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2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷原卷版docx、2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列集合中有无数个元素的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为纯虚数，则（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A. 10B. C. 5D.
4. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（ ）
A. 这组新数据的平均数为3B. 这组新数据的平均数为6
C. 这组新数据方差为D. 这组新数据的方差为
10. 已知为空间中三条不同直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与为异面直线
C. 若，且，则
D. 若，则
11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 周期函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的实轴长为4，则________.
13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________.
14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求极值；
（2）若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．
16. 如图，在四面体中，分别为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
18. 已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．
（1）求的值；
（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下正整数按从小到大的顺序排列得到数列．
①求的通项公式；
②证明：对任意的，都有．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列集合中有无数个元素的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为纯虚数，则（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A. 10B. C. 5D.
4. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（ ）
A. 这组新数据的平均数为3B. 这组新数据的平均数为6
C. 这组新数据方差为D. 这组新数据的方差为
10. 已知为空间中三条不同直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与为异面直线
C. 若，且，则
D. 若，则
11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 周期函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的实轴长为4，则________.
13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________.
14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求极值；
（2）若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．
16. 如图，在四面体中，分别为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
18. 已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．
（1）求的值；
（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下正整数按从小到大的顺序排列得到数列．
①求的通项公式；
②证明：对任意的，都有．
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