辽宁省沈阳市第七中学2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市第七中学2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．小苏和小林在如图1所示的跑道上进行米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：）与跑步时间t（单位：）的对应关系如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏在跑最后的过程中，与小林相遇1次
D．小苏前跑过的路程大于小林前跑过的路程
3．如图，，平分，，则等于
A．B．C．D．
4．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（ ）
A．31B．41C．16D．54
5．若一种DNA分子的直径只有cm，则这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．8
6．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条图中的AB，CD两根木条，这样做是运用了三角形的（ ）
A．全等性B．灵活性C．稳定性D．对称性
7．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
8．如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是 ．
12．已知x－y＝6，xy＝－4，则x2＋y2＝ ．
13．在与的积中，不含有xy项，则a= ．
14．若关于x的多项式展开后不含x的一次项，则 ．
15．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是 ．

三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算过程或推理过程）
16．(1)计算：
(2)先化简，再求值：，其中．
17．如图，，，D是上的一点，且.
(1)求证：
(2)若，，求的度数.
18．阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
任务：
(1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母和表示，写出一种即可）；
(2)以上步骤第___________步开始出现了错误，错误的原因是___________；
(3)请写出正确的解答过程．
19．阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知的三边长a，b，c，且a，b满足，若的周长为偶数，求的周长；
(2)已知，求的值．
20．数学活动
【知识生成】
数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：
图1 ；图2 ；
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系．
【解决问题】
（3）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积．
【知识迁移】
（4）若，则 ．（直接写出结果）
21．[问题情境]
周末，小明同学骑车去学校取书，出门匆忙，骑行一段路后，发现学生证落在同学小强家了，于是又返同学小强家中取学生证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向学校出发，最后到达学校．
[学以致用]
聪明的小明同学以所用的时间（分钟）为横轴，以离家的距离s（米）为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞．
[解决问题]
根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小强家到学校的路程是______米，小明全程的骑行时间是______分钟；
(2)在小明骑行过程中哪个时间段小明骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？
(3)本次去学校的行程中，小明一共骑行了多少米？
22．如图1，射线分别与直线相交于E、F两点，的平分线与直线AB相交于点M，射线交于点N，设，，且．
(1)__________，__________；直线与的位置关系是__________；
(2)若点G、H分别在直线和射线上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)若将图1中的射线绕着端点P顺时针方向旋转（如图2），分别与相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点Q，在旋转的过程中，判断与的数量关系，并说明理由．
23．【问题初探】
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板

