出为斜边上的中线是解题关键．
根据菱形的面积和性质求出的长度，再结合和菱形的性质识别出为斜边上的中线，即可得出结果．
【详解】解：菱形的对角线，相交于点O，，
∴，，．
∵，
∴．
∵于点H，
∴为斜边上的中线．
∴．
故选：C．
7. 如图，的半径为10，为的内接三角形，，连接并延长，交于点D，连接，，若，则劣弧的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长公式，等腰三角形的性质，圆周角定理，连接，设，则，通过圆周角定理得，根据等腰三角形的性质得，列出关于x的方程，便可求得，进而根据圆弧长公式求得结果．
【详解】解：如图，连接，
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距10个单位长度若其中一条抛物线的函数表达式为，则m的值是（ ）
A. 14B. C. D. 4或14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于轴对称的点和抛物线的关系．
根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于的方程，解方程即可求得．
【详解】解：一条抛物线的函数表达式为，
这条抛物线的顶点为，
关于轴对称的抛物线的顶点，
它们的顶点相距10个单位长度．
，
，
当时，，
当时，，
的值是或．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若分式无意义，则的值是_________.
【答案】-3
【解析】
【详解】分析：根据分式无意义的条件：分母为0，解不等式即可.
详解：由题意可得x+3=0，解得x=-3.
故答案为-3.
点睛：此题主要考查了分式无意义的条件，关键是明确分式的意义，分式有意义，无意义，分式的值为0的条件.
10. 一个正多边形的一个外角为，边长为4，则这个正多边形的弦心距是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角和、等边三角形的判定与性质，勾股定理等，先根据多边形的外角和是360度求出该多边形是正六边形，再判定是等边三角形，过点O作，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵一个正多边形的一个外角为，
∴该多边形的边数为：，即该多边形是正六边形，
如图所示，过点O作于点C，
∵该多边形是正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案：．
11. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，，且C、D两点都是的黄金分割点，若，则的长是___________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出．
根据黄金分割的定义可得：，，从而可，故可求得的长．
【详解】∵C、D两点都是的黄金分割点，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，那么的值为___________．
【答案】32
【解析】
【分析】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
设正比例函数的解析式为，联立反比例函数，根据一元二次方程根与系数的关系进行求解．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，联立反比例函数，得到
由题意可知，为一元二次方程的两个解，
则：，
．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，，点E、F分别是、上的点，连接、、，且，则面积的最大值为___________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查二次函数的几何问题，解直角三角形，勾股定理等知识，遇到几何图形中的最值问题，要考虑能否转换为求二次函数的最值问题．
过点A作于点G，过点F作于点H，先计算、和 的长，可得，设，则，，，
分别表示出、和，根据代入整理，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】如图，过点A作于点G，过点F作于点H，
∵，
∴，则，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
，
则
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，面积有最大值，最大值为
故答案为：20．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算负整数指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解两个不等式，再找出其解集的公共部分即可．
【详解】解：解得，，
解，得，
∴该不等式的解集为．
16. 解方程：
【答案】无解
【解析】
【分析】解：去分母：方程两边同时乘以x-2，得
1-x=-1-2（x-2）
1-x="-1-2x+4
X="2
检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2不是原方程的解．
∴原方程无解．
【详解】请在此输入详解！
17. 如图，已知，请你利用尺规在边上求作一点，使得．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】本题主要考查作角等于已知角，相似三角形的判定与性质．作，利用相似三角形的判定和性质可得到．
【详解】解：点如图所示，
，，
，
∴．
18. 如图，在中，于点C，且，点E是边上一点，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，直接根据已知证明，得到，即可证明．
【详解】证明：在和中，
∴，
∴，
∴．
19. 某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率为．已知商品的进价为2000元，那么这种商品的原价是多少？
【答案】这种商品的原价是2750元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设这种商品的原价为x元，根据利润率为，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这种商品的原价为x元，根据题意得：
，
解得：，
答：这种商品的原价是2750元．
20. 如图，小妍同学做了一个可以自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字，她邀请小嘉同学一起玩游戏，规则如下：转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形得到对应的数字（若指针恰好指在分隔线上，则重转一次，直到指针指向某一个数字为止）．
（1）求小妍转动一次转盘转到数字2概率；
（2）小妍同学先转动一次，然后小嘉同学同样转动转盘，再将两人转动的数字相加，如果两个数字的和是奇数则小妍同学胜，否则小嘉同学胜．请利用画树状图或者列表格的方法判断这个游戏对两人公平么？
【答案】（1）小妍转动一次转盘转到数字2的概率为；（2）这个游戏对两人不公平．
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，分别求出小妍同学胜和小嘉同学胜的概率，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵自由转动的均匀转盘，转盘均分为三等份，分别标有1，2，3三个数字，
∴小妍转动一次转盘转到数字2的概率为；
（2）根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的情况数，两个数字和是奇数的有4种，
则小妍同学胜的概率是；
∴小嘉同学胜的概率是，
∵，
∴这个游戏对两人不公平．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏公平性判断、概率公式等知识；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 为弘扬宪法精神，增强学生的法律意识，铁一曲江开展了一次以“宪法在心中”为主题的知识竞答题，共20道题赛后，学校团委为了解学生的成绩，分别从七、八年级中各随机抽取了10名学生，并对他们答对的题量进行整理，描述和分析部分信息如下：
抽取的七年级学生答对的题量：
9 15 12 20 14 13 15 15 17 18
抽取的八年级学生答对的题量的频数分布直方图如下：
（数据分成四组：）：
其中在这一组的数据为15，14，12．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的八年级学生答对的题量的中位数为___________；
（2）求抽取的七年级学生答对的题量的平均数和众数；
（3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，请你估计学校七、八年级学生答对的题量不低于15道的学生总人数？
