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四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学理科试题（原卷版+解析版）
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这是一份四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学理科试题（原卷版+解析版），文件包含四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学理科试题原卷版docx、四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学理科试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
2．答第Ⅰ卷时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上.
3．考试结束后，监考员将答题卡收回.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，，则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
4. 在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
5. 如图所示程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A 3B. 7C. 15D. 31
6. 已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
7. 文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A. -1B. 0C. 1012D. 2024
10. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于M、N两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 对于曲线，给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线所围成区域的面积大于3且小于4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 设函数，则曲线在处的切线方程为_______.
14. 若函数是奇函数，则______.
15. 已知实数x，y满足且（为常数）取得最大值的最优解有无数多个，则实数的值为______.
16. 平面内条直线可以将平面分成若干块区域，记分成的区域数的最大值为，则数列的前项和为______.
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
17. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
18. 在斜中，角A、B、C所对的边分别为．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若PD与平面所成的角为30°，求平面与平面所成角的正弦值.
20. 已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数．
（1）若的图象不在轴的下方，求的取值集合；
（2）证明：．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔将所选题号涂黑.
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线和的普通方程，并指出曲线和所表示的曲线类型；
（2）若曲线和交于点A、B，点在曲线上，且的面积为，求点的直角坐标．
23. 已知函数．
（1）求不等式解集；
（2）将函数的图象与直线围成的封闭图形的面积记为，若正数a、b、c满足，求证：．
场次编号
1
2
3
4
5
观众人数
0.7
0.8
1
12
1.3
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
2．答第Ⅰ卷时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上.
3．考试结束后，监考员将答题卡收回.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，，则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
4. 在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
5. 如图所示程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A 3B. 7C. 15D. 31
6. 已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
7. 文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A. -1B. 0C. 1012D. 2024
10. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于M、N两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 对于曲线，给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线所围成区域的面积大于3且小于4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 设函数，则曲线在处的切线方程为_______.
14. 若函数是奇函数，则______.
15. 已知实数x，y满足且（为常数）取得最大值的最优解有无数多个，则实数的值为______.
16. 平面内条直线可以将平面分成若干块区域，记分成的区域数的最大值为，则数列的前项和为______.
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
17. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
18. 在斜中，角A、B、C所对的边分别为．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若PD与平面所成的角为30°，求平面与平面所成角的正弦值.
20. 已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数．
（1）若的图象不在轴的下方，求的取值集合；
（2）证明：．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔将所选题号涂黑.
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线和的普通方程，并指出曲线和所表示的曲线类型；
（2）若曲线和交于点A、B，点在曲线上，且的面积为，求点的直角坐标．
23. 已知函数．
（1）求不等式解集；
（2）将函数的图象与直线围成的封闭图形的面积记为，若正数a、b、c满足，求证：．
场次编号
1
2
3
4
5
观众人数
0.7
0.8
1
12
1.3
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
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