宁夏回族自治区银川市第三中学2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区银川市第三中学2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了下列运算正确的是，如图，直线，于点，设，是实数，定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．C．2D．4
4．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
5．如图所示，，，，，点Р到直线的距离可能是（ ）

A．5B．3C．2D．4.5
6．如图，直线，于点．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图是某品牌小汽车2023年9~12月这四个月的月销售量情况，则下列说法错误的是（ ）
A．该品牌小汽车2023年10月的销售量是1.6万辆
B．该品牌小汽车2023年这四个月销售量持续增长
C．该品牌小汽车2023年这四个月中12月的销售量最高
D．该品牌小汽车2023年这四个月中10月到11月的销售量增长最快
8．设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ．

10．若2x=5，2y=3，则22x+y= ．
11．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为 ．
12．如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为 ．

13．一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度h（米）随飞行时间t（秒）的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0～5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为 米．

14．小佳计划用一根长为的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长与宽之间的关系式为 ．
15．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是 ．（用含，的式子表示）
16．设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．

三．解答题（共6小题，满分36分，每小题6分）
17．计算：
(1)；
(2)（用简便方法计算）．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，是边上的高，平分交于点，若，，求和的度数．
20．一天早上王老师从家出发步行前往学校，途中遇到一位家长，同他聊了一会儿，之后便跑步到学校，这一过程王老师走过路程y（米）与出发后时间x（分钟）关系如图所示．
(1)王老师家与学校距离为 米；
(2)王老师早上是从家出发，到达学校的时刻是 ；
(3)分别求王老师步行和跑步的速度．
21．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝140°，找出图中的平行线，并说明理由．
22．如图所示，，，，垂足分别为点、，求证：．
证明：∵、（已知）
∴、
∴
∴（ ）（ ）（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴（ ）
∴（ ）
请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
四．解答题（共4小题，满分36分， 23、24每小题8分，25、26每小题10分）
23．在一次实验中，小亮把弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间关系如表：
(1)表格中自变量__________，因变量是__________；
(2)直接写出弹簧长度与所挂物体质量之间的关系式_______________；
(3)若弹簧的长度为（在弹簧的承受范围内），求所挂物体的质量．
24．如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)请指出的同旁内角与的内错角；
(2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
25．将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，
所以，，
所以，，
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则的值为________；
(2)①若，则________；
②若，则________；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
26．问题情境
综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当时，求证：．
（2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当，则______度，当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方的计算法则求解即可．
【解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算正确，符合题意；
C、，故选项计算错误，不符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【解答】，
故选：A．
【点拨】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．
3．D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】解：设三角形第三边的长为x，则
，即，
只有选项D符合题意．
故选D．
4．C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5．C
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．
【解答】解：因为垂线段最短，
所以点Р到直线的距离为不大于2，
故选：C．
【点拨】此题考查了垂线段最短的性质，此题所给的线段长度中，可能是垂线段，也可能不是．
6．B
【分析】本题考查了垂线及平行线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
过点作的平行线，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点作直线．
，，
．
，
．
．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查折线统计图，读取每个月份的数据，并比较大小，利用折线统计图的特征逐项判断即可．
【解答】解：由图可知：
A、该品牌小汽车2023年10月的销售量是1.6万辆，故此选项正确，不符合题意；
B、该品牌小汽车2023年这四个月十月份比九月份销售更少， 故此选项不正确，符合题意；
C、该品牌小汽车2023年这四个月中12月的销售量最高为4.3万辆，故此选项正确，不符合题意；
D、该品牌小汽车2023年这四个月中，9月到10月的销售量减少0.6万辆，10月到11月的销售量增加1.5万辆，11月到12月的销售量增加1万辆，故10月到11月的销售量增长最快，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案．
【解答】解：∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故选：D．
9．##62度
【分析】本题考查了作图-基本作图．根据作图得到，于是得到结论．
【解答】解：由作图知，，
∵，
∴，
故答案为：．
10．75
