2024年陕西省永寿县部分学校中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年陕西省永寿县部分学校中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分，如图，正方形的顶点D在抛物线等内容，欢迎下载使用。

2024年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷（七）
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果温度上升记作，那么温度下降记作（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的余角大小是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．杆秤是人类的一种伟大发明．如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点；当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡状态．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时，秤杆处于平衡状态．已知x与y之间满足一次函数关系．且测得x与y的几组对应数据如表所示：
当时，y的值是（ ）
A．45B．46C．48D．50
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则的值是（ ）
A．2B．1C．D．
7．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，，于点F，且米，则门洞的跨径的长为（ ）
A．0.5米B．1米C．1.2米D．1.3米
8．如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知，为两个连续整数，且，则 ．
10．若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
11．我国古代数学家梅殷成在其数学著作《增删算法统宗》中有题如下：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二羊比较：大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”其大意是：“今有一群羊140只，大羊与羊羔都可以剪毛．首先剪两只羊的毛后知道：每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两．现在总共剪得羊毛150斤（注：1斤16两）．试问大羊与羊羔各有多少？”若设大羊x只，羊羔y只，则依题意可列方程组为 ．
12．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若加压后气体对汽缸壁所产生的压强为，则汽缸内气体的体积为 mL．
13．如图，E为矩形边上的动点（不含端点），将沿折叠，使得点B落在矩形内的点F处（包括矩形的边），已知，，则的取值范围是 ，连接，当时，的长是 ．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解方程：
16．如图，矩形的顶点A、B的坐标分别为，，求顶点C的坐标．
17．如图，已知四边形是矩形（），请用尺规作图法在矩形内部求作点E，连接、，使得是以为斜边的等腰直角三角形．
18．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形．
19．2024年4月8日晚，感动中国2023年度获奖人物揭晓．极不平凡的2023年，他们或在危难中逆行，或在逆境中坚守，以凡人之力，书写中国人的年度精神史诗．为培养全校同学奉献、无私、爱国精神，某校拟举办以“增强家国情怀，感悟榜样精神”为主题的演讲比赛，每班选拔一人参加．九年级（1）班的李磊和张华表现都很优秀，班主任打算从这两位同学中任选1人参加学校演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．李磊和张华各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和为偶数，则李磊参加学校演讲比赛；否则，张华参加学校演讲比赛．
(1)“李磊掷一次骰子，掷得向上一面的点数为偶数”是______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
20．某校为提升学生身体素质，利用课后服务时间开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班在其中一场比赛中，共投中20个球（只有2分球和3分球），所得总分超过50分，问该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？
21．某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项课题活动，具体要求是对校园内旗杆的高度进行测量与计算，他们准备了如下测量工具：①小平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5米的测量仪（能测量仰角和俯角的仪器），并形成了如下实践报告，请你帮他们完成下面的实践报告．
22．如图，已知经过点的直线（k、b为常数，且）与直线交于点．
(1)分别求直线、的函数表达式；
(2)直线轴，设直线l与直线、分别交于A、B两点，且，直线l与x轴交点的横坐标为m，求m的值．
23．2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
(2)若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
(3)若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
24．如图，内接于，为的直径，点E在上，连接、，且，延长到点D，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，，，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)连接，点P为抛物线第四象限上的动点，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，交x轴于点E，连接、、、，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
26．问题探究
（1）如图1，在中，，点D是的中点，于点E．求证：；
（2）如图2，在中，连接，平分，交于E，平分，交于F．当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由；
