天津市北辰区红光中学2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份天津市北辰区红光中学2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
3．已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）m．
A．5B．7C．8D．9
5．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，于点，点分别是的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，平分交边于点，若，则线段的长为（ ）
A．B．2C．D．3
9．如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
10．如图，的对角线相交于点O，，．则的周长为（ ）
A．12B．17C．28D．16
11．如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长度为（ ）．
A．2B．C．D．3
12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一点，且△PBC为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：①PAD为等腰三角形；②PBC的面积为；③；④PBD的面积为．其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．计算的结果是 ．
14．在中，斜边，则的值是 ．
15．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为 ．
16．如图，在中，，，，则的长度为 ．

17．当时，代数式的值是 ．
18．如图，在矩形中，，，，则这个矩形的面积是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．如图，在中，点是的中点，平分，且于点．若，，求的长为多少？
21．若，求代数式的值．
22．如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接．
(1)若，求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，当，时，求的长．
23．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为线段的中点，连接，求的长．
24．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求点D的坐标；
(3)在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状．
【解答】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的长的和即可得出结论．
【解答】如下图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=3m，AC=4m，
∴BC= （m），
∴这棵树原高：3+5=8（m），
故选：C．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度，再根据大树的高度=AB+BC进行解答．
5．D
【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的应用，根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【解答】解：两个正方形的面积分别为2和6，
它们的边长分别为和，
由图可知，长方形的长为，宽为大正方形的边长，
阴影部分的面积为：，
故选：D．
6．D
【分析】利用积的乘方得到原式•，然后利用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式
故选D．
【点拨】本题考查了积的乘方运算的应用，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
7．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形中位线的性质即可求出的长，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【解答】解：∵于点，
∴，
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，根据角平分线的定义结合直角三角形两锐角互余得出，再根据含特殊角的三角函数求解即可．
【解答】解：在中，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴即
∴
∴
∴，
故选：B
9．B
【分析】本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键．
【解答】解：由作图知，，
∴四边形为平行四边形，
综合四个选项，判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求得，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O，，
，，，
，
，
，
的周长为16，
故选D．
11．B
【分析】本题考查了角直角三角形的性质及勾股定理，如图，作，等腰三角形的性质，勾股定理，可得的长，在中，根据含度角的直角三角形的性质，即可求得的长．
【解答】如图，作于点，
在中，，，，
∴，
在中，，则，
∴ ．
故选：B．
12．C
【分析】过点作，交于点，交于点，根据正方形的性质与等边三角形的性质，逐项分析计算判断即可．
【解答】解：如图，过点作，交于点，交于点，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形
是等边三角形，
，
是等腰三角形
故①正确
故②不正确
故③正确
故④正确
故选C
【点拨】本题考查了正方形与等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及平方差公式的应用，根据平方差公式即可求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用．
【解答】解：
，
，
，
故答案为：．
14．100
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【解答】解：在中，
∵斜边，
，
故答案为：100．
15．
【分析】此题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的性质，易得及的度数，然后利用含角的直角三角形的性质，求出的长，进而求得的面积，从而求得菱形的面积．
【解答】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
菱形的面积=．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
设与交点为M，根据勾股定理先求出，再根据平行四边形的性质求出，然后根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质即可得答案．
【解答】解：设与交点为M，如图所示：
，，，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
17．1
【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
18．
【分析】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由四边形是矩形，得出，．再解，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，那么．利用同角的余角相等得出，再解，得到，那么，然后根据矩形面积公式即可求解．
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴．
在中，
∵，， ，，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
故答案为：．
19．（1）7；（2）-37+2．
【分析】（1）先将括号内的二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后，再计算除法即可；
（2）利用乘法公式计算即可；
【解答】解：（1）（2-6+3）÷（2）；
＝（4-2+12）÷（2）
＝14÷（2）
＝7
（2）（2+5）（2-5 ）-（）2．
＝（2）2-（5）2-（5﹣2+2）
＝20-50-（7-2）
＝-37+2．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长交于N，根据，，，得到，得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可．
【解答】解：延长交于N，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
则是的中位线，
∴．
21．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，将代数式变形为，然后整体代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴
．
22．(1)见解析
(2)的长是
【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等．
（1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案；
（2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案．
【解答】（1）解：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长是．
23．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先证明，再利用三角形全等及正方形性质证得，利用勾股定理求出的长，再结合点H是的中点，利用直角三角形斜边上的中线性质求得的长度．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴由对顶角性质可得：，
∵在中，点H是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴在中，
由勾股定理得，
∴．
24．(1)A（-4,8）B（-4,0）
(2)D（6,8）
(3)P1（2,-3）、P2（10,3）、P3（-10,13）
【分析】（1）通过算术平方根、平方数的非负性求出AE、AB的值；
（2）设未知边，通过勾股定理构建等式，再求出未知边，从而求出坐标；
（3）分三种情况讨论：CF作对角线；CE作对角线；EF作对角线．
【解答】（1）由得：
AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4
AB=8
∴A（-4,8）
B（-4,0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：

解得：y=6
∴D（6,8）
（3）∵点E到点F：（0-4,8-3）=F（-4,5）
∴P1=（6-4,0-3）=（2,-3）
∵点F到点E：（—4+4,5+3）=E（0,8）
∴P2=（6+4,0+3）=（10,3）
∵点C到点E：（6-6,0+8）=E（0,8）
∴P3=（-4-6,5+8）=（-10,13）
【点拨】本题考查直角坐标系和勾股定理、动点问题，掌握相应知识和技能是本题关键．