（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明：
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据积的乘方可判断B，C，根据合并同类项可判断D，从而可得答案．
【解答】解：∵，
∴A选项的计算结果不正确，不符合题意；
∵，
∴B选项的计算结果不正确，不符合题意；
∵，
∴C选项的计算结果正确，符合题意；
∵，
∴D选项的计算结果不正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，合并同类项，熟记运算法则是解本题的关键．
2．C
【分析】通过函数图像可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图像小苏前跑过的路程小于小林前跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，即可解答．
【解答】解：由函数图像可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A说法错误，不符合题意；
根据图像两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B说法错误，不符合题意；
小林在跑最后的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图像可知1次，故C说法正确，符合题意；
根据图像小苏前跑过的路程小于小林前跑过的路程，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了函数图像的读图能力，要能根据函数图像的性质和图像上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
3．B
【分析】利用角平分线上定义可求的度数，然后利用平行线的性质即可求出的度数．
【解答】解：∵平分，，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．D
【分析】根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，而54不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解．
【解答】解：∵31＝（16+15）（16﹣15）＝162﹣152，
41＝（21+20）（21﹣20）＝212﹣202，
16＝（5+3）（5﹣3）＝52﹣32，
54不能表示成两个正整数的平方差．
∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”．
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键．
5．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：若一种DNA分子的直径只有cm，则这个数用科学记数法表示为．
故选C.
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．C
【解答】解：三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，故这样做是运用了三角形的稳定性．
故选：C．
7．D
【解答】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
8．C
【分析】分别过C、D作的平行线和，由平行线的性质可得到，可求得答案．
【解答】解：如图，分别过C、D作的平行线和，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补.
9．C
【分析】从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．
【解答】A、画出的是△ABC的边AB上的高，故不合题意；
B、画出的不是△ABC任一边上的高，故不合题意；
C、画出的△ABC的边BC上的高，故符合题意；
D、画出的是△ABC的边AC上的高，故不合题意；
故选：C
【点拨】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提．
10．D
【分析】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系是解题的关键．利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角进行计算，得到中除外的两个角度和，最后由三角形内角和得到．
【解答】解：长方形纸条，
∴，
，，
由折痕，得到，，
，
，
，
故选D．
11．同位角相等，两直线平行．
【解答】利用三角板中两个60°相等，可判定平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行
考点:平行线的判定
12．28
【分析】把所求的代数式利用完全平方公式变形为x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，然后把已知整体代入即可求值.
【解答】解：∵x－y＝6，xy＝－4，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝62＋2×（－4）
＝36－8
＝28．
故答案为：28．
【点拨】本题考查了整体代入求值问题，利用完全平方公式把所求的代数式适当的变形是解题的关键.
13．3
【分析】先将两多项式相乘，然后将含xy的项进行合并，然后根据乘积结果不含有xy项，即xy项系数为0，即可求出a的值．
【解答】解：(ax+3y)(x-y)
=
= ，
∵与的积中，不含有xy项，
∴3-a=0，
∴a=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型．
14．##0.5
【分析】先运用多项式乘以多项式法则展开，再按字母x合并同类项，然后根据展开后不含x的一次项，即含x的一次项系数为0，求解即可．
【解答】解：(ax-1)(x+2)
=ax2+2ax-x-2
=ax2+(2a-1)x-2，
∵多项式展开后不含x的一次项，
∴2a-1=0，
解得：a=，
故答案为：．
【点拨】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式展开后不含某项，即该项系数为0是解题的关键．
15．##15度
【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据折叠的性质及角的和差关系可进行求解．
【解答】解：如图①，∵，，
∴，，
∴图②中的，
∴图③中的；
故答案为：．
16．(1)
(2)，
【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后进行乘法、加减运算即可；
（2）利用平方差公式计算乘法，合并同类项，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【解答】（1）解：
．
（2）解：
，
当时，原式．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，整式的化简求值，平方差公式等知识．熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，整式的化简求值，平方差公式是解题的关键．
17．(1)见解答
(2)
【分析】（1）根据得到，利用边角边判定直接证明即可得到答案；
（2）根据三角形内角和公式及等腰三角形性质求出，结合得到，即可得到答案.
【解答】（1）证明∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵，
，
，
；
【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线性质，等腰等腰三角形性质，解题的关键是根据平行线得到全等的条件．
18．(1)或
(2)一
(3)，
【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案；
（2）根据去括号法则可知第一步出现了错误；
（3）根据整式的混合运算顺序解答即可．
【解答】（1）解：第一步运算用到了乘法公式或；
（2）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误；
（3）解：
，
当，时，原式．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式．
19．(1)6
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据题中所给方法利用完全平方公式把变形，进行求解a、b的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；
（2）把变形为，然后可得的值，代入计算即可求解．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
，
的周长为偶数，
，
的周长为：；
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
综上的值为．
20．（1）图1：，图2：；（2）；（3）；（4）13
【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）根据图形的阴影部分可直接进行求解；
（2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解；
（3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解；
（4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解．
【解答】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为；
故答案为，；
（2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者，
∴满足的关系式为；
（3）由可设，则，
∴，
∵两正方形的面积和为20，即，
∴，
∴，
∴；
（4）由题意可知：，
∴
∵，
∴；
故答案为13．
21．(1)900，10
(2)从第0分钟到第6分钟速度最慢，速度是
(3)2700米
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确根据图象理解运动过程是关键．
（1）根据图象可以直接求得；
（2）求得各段的速度，然后进行比较即可；
（3）求得各段的路程，然后求和即可．
【解答】（1）小强到学校的路程是到学校的路程是，小明全程的骑行时间是．
故答案为：900，10；
（2）当时，速度；
当时，速度；
当时，速度；
∴从第0分钟到第6分钟速度最慢，速度是；
（3）由图可得：小明共行驶了（米）．
22．(1)，
(2)或
(3)，理由见解答
【分析】（1）根据，得出，根据的平分线是，得出，得出；
（2）分点在左侧和点右侧两种情况，证，得，再根据平行线的性质得出相应的结论即可；
（3）作的角平分线交于，证，再根据，，，得出，即可得出的值．
【解答】（1）解： ，
，，
是的角平分线，
，
，
故答案为：40，40，；
（2）解：或，证明如下：
①当点在点左侧时，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在点右侧时，
，
，
，
，
，
；
综上，与之间存在的数量关系为或；
（3）解：，理由如下：
如图，作的角平分线交于，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，，
又平分，
，
，
，
即，
，
，
【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，及角平分线的性质，熟练掌握内错角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等平行线的判定和性质定理是解题的关键．
23．（1）见解析；（2），；（3）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论；
（2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到；
（3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可．
【解答】（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，

∴，，，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过作交延长线于，过作交于，

∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为7，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
当，时，原式=14……第四步