问题解决
（3）某地为改进城市旅游景观面貌、提高市民的生活幸福指数，城建部拟规划一个形如四边形的动植物园（如图3），沿对角线、分别修建观赏小径（宽度忽略不计），已知米，米，，根据设计要求，现要将三角形区域设为熊猫娱乐区，为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏．求所需护栏的长度（的周长）以及该动植物园所占面积（四边形的面积）．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查正负数的意义，根据正负数的意义可进行求解．熟练掌握正负数的意义是解题的关键．用正数和负数表示具有相反意义的量，其中一个量用正数表示，则与之相反的量用负数表示．
【解答】解： 温度上升记作，
温度下降记作．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了余角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余，根据余角的定义即可求解．
【解答】解： ，
的余角为．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查幂的运算和合并同类项，分别依据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则逐一计算即可．
【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了数轴与实数，数形结合即可求解．
【解答】解：根据数轴可知，，，
A. ，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键．根据表格可得与的函数关系式，再将代入求解即可．
【解答】解：设与的函数关系式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴与的函数关系式为，
将代入，可得，
即当克时，的长度是46毫米．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查正切的定义，在直角三角形中，一个角的正切值等于对边比邻边，据此进行进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作交的延长线于点D，
由图可得：，，
，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查垂径定理的应用，根据即可求解．
【解答】由题意得：米，米
∴米，
∵，
∴（米），
∴米，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，三角形全等，正方形的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可．
【解答】解：作轴，轴，如图所示，
四边形为正方形，
，，
，，
，又，
，
，，
、，
，，
，
，
将代入抛物线，解得．
故选：A．
9．5
【分析】根据的大小求出a、b，代入计算即可．
【解答】解：∵4<5<9，
∴2<<3，
∵a、b为两个连续整数，且，
∴a=2，b=3，
∴2+3=5，
故答案为：5．
【点拨】此题考查了实数的估值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握无理数的估值方法是解题的关键．
10．12
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，掌握正多边形的每个内角都相等，外角和的大小与多边形的边数无关，即任何多边形的外角和都是是解题的关键．求出每个内角对应的外角，由任何多边形的外角和都是，除以每个外角的度数即可求得边数．也可以利用正多边形的内角和公式建立方程求解，即，解出边数即可．
【解答】解： 正多边形的每个内角为，
每个内角的外角为：，
又 任何多边形的外角和都是，
这个正多边形的边数为，
故答案为：12．
11．
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找到题中的等量关系是解题的关键．
设大羊x只，羊羔y只，根据一群羊140只，可得，再根据总共剪得羊毛150斤，可得，由此得解．
【解答】解：若设大羊x只，羊羔y只，
羊群为140只，
，
总共剪得羊毛150斤，即两，由于每只大羊可剪毛18两，每只羊羔可剪毛12两，
，
可列方程组为：．
故答案为：．
12．80
【分析】由图象易得p关于的函数解析式为，然后问题可求解．
【解答】解：设p关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴p关于的函数解析式为，
∴当时，则，
∴汽缸内气体的体积为；
故答案为80．
13．
【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及折叠性质，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题关键，
（1）当点F落在上时，最长，先求出，进而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求出结论；
（2）延长交于点M，作于点H，连接，证明，设，则，根据相似三角形性质及勾股定理列方程求出，即可求出结论．
【解答】解：（1）当点F落在上时，最长，

在矩形中，将沿折叠得，
，，，，
在中，
解得，
则的取值范围是；
（2）延长交于点M，作于点H，连接，

由折叠得，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得（不合题意舍去），
．
14．
【分析】本题主要考查了实数的运算，先去绝对值和计算立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可．
【解答】解：
．
15．x＝1
【分析】先去分母求出整式方程的解，再检验即可．
【解答】解：去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解．
【点拨】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键，不要忘记检验．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形相似以及点的坐标，熟悉矩形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．根据图可知，顶点在轴上，根据，坐标可求出，，再证明，可得，由此可求出，点坐标即得解．
【解答】解：
矩形的顶点A、B的坐标分别为，，
，，，
，，
，又，
，
，
，
顶点C的坐标为．
17．见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
