河北省重点中学2023-2024学年数学九年级下学期联考试题

这是一份河北省重点中学2023-2024学年数学九年级下学期联考试题，共17页。试卷主要包含了下列事件中，是随机事件的是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( )
A．2x2－6x＋1＝0B．3x2－x－5＝0C．x2＋x＝0D．x2－4x＋4＝0
2．把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是可估计2000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生有（ ）
A．56B．560C．80D．150
3．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，csB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（ ）
A．7.5B．9C．10D．5
4．下列几何体中，主视图是三角形的是( )
A．B．C．D．
5．已知，则下列各式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯
C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°
7．二次函数y＝x2+4x+3，当0≤x≤时，y的最大值为（ ）
A．3B．7C．D．
8．一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
9．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等
10．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2B．4C．8D．16
12．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．三角形内角和小于180°B．两实数之和为正
C．买体育彩票中奖D．抛一枚硬币2次都正面朝上
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．
14．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是_____．
15．如图，是的内接三角形，，的长是，则的半径是__________．
16．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出一个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为，则点P落在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是________.
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．
18．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在□中， 是上一点，且，与的延长线交点．
（1）求证：△∽△；
（2）若△的面积为1，求□ 的面积．
20．（8分）如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．
（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
21．（8分）如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？
22．（10分）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上（点不与点重合），连接.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：四边形是平行四边形.
23．（10分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，M为BC上一点，AM交DE于N.
(1)若AE＝4，求EC的长；
(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．
24．（10分）求值：+2sin30°－tan60°- tan 45°
25．（12分）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)
26．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A,B两点.点C在x轴负半轴上，的面积为12.
（1）求k的值；
（2）根据图像，当时，写出x的取值范围；
（3）连接BC，求的面积.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】试题分析：选项A，△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项B△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C，△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，即可得该方程有两个相等的实数根．故选D．
考点：根的判别式．
2、B
【分析】由题意根据频率的意义，每组的频率=该组的频数：样本容量，即频数=频率×样本容量．数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是2 000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生数即可求解．
【详解】解：0.28×2000=1．
故选：B．
本题考查频率的意义与计算以及频率的意义，注意掌握每组的频率=该组的频数样本容量．
3、C
【分析】先设DE＝x，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DE∥AB可知，进而可求出x的值和BE的长．
【详解】解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∵csB＝＝，
∴BE＝（18﹣2x），
∵DE∥AB，
∴，
∴
∴x＝6，
∴BE＝（18﹣12）＝10，
故选：C．
本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键．
4、C
【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可．
【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；
故选：C．
此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图．
5、D
【分析】利用比例的性质进行逐一变形，比较是否与题目一致，即可得出答案.
【详解】A：因为所以ab=cd，故A正确；
B：因为所以ab=cd，故B正确；
C：因为所以(a+c)b=(d+b)c，化简得ab =cd，故选项C正确；
D：因为所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化简得ab+a+b=cd+d+c，故选项D错误；
故答案选择D.
本题考查的是比例的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识，重点需要熟练掌握去括号法则.
6、B
【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】A．任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；
B．经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；
C．太阳从东方升起是必然事件；
D．任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件．
故选B．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、D
【解析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【详解】解：y＝x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1，
则当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝时，y的最大值为（）2+4×+3＝，
故选：D．
本题考查配方法把二次函数解析式化为顶点式根据二次函数性质解答的运用
8、B
【解析】△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选B．
，本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9、B
【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：B．
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
10、B
【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC=50°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角可得∠FBA=∠FAB，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后求出∠CBF，最后根据菱形的对称性可得∠CDF=∠CBF．
【详解】解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×100°=50°，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴∠FBA=∠FAB=50°，
∵菱形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°，
由菱形的对称性，∠CDF=∠CBF=30°．
故选：B．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．
11、C
【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12、A
【解析】根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180°”，故是不可能事件；
根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0，可能为负，故是可能事件；
根据买彩票可能中奖，故可知是可能事件；
根据硬币的特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能事件.
故选A.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
14、点O在⊙P上
【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：由勾股定理，得
OP＝＝5，
d＝r＝5，
故点O在⊙P上．
故答案为点O在⊙P上.
此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键在于要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
15、
【分析】连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是，
∴，
解得：.
故答案为：.
