北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题word版（附解析版）

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（清华附中高22级） 2024.4
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，，则集合的元素的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 在复平面内，复数对应点坐标为，则复数等于（ ）
A. B. C. D.
4. 设，若，则的值为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
5. 已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A B. C. D.
6. 若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知的外接圆的半径为1，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
9. 已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件
10. 已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称：
②当时，点不在直线上：
③当时，；
④当时，曲线所围成的区域的面积大于.
其中所有正确结论的有（ ）
A. ②③④B. ①②③C. ①②D. ③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 正方体中，直线与平面所成角正弦值为__________.
12. 已知双曲线，其焦点到渐近线的距离是其焦距的倍，则双曲线的离心率为______.
13. 已知函数，若，，使得，则正数的最小值为______.
14. 设，函数，
①若，则______；
②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为______.
15. 训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论：
①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率；
②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率；
③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于；
④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于.
其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. 在中，.
（1）求值；
（2）以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并求：
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分.
17. 如图，在四棱锥中，，，，和都是等边三角形，且.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
18. 为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：
（1）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从样本中第1组和第2组中，任取2户，求他们月均用电量都不低于的概率；
（2）从该地区全体居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以样本的频率估计总体的概率，求的分布列和数学期望；
（3）用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确，说明理由.
19. 已知椭圆过点，点是椭圆右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值.
20. 已知函数，其中.
（1）判断曲线在处切线是否与轴平行；
（2）求的单调区间；
（3）若有两个极值点，设极大值点为，且，判断与2的大小关系，并说明理由.
21. 已知整数，集合，，，满足，对任意的，都有且.记.
（1）若，写出两组满足条件的集合，并写出相应的；
（2）证明：；
（3）求的所有可能取值.