作的垂直平分线得到的中点，然后以为直径作交的垂直平分线于E，则满足条件．
【解答】作法：取大于长度为半径，分别以为圆心作圆相交于两点，连接两交点所得直线即为的垂直平分线，与交点即为中点，以为圆心，长度为半径，作交的垂直平分线于矩形的内部点E，连接，即为所求作等腰直角三角形．
18．见解析
【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
【解答】证明：在与中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
19．(1)随机
(2)这个游戏对双方公平
【分析】本题考查事件的分类和列表法求概率；
（1）根据事件的分类即可求解；
（2）通过列表法求出两次朝上的点数之和为偶数的概率和两次朝上的点数之和为奇数的概率即可判断是否公平．
【解答】（1）“李磊掷一次骰子，掷得向上一面的点数为偶数”是随机事件；
（2）
∴两次朝上的点数之和为偶数的概率为：；
两次朝上的点数之和为奇数的概率为：
∴这个游戏对双方公平
20．11个
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据题意列出相应不等式求解是解决问题的关键．
设该班级这场比赛中投中了个3分球，则投中了个2分球，由题意列出不等式求解即可得到答案．
【解答】解：设该班级这场比赛中投中了个3分球，则投中了个2分球，根据题意得：
，
解得：，
答：该班级这场比赛中至少投中了11个3分球．
21．见解析
【分析】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．
可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得，与的大小，根据相似三角形的性质；可得：；即．
【解答】活动工具：①小平面镜；②皮尺；
测量方案示意图；
测量数据：（镜子离旗的距离）；（人离镜子的距离），（目高）；
活动成果：根据图形性质可知：，，
∴，
可得：；
即．
即旗杆的高度为．
22．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求直线解析式；
（1）利用待定系数法列式即可求解；
（2）分别联立和，根据，列绝对值方程即可求解．
【解答】（1）将，代入得：，解得：
∴直线，；
（2）∵直线轴，直线l与x轴交点的横坐标为m，
∴直线，
联立得：，
∴ ，
联立得：，
∴，
∵直线l与直线、分别交于A、B两点，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得：或．
23．(1)20；C；86
(2)83.75
(3)估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
（1）根据八年级D组有7人，占总人数的，即可求出总人数，从而求出七年级B组人数和中位数；
（2）根据平均数的计算公式求解即可；
（3）用600×七年级和八年级成绩不低于95分人数所占比例即可．
【解答】（1）八年级D组有7人，占总人数的，
∴；
总人数是20人，
∴B组人数有
∴中位数是第10，11人
∴七年级竞赛成绩的中位数落在C组；
∵八年级竞赛成绩的众数落在D组，
∴众数是86；
（2）由题意得：
（3）由题意得：人
∴估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质及判定，圆内接四边形性质，圆周角定理，解直角三角形．
（1）根据圆内接四边形对角互补可得，再证明，即可证明结论；
（2）由同弧或等弧所对圆周角线段证明，从而可得，进而在中，由勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴：是的切线．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵在中，，
∴ 解得：，
∴．
25．(1)，，
(2)当时，此时P点为.．
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
（1）根据抛物线的表达式为，当求出A、B两点坐标，时与y轴交点坐标；
（2）由待定系数法确定直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【解答】（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
当时；，解得，，
当时；，
∴点A、B、C的坐标分别为，，，
（2）
由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，得
，
解得，
∴直线的表达式为，
设，则点坐标为
∵P，D都在第四象限，
∴
，
∴当时，此时P点为，．
26．（1）见解析；（2），四边形是矩形．证明见解析；（3）所需护栏的长度为米；该动植物园所占面积为平方米．
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；解（3）关键是作过点B作得角平分线，转化得从而证明．
（1）连接，根据等腰三角形性质可得：，，再由同角的余角相等证明即可证明．
（2）要使四边形是矩形，由证此四边形是平行四边形，因此只需证明有一个角是直角，添加条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．
（3）过点B作，垂足为，过点C作，垂足为，由已知条件证明，得，再利用构造直角三角形利用勾股定理求出线段长和三角形的高即可解答．
【解答】（1）连接，
∵，点D是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：．
（2）结论：，四边形是矩形．
理由如下：在中，，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，平分，
，
平行四边形是矩形．
（3）过点B作，垂足为，过点C作，垂足为，

∵米，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴米，
∴米，
∴（米），
∵由辅助线作法可知：四边形，
∴米，米，
∴米；
∴在中，（米）；
所需护栏的长度（的周长）（米）
该动植物园所占面积（四边形的面积）（平方米）
x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
4
10
16
22
34
活动课题：校园内旗杆高度的测量与计算
活动目的；运用所学知识解决实际问题
活动工具：______（填出你所选用的工具序号）
测量示意图：（请在此处画出测量示意图）
测量数据：__________________（线段长度可用a、b、c…表示，角度用、、…表示，不要求写出测量过程）
活动成果：根据你测量的数据，计算旗杆的高度
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）