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
16、
【分析】采用画树状图法写出的所有可能出现的结果，画出函数图像，并描出在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）点，再用符合题意的点的个数除以总个数，即可求出答案．
【详解】如图，
由树状图可知共有20种等可能结果，由坐标系可知，在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的点有（0，0）、（1，3），（2，0）、（3，3），（3，0），（4，0），共6种结果，
∴点在抛物线上的概率是=，
故答案为：．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17、17°
【详解】解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
18、25%
【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.
【详解】设每次降价的百分比为x，
，
解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合题意舍去）
故答案为：25%.
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1x）2=后量，即可解答此类问题.
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）24
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ABF=∠E，即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证明△ABF∽△DEF，即可求出S△ABF=9 ，再根据AD=BC=4DF，求出S△CBE =16，即可求出答案.
【详解】证明：（1）在□ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB；
（2）在□ABCD中，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
又∵△ABF∽△CEB
∴ △ABF∽△DEF，
∵AF=3DF，△DEF的面积为1，
∴S△ABF=9 ，
∵AD=BC=4DF，
∴S△CBE =16，
∴□ABCD的面积=9+15=24.
此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质.
20、（1）点B（3，4），点C（﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．
【分析】（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公式可求a的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，可证CH＝BH，∠BHC＝90°，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵A（﹣5，0），OA＝OC，
∴OA＝OC＝5，
∵点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0），
∴OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），
∴5＝，
∴a＝3，
∴点B（3，4），
∴点C（﹣3，﹣4）；
（2）∵点B（3，4），点C（﹣3，﹣4），点A（﹣5，0），
∴BC＝10，AB＝4 ，AC＝2，
∵BC2＝100，AB2+AC2＝80+20＝100，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，
∴CO＝DO，
又∵CO＝BO，
∴DO＝BO＝CO，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝45°，
∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，
∴CH＝BH，∠BHC＝90°，
∵BC＝10，
∴BH＝CH＝5，OH＝OB＝OC＝5，
设点H（x，y），
∵点H在第四象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，
∴x＝4，y＝3，
∴点H（4，﹣3），
∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．
本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21、道路的宽应为1 m.
【解析】分析：根据题意，设道路的宽为xm，根据矩形的面积找到等量关系，列方程求解即可.
详解：解：设道路的宽应为x m，则(64－2x)(40－x)＝2418，
整理，得x2－72x＋71＝0，
解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为1 m.
点睛：此题主要考查了一元二次方程几何问题中的应用，分清矩形的特点，确定矩形的面积是解题关键，注意解出来的结果要符合实际情况.
22、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据旋转的性质作图；（2）由旋转的性质可得，然后根据全等三角形的性质得出，，从而使问题得证.
【详解】解：（1）如图：
（2）证明：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形.
本题考查旋转的性质，全等的判定和性质，平行四边形的判定，比较基础，掌握判定定理及其性质正确推理论证是本题的解题关键.
23、（1）2（2）8
【解析】（1）首先根据DE∥BC得到△ADE和△ABC相似，求出AC的长度，然后根据CE=AC－AE求出长度；（2）根据△ABC的面积求出△ABM的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADN的面积．
【详解】解:（1）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵AE=4
∴AC=6
∴EC=AC－AE=6－4=2
(2)∵△ABC的面积为36,点M为BC的中点
∴△ABM的面积为：36÷2=18
∵△ADN和△ABM的相似比为
∴
∴=8
考点： 相似三角形的判定与性质
24、
【解析】先得出式子中的特殊角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.
解：原式＝
25、台灯的高约为45cm.
【分析】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，可得四边形DGFH是矩形，可得DG=FH，根据∠A的余弦可求出AC的长，进而可得AD的长，根据∠A的正弦即可求出DG的长，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根据∠DEH的正弦可得EH的长，根据EF=EH+FH求出EF的长即可得答案.
【详解】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，
∴四边形DGFH是矩形，
∴DG=FH，
∵∠A=60°，AB=16，
∴AC=AB·cs60°=16×=8，
∴AD=AC+CD=8+40=48，
∴DG=AD·sin60°=24，
∵DH⊥EF，AF⊥EF，
∴DH//AF，
∴∠ADH=180°-∠A=120°，
∵∠ADE=135°，
∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，
∵DE=15，
∴EH=DE·sin15°≈3.9，
∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，
答：台灯的高约为45cm.
本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.
26、（1）；（2）或；（3）24
【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AO，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可求出k的值；
（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可；
（3）分别求出△AOC和△BOC的面积即可.
【详解】解：（1）如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）根据题意，得：，
解得：或，即，
根据图像得：当时，x的范围为或.
（3）连接，
.
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及坐标系中的三角形面积，利用数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．