湖北省咸宁市通城县2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省咸宁市通城县2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解析：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B是中心对称图形，但不是轴对称图形；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形,
故选D.
2. 下列事件中是必然发生的事件是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是
B. 某种彩票中奖率是，则买这种彩票张一定会中奖
C. 掷一枚硬币，正面朝上
D. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
答案：A
解析：
解析：解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；
B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；
故选A．
3. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 顶点坐标为C. 函数的最小值是D. 对称轴为直线
答案：B
解析：
解析：∵，
∴a=1，则抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-3），
所以函数有最小值-3.
可知B错误.
故选B．
4. 定义运算：．例如：，则方程根的情况为（ ）
A. 无实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
答案：A
解析：
解析：解：根据题意得，
∆，
方程无实数根．
故选：A．
5. 如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A. （，1）B. （，﹣1）C. （1，﹣）D. （2，﹣1）
答案：B
解析：
解析：试题分析：设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC=60°﹣30°=30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC=×2=，
A1C=×2=1，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故选B．
考点：1.坐标与图形变化-旋转2.等边三角形的性质．
6. 已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上三点，其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y3＞y2＞y1C. y1＞y3＞y2D. y2＞y3＞y1
答案：C
解析：
解析：∵反比例函数中k＝﹣4＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴（x1，y1）在第二象限，（x2，y2），（x3，y3）在第四象限，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，即y1＞y3＞y2．
故选：C．
7. 如图，在中，半径垂直弦于D，点E在上，，则半径等于（ ）
A. B. C. 2D.
答案：D
解析：
解析：解：连接，
半径OC垂直弦于D，
点C为的中点，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：D．
8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论是（ ）

A. ②③⑤B. ①③④⑤C. ②③④⑤D. ①③④
答案：C
解析：
解析：解：抛物线的开口向上，
，
抛物线的对称轴为：，
，
抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
，
，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，
，故②正确；
时，，
，且，
，
又，
，故③正确；
时，y有最小值，
（t为任意实数），即，故④正确；
图象经过点时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为：，
抛物线的对称轴为：，
二次函数与直线的另一个交点为：，
即，，
，故⑤正确，
正确的结论是②③④⑤，
故选C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 若点与点关于原点对称，则____________．
答案：
解析：
解析：解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
10. 把二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，经过这两次平移后所得到的抛物线的解析式为________________．
答案：
解析：
解析：解：把二次函数的图象向右平移个单位长度，得，再向下平移个单位长度，得，即经过这两次平移后所得到的抛物线的解析式为．
故答案为：．
11. 对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．
答案：0.84
解析：
解析：解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，
∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．
故答案为：0.84．
12. 已知一元二次方程的两根为、，则=_______．
答案：13
解析：
解析：∵一元二次方程的两根为、
∴，，
∴==．
故答案为：13．
13. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
答案：1
解析：
解析：设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 _________________．
答案：##
解析：
解析：解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DFAC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝．
故答案为：．
15. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为，则的值为___________．
答案：4
解析：
解析：延长AB交x轴于点C，
根据反比例函数k的几何意义可知：
，
，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
16. 如图，正方形的顶点O在原点，边，分别在x轴和y轴上，点C坐标为，点D是的中点，点P是边上的一个动点，连接，以P为圆心，为半径作圆，设点P横坐标为t，当与正方形的边相切时，t的值为______．

答案：
解析：
解析：解：∵点C坐标为，点是的中点，四边形是正方形，
∴，．
当与相切时，如图1所示．

∵点横坐标为，
∴，
在中，，，，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 用你喜欢的方法解方程
（1）x2﹣6x﹣6＝0
（2）2x2﹣x﹣15＝0
答案：（1）x1＝3+，x2＝3﹣；（2）x1＝﹣2.5，x2＝3
解析：
解析：x2﹣6x﹣6＝0，
∵a=1，b=-6，c=-6，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60，
x＝
x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）2x2﹣x﹣15＝0，
（2x+5）（x﹣3）＝0，
2x+5＝0，x﹣3＝0，
x1＝﹣2.5，x2＝3．
18. 如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转到的位置，点，，恰好在同一直线上．求证：．
答案：证明见解析.
解析：
解析：∵由旋转的性质可得．
∴，，
又∵正方形中，，即，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴．
∴．
∴．
19. 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
答案：（1）；（2）这个游戏规则对双方是不公平的．
解析：
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
解析：（1）列表如下：
由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，
则这两数和为6的概率＝；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为P（和为奇数）＝，P（和为偶数）＝，而≠，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作轴于点，求；
（3）轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）5 （3）存在，
解析：
小问1解析：
解：∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
小问2解析：
解∶由，
解得，，
又∵，
∴点，
又∵轴，
∴点，即，
∴；
小问3解析：
解∶存在，
作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时最小，
∵，
∴，
设直线的关系式为，
将，代入得，
，解得，
∴一次函数的关系式为，
当，，
∴点．
21. 如图，在中，，以为直径作半圆交于点，点为的中点，连接．

（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）．
解析：
小问1解析：
证明：连接，

∵为的直径，
∴；
又∵点E为的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点D半圆O上，
∴是半圆O的切线；
小问2解析：
解：由（1）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：．
22. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
答案：（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
解析：
解析：（1）由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
23. 如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点．
（1）如图1，猜想________．
（2）如图2、3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若，，且，求的长．
答案：（1）60° （2）60°，证明见解析
（3）
解析：
小问1解析：
如图1，
∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问2解析：
．以是锐角为例．如图2，
∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问3解析：
作于，如图3，
同（2）可证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）求图中抛物线解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，
解析：
解析：解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )
∵抛物线经过点A和点B
∴把(0,2),(4,0)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为.
（2）设点P的坐标为(x,−x+2)，则C（）
∵点P在线段AB上
∴
∴当时，线段PC有最大值是2
（3）设点P的坐标为(x,−x+2)，
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C(x,)
①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得x1=x2=2把x=2代入
则点P的坐标为(2,1)
②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得：
把，
则点P的坐标为;
③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得：
把
则点P的坐标为
综上，使以O、A. P、C为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P的坐标为.抽取只数（只）
50
100
150
500
1000
2000
10000
50000
合格频率
0.82
0.83
0.82
0.83
0.84
0.84
0.84
0.84
小亮和小明
2
3
4
2
2+2＝4
2+3＝5
2+4＝6
3
3+2＝5
3+3＝6
3+4＝7
4
4+2＝6
4+3＝7
4+4＝8