山东省烟台市莱州市2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省烟台市莱州市2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了下列计算中，正确的是，下列二次根式中，最简二次根式是，方程的解是等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试题
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答题前，请将自己的班级、姓名，座号填写在相应的位置上．
一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）．
1．代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1且x≠0B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣1且x≠0
2．下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ）
A．2，3，4，6B．2，3，4，5C．2，3，5，7D．3，4，5，6
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）

A． B． C． D．
5．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，，则BC的长为（ ）
A．10B．15C．18D．16
7．方程的解是（ ）
A．B．
C．，D．，
8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
9．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ）
A．2027B．2024C．2025D．2026
10．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝bB．a＝2bC．a＝2bD．a＝4b
11．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0
12．如图，在平行四边形中，点F为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接，若，则图中相似三角形共有（ ）
A．5对B．6对C．7对D．8对
二、填空题（本题共8个小题）
13．若，则的值为 .
14．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
15．若与最简二次根式可以合并，则 ．
16．如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为 ．
17．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为 ．
18．已知，，则 ．
19．制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是 ．
20．如图，在直角中，已知，于点D，若，则BC的长是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
21．配方法解一元二次方程：．
22．计算：
(1)，
(2)先化简，再求值：，其中．
23．求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式值，其中．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
25．如图，在四边形中，，E为的中点，连接，连接交于点．
(1)求证：平分；
(2)；
(3)若，求的长．
26．阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵
∵
∴
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
(1)求的值；
(2)求x的值．
27．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
28．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意，得，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，根据条件列出不等式是解题关键．
2．A
【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵2：3=4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确；
B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误；
C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误；
D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据二次根式的加减运算、乘法运算、除法运算以及二次根式的性质逐项排查即可解答．
【解答】解：A．2与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减运算、乘法运算、除法运算、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
4．D
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．
【解答】∵由图可知，，
∴，，
A．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为，不与相似；
B．选项中三角形各角的度数分别是，，不与相似；
C．选项中三角形各角的度数分别为，，不与相似；
D．选项中三角形各角的度数分别为，，与相似；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．
5．B
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，判定即可．
【解答】解：A、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，所以分母中含有根号，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
6．B
【分析】先根据线段和差可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得．
【解答】解：，，
，
，
，
，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则的长为15，
故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．D
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
故选：．
【点拨】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
8．B
【分析】根据平方的非负性求出x，y的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得，
解得，
①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的周长问题，掌握平方的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键．
将代入一元二次方程，求得，整体代入即可．
【解答】解：将代入一元二次方程得，
，即
∴．
故选：D．
10．B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
11．B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【解答】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点拨】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
12．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，则可证明，，进而证明；再证明，即可证明，进一步证明，即可证明．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中共有7对相似三角形，
故选：C．
13．
【分析】先根据已知设出设，，，代入即可求出答案．
【解答】解：，
设，，
．
故答案为：．
【点拨】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质，合理设参数求解．
14．
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程．
15．4
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【解答】解∶，
∵与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：4．
16．4
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，从而计算出EF的值,即可得到DF的值．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，
∴，即，
∴=，
∴EF=2，
∵DE=2
∴DF=DE+EF=2+2=4
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17．##m
【分析】由，知，据此得，将已知数据代入即可得．
【解答】解：，，
，
又，
，
则，
，，，
，
解得：，
栏杆端应下降的垂直距离为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
18．
【分析】先把代数式分解因式，然后代值求解即可得到答案.
【解答】解：
，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了利用提公因式和平方差公式分解因式，代数式求值，解题的关键在于能够根据题意正确的分解因式.
19．10%
【解答】设平均每次降低成本的百分数是x，
第一次降价后的价格为：100（1-x），第二次降价后的价格是：100（1-x）（1-x），
∴100（1-x）2=81，
解得x=0.1或x=1.9，
∵0＜x＜1，
∴x=0.1=10%，
故答案为10%.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
20．
【分析】由得到，再由勾股定理求出AC的长度，然后易得，根据相似三角形的对应边成比例来求解．
【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴由勾股定理得
．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的判定和性质是解答关键．
21．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：
两边同除以，得，
移项，得，
配方，得，即，
开平方，得，
∴，或，
∴，．
22．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了二次根式的运算、整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的运算法则进行求解．
（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可求解；
（2）先根据整式乘法进行计算，再代入求值即可．
【解答】（1）解：原式

．
（2）解：原式
，
当时，
原式

．
23．(1)小亮
(2)2027
【分析】（1）根据二次根式的性质和得出答案即可；
（2）先根据和二次根式的性质进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和二次根式的性质，完全平方公式，能熟记当时，，当时，是解此题的关键．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∴小亮的解法是错误的；
（2）∵
∴
．
．
24．(1)m≤
(2)-1
【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【小题1】解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
【小题2】根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）证明，根据相似三角形的性质解答；
（2）根据直角三角形的性质求得，从而得到，即可证明；
（3）以及由已知得，进而求出，再根据可得，由此计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）在中，∵为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴．
26．(1)2
(2)
【分析】（1）根据材料给出的“构造对偶式”方法，先计算的值，然后即可求出问题的解．
（2）根据（1）及题意列出方程求解即可．
【解答】（1）解：
=
=
=，
，
．
（2）解：由（1）得，
得，解得．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、加减法运算及理解材料方法是解题关键．
27．29元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
【解答】解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5．
【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=，
∴EF=AE=．
∵，即，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
解：原式
解：原式