【解答】【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案即可．
【解答】∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，
故答案为75．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
11．##50度
【分析】设这个角的度数为x，根据已知条件列出含有x的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：设这个角的度数为x，依题意有：
解得x=50°．
故答案为：50°．
【点拨】本题考查补角和余角的定义，熟练掌握利用方程解决几何问题是解题关键．
12．3
【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解．
【解答】解：∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
故答案为：3
【点拨】本题考查三角形的中线与面积的关系．熟记相关结论即可．
13．8
【分析】根据函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即可得出答案．
【解答】解：观察图象，当时，最高点，
当或时，最低点，
∴最高高度与最低高度的差为，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度，最低高度是解题的关键．
14．或或
【分析】根据长方形的周长得出函数关系式即可．
【解答】由题意得：，
∴，
∴这个长方形的长与宽之间的关系式为：，
故答案为：或或．
【点拨】此题考查函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
15．
【分析】由得到，代入，得到，由即可得到．
【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
16．8
【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案．
【解答】解：，即，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：8
17．(1)4
(2)
【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减可得；
（2）可变形为，再根据平方差公式即可求解．
本题考查了平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【解答】（1）
；
（2）
．
18．，．
【分析】先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，与平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键．
19．；
【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．分析题意，根据是边上的高可得，，再根据可求得，根据平分，可得，根据，可得．
【解答】解：是边上的高，
，
，
，
，
平分，
；
，
，
．
20．(1)1000
(2)
(3)步行速度50米/分；跑步的速度为100米/分
【分析】本题考查由函数图象中获取信息解决问题，看懂函数图象，找准解题信息是解决问题的关键．
（1）由王老师走过路程（米）与出发后时间（分钟）关系图可知王老师家与学校距离为1000米；
（2）由王老师走过路程（米）与出发后时间（分钟）关系图可知王老师从家到学校共用了25分钟，从而得到王老师到达学校的时刻为；
（3）由王老师走过路程（米）与出发后时间（分钟）关系图，根据速度路程速度即可得到答案．
【解答】（1）解：由王老师走过路程（米)与出发后时间（分钟）关系图可知王老师家与学校距离为1000米，
故答案为：1000；
（2）解：由王老师走过路程（米）与出发后时间（分钟）关系图可知王老师从家到学校共用了25分钟，
王老师早上是从家出发，到达学校的时刻为；
故答案为：；
（3）解：由王老师走过路程（米）与出发后时间（分钟）关系图可知，
王老师步行的速度为（米分）；
王老师跑步的速度为（米分），
答：步行速度50米分；跑步的速度为100米分．
21．OB∥AC，OA∥BC，理由见解析
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．
【解答】解： OB∥AC，OA∥BC，
理由：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2＝40°，∠3＝140°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
22．；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用．根据垂直定义求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：∵、（已知）
∴、
∴
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
23．(1)物体的质量，弹簧的长度；
(2)
(3)所挂物体的质量是
【分析】（1）根据表格内容解答即可；
（2）由表格可知，物体每增加1千克，弹簧长度增加，据此即可写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式；
（3）把代入（2）中关系式计算即可．
【解答】（1）上表反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，其中自变量是物体的质量，因变量是弹簧的长度；
故答案为：物体的质量，弹簧的长度；
（2）∵物体每增加1千克，弹簧长度增加，
∴；
（3）把代入，得
，
解得：．
答：所挂物体的质量是．
【点拨】本题考查了自变量与因变量的意义，以及用函数关系式表示变量间的关系，根据题意正确写出函数关系式是解答本题的关键．
24．(1)的同旁内角是，，；的内错角是，；
(2)水下部分向上折弯了30度，理由见解析
【分析】本题考查同旁内角，内错角，角的计算，关键是掌握同旁内角，内错角的定义，邻补角的性质．
（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案；
（2）由邻补角的性质求出的度数，由，即可得到答案．
【解答】（1）解：的同旁内角是，，；
的内错角是，；
（2）解：，
，
，
水下部分向上折弯了30度．
25．(1)7
(2)①53；②24
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值：
（1）先求出，再由，即可得到
（2）①先求出，则，再由，即可得到；②先求出，则，再由，即可得到；
（3）设大正方形，小正方形的边长分别是a，b，根据题意得到，，则，求出，则阴影的面积．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；；
（3）解：设大正方形，小正方形的边长分别是a，b，
，，
，，
，
，
∴阴影的面积．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键．
26．（1）见解析；（2），；（3），理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是：
（1）利用平行线的性质求出的度数，利用角平分线的定义可得出，即可得证；
（2）利用角平分线的定义可得出，利用平行线的性质得出，进而求出，然后代入的度数即可求解；
（3）利用角平分线的定义可得出，利用平行线的性质可得出，，即可得证．
【解答】（1）证明∶∵，
∴，
又∵，
∴．
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
当时，则，
故答案为：70，；
（3）解：
理由如下：∵平分，
∴
∵，
∴，，
∴．
所挂物体的质量
0
1
2
3
4
5
…
弹簧的长度
18
20
22
24
26
28
…