【答案】（1）
（2）平均数为14.8；众数为15
（3）600
【解析】
分析】（1）将数据从小到大排列，即可求出中位数；
（2）根据平均数以及众数的定义即可求解；
（3）先得到样本中七、八年级学生答对的题量不低于15道的学生比例，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题可知，八年级的处于第五、六位的数为14、15，
故中位数为；
【小问2详解】
解：由七年级的数据可知，众数为；
平均数；
【小问3详解】
解：样本中七、八年级答对题量不低于15道的学生比例，
总体中七、八年级答对题量不低于15道的学生人数．
【点睛】本题主要考查中位数，众数，平均数，用样本估计总体，掌握相关概念以及方法是解题的关键．
22. 已知A、B两地之间有一条长300千米的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）a的值为___________；
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车相距150千米时，求甲车行驶的时间．
【答案】（1）600 （2）
（3）小时或小时
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象可知甲车行驶2小时行驶所走路程为100千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为300千米，根据两车同时到达各自的目的地可得；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，甲车的速度为：（千米时）；
，
故答案为：600；
【小问2详解】
设与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过，，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
乙车的速度为：（千米时），
两车相遇前：，解得；
两车相遇后：，解得．
答：当甲、乙两车相距150千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．
23. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）
【答案】米．
【解析】
【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】解：作于点，设米，
在中，，
则（米，
∵，且AE=8
∴
∴
在直角中，米，
在直角中，，
米．
，即．
解得：，
则米．
答：的高度是米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. 如图，是的直径，点C是⊙O上一点，且，平分交于点D，过点D作的平行线，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接．根据直径所对的圆周角是直角得，再根据角平分线得，进而得，又由，从而根据平行线的性质得，于是，得，根据切线的判定即可证明结论成立；
（2）如图，过点作于点，连接，先证明四边形是正方形，得到的长，再根据是等边三角形，得到的长，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明，如图，连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线．
【小问2详解】
如图2，过点作于点，连接，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∵，
∴
则，
∴，
∴，
∴，则
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
25. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
（1）求抛物线L的表达式．
（2）若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出抛物线的表达式：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质确定平移方式，再根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：．
抛物线L的表达式为；
【小问2详解】
解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
点，点，
，
如图，当四边形为菱形时，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形，
， ，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
∵
∴抛物线的表达式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26. （1）如图①，半径为4的⊙O外有一点P，且PO＝7，点A在⊙O上，则PA的最大值和最小值分别是________和______．
（2）如图2，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别在OA边上找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF的周长最小．请在图2中确定点E，F的位置，并直接写出△PEF周长的最小值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E是CD上一点(不与D，C重合)，CF⊥BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M，N分别是AB，AC上的动点，求△PMN周长的最小值．
【答案】（1）11，3；（2）图见解析，4；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；
（2）作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求，此时△PEF周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；
（3）类似（2）题作对称点，△PMN周长最小＝P1P2，然后由三角形相似和勾股定理求解．
【详解】解：（1）如图1．∵圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，点P与这两个交点的距离分别是最大距离和最小距离，
∴PA的最大值为PA2＝PO＋OA2＝7＋4＝11，
PA的最小值为PA1＝PO－OA1＝7－4＝3．
故答案为：11，3；
（2）如图，以O为圆心，OA长为半径，画弧AC和弧BD，作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1P2，与OA，OB分别交于点E，F，点E，F即为所求，连接OP1，OP2，OP，PE，PF．
∵由对称性可知∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，PE＝P1E，PF＝P2F，
∴∠AOP1＋∠BOP2＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝45°＋45°＝90°，
∴△P1OP2为等腰直角三角形，
∴P1P2＝OP1＝4，
当P1，E，F，P2共线时，△PEF的周长为PE＋PF＋EF＝P1E＋P2F＋EF＝P1P2＝4，
∴△PEF周长的最小值为4．
（3）如图3，作点P关于直线AB的对称点P1，连接AP，AP1，作点P关于直线AC的对称点P2，连接AP2，P1P2与AB，AC分别交于点M，N．
由对称性可知PM＝P1M，PN＝P2N，
则△PMN的周长为PM＋PN＋MN＝P1M＋P2N＋MN≥P1P2，
即△PEF周长的最小值为P1P2的长．
由对称性可知∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，AP1＝AP＝AP2，
∴∠BAP1＋∠CAP2＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝45°，
∴∠P1AP2＝45°＋45°＝90°，
∴△P1AP2为等腰直角三角形，
∴△PMN周长的最小值为P1P2＝AP，
当AP最短时，周长最小．
连接DF，PC．
∵CF⊥BE，且PF＝CF，
∴∠PCF＝45°，＝，
∵∠ACD＝45°，
∴∠PCF＝∠ACD，∠PCA＝∠FCD．
又∵＝，
∴在△APC和△DFC中，，∠PCA＝∠FCD，
∴△APC∽△DFC，
∴，
∴AP＝DF．
∵∠BFC＝90°，取BC的中点O，
∴点F在以BC为直径的圆上运动，当D，F，O三点在同一直线上时，DF最短，此时DF＝DO－FO＝－OC＝－＝－，
∴AP的最小值为DF＝（－），
∴此时△PMN周长的最小值为P1P2＝AP＝××(－)＝．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最值问题，掌握相似三角形的判定与性质、圆以及正方形的性质是解答本题的关键．