陕西省西安市高新区第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
2. 已知的补角是，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）

A. B. C. D.
5. 某数学兴趣小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A. 支撑物的高度为时，小车下滑的时间为
B. 支撑物的高度h越大，小车下滑时间越少
C. 若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间
D. 若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
6. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A. 两钉子固定木条B. 测量跳远成绩C. 木板上弹墨线D. 弯曲河道改直
7. 等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 8或10
8. 如图1，矩形中，点E是边的中点，点F在边上，且，动点P从点F出发，以每秒的速度沿的方向运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，的面积为，如图2是y关于x的函数图象，则图2中a，b的值分别是（ ）
A. 16，2B. 15，C. 13，D. 13，3
二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）
9. 若，，则_______________．
10. 一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，则_________度．
11. 已知某地地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为_____．
12. 已知，则的值为__________．
13. 如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，延长AD至点G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，则下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠GEB＝45°；③EO＝EC；④AE﹣CE＝BF；⑤AG﹣CG＝BC，其中正确的结论有______（写序号）．
三、解答题（共12小题，共计81分）
14. 计算题：
（1）；
（2）．
15. 先化简，再求值：若x，y满足，求值．
16. 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
17. 如图，已知．求证：．

18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
（1）求的度数；
（2）若，求度数．
19. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算每户家庭的水费．月用水量不超过5吨，按每吨2元计算；超过5吨时，超过部分按每吨3.5元计算．设每户每月用水量x（吨）时，应交水费y（元）．
（1）分别写出每月用水量不超过5吨和超过5吨时，y与x之间的关系式．
（2）若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？
20. 如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．
21. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该情境中的自变量和因变量分别是 ；
（2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米；
（3）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 米分钟；
（4）小红在骑车 分钟时，距离商店米．
22 如图，直线、交于点O，，分别平分和，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出的展开式： ．
（2）利用上面的规律计算：．
（3）此外，“杨辉三角”还蕴含着很多数字规律，请你找一找，根据规律写出二项式的展开式中项的系数： ．
24. 如图，在中，，高、相交于点O，，且．
（1）求线段的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
25.
（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论，他的结论应是
（2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，．．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程
支撑物高度
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑时间
423
300
245
213
189
171
159