2024年陕西省汉中市多校联考中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各数中，相反数是它本身的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【详解】解：相反数等于本身的数是0．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2. 诸葛亮《诫子书》中有言“非学无以广才，非志无以成学”．如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“学”字对面的字是（ ）
A. 非B. 广C. 才D. 以
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点“相对的面之间一定相隔一个正方形”是解题关键．
根据正方体的展开图的特点进行分析即可解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，即“学”与“以”是相对面，“非”与“才”是相对面，“无”与“广”是相对面．
故选：D．
3. “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A所表示的数是”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）
A. 代入法B. 换元法C. 数形结合法D. 分类讨论法
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是数学思想方法，正确理解数学思想是解题的关键．
根据A、B、C、D的四种数学思想结合题目的条件即可判定求解．
【详解】∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A所表示的数是，这种利用图形直观说明问题的方式，A、B、D的说法显然不正确，
∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法．
故选：C．
4. 如图，在中，，将线段向右平移a个单位长度后得到线段（点E、F分别与点A、B对应，且点E、F分别在线段上），当四边形为菱形时，a的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平移性质，菱形性质，先得出四边形是平行四边形，再结合四边形为菱形，得出，即可作答．
【详解】解：∵在中，将线段向右平移a个单位长度后得到线段，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，四边形为菱形，
∴，
则，
即a的值为，
故选：B．
5. 对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键．
根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可．
【详解】根据新定义运算，
可得，
故原式
故选．
6. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，若一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，则k的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后的解析式为，进而求出一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，再根据一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，
∴，
∴在中，当时，，当时，，
∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，
∵一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质以及圆周角推论，熟练掌握圆周角推论是解决本题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角为，推出和的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，即可求出答案．
【详解】，
，
，
，
是的直径，
，
．
故选：B．
8. 已知二次函数（m为常数，且），当时，，则该二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质以及过定点的问题，熟练掌握知识点是解的关键．
通过将进行变形确定过定点，即可求解．
【详解】解：
，
当时，，
∴该函数必过，
故选：D．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 计算的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，根据特殊角的三角函数值计算．
【详解】解：．
故答案为：0
10. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，、为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则（阴影部分）的面积为_______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】先求出六边形的内角，根据对称性可知，，再根据等腰三角形的性质得，进而得出是直角三角形，根据勾股定理和直角三角形的性质得出答案．
【详解】∵该图形是正六边形，
∴．
∵正六边形具有对称性，
∴.
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质等，确定是直角三角形是解题的关键．
11. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到（点的对应点在线段上），则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质和线段和差，由绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】∵绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数列式可得结论．
设点坐标为，点坐标为，则可得出和的长度，从而列式，化简即可求出的值．
【详解】解：由题意可设点坐标为，点坐标为，
由图可得，，
的面积为，
，
化简可得，
则的值为．
故答案为：.
13. 如图，菱形的边长为6，，在的延长线上取一点E，连接并延长交的延长线于点F（与都是锐角三角形），则的最小值为_______．
【答案】12
【解析】
【分析】连接，相交于点P，易得，过点C作于点G，于点H，推出，，，．在上截取，连接，通过证明，得出，进而得出．作的外接圆，连接、、，过点作于点N，则，，推出．根据，得出，结合的最小值为6，即可解答．
【详解】解：连接，相交于点P，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，，
∴，
过点C作于点G，于点H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
作的外接圆，连接、、，过点作于点N，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴的最小值为6．
又∵，
∵
∴的最小值为12．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理，以及解直角三角形的方法和步骤．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先利用绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式进行计算，再进行加减求解即可．
【详解】解：
．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答．
【详解】原式：
当时，
原式．
16. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解不等式组的方法和步骤是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
17. 如图，在等腰中，，请用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了作图—线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，熟练掌握知识点．
作线段的垂直平分线交于点D，连接，即可求解．
【详解】解：如图，点D即为所求．
18. 如图，和都是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点在边上，连接，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．结合等腰直角三角形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，易得，即可证明结论．
【详解】证明：∵和都是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即．
19. 技术的崛起正在改变着我们的生活和工作方式，让我们的生活更加智能、高效、便捷．某机器人月份的销售额为元，经过两个月的连续增长，月份销售额达到了元，求该机器人这两个月销售额的月平均增长率．
【答案】该机器人这两个月销售额的月平均增长率为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该机器人这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设该机器人这两个月销售额的月平均增长率为．
根据题意，得，
解得(舍去)，，
答：该机器人这两个月销售额的月平均增长率为．
20. 2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年以来，中国航天捷报频传，见证我国加快建设航天强国的坚实步伐．爱好航天科技的晓伟同学收集了如图1所示的4张卡片，准备选择2张送给好朋友旭东，他设计了如图2所示的两个可以自由转动的转盘①和②（每个转盘被分成4个面积相等的扇形区域），同时转动两个转盘，转盘均停止转动时，记下每个转盘中指针所指扇形区域上的数（如果指针指到分割线上，那么就取指针右边扇形区域上的数）．若记下的两个数之积为0，则将两张卡片送给旭东；反之，若记下的两个数之积不为0，则将两张卡片送给旭东．
（1）转动转盘①一次，转盘停止转动后，指针指向的数为偶数的概率为______；
．神舟十八号 ．中国空间站
．鹊桥二号 ．嫦娥五号
（2）请用列表法或画树状图的方法，求晓伟将两张卡片送给旭东的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单概率计算以及列举法求概率，熟练掌握简单概率计算公式和正确作出树状图是解题关键．
（1）根据简单概率计算公式求解即可；
（2）根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
【小问1详解】
解：转动转盘①，指针指向1、2、3、4区是等可能情况，
∴转动转盘①一次，转盘停止转动后，指针指向的数为偶数的概率为；
【小问2详解】
根据题意画出树状图如下，
一共有16种等可能的情况，两数之积不为0的情况有12种，
所以，晓伟将两张卡片送给旭东的概率为．
21. 2024年4月18日，西安市教育局召开全市践行“三个课堂”现场推进会．为了加强“三个课堂”建设，使“立德树人”在课堂深耕厚植，某校建成了一处劳动实践基地，计划将其全部用来种植蔬菜．经调查发现，某种蔬菜的种植成本（元/平方米）与其种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）请求出图中段与之间的函数关系式；
（2）当这种蔬菜每平方米的种植成本不超过26元时，种植蔬菜的面积最大为多少平方米？
【答案】（1）图中段与之间的函数关系式为
（2）种植蔬菜的面积最大为500平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确解得段与之间的函数关系式是解题关键．
（1）设图中段与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，令，可得，求解即可获得答案．
【小问1详解】
解：（1）设图中段与之间的函数关系式为，
根据题意，将点，代入，
可得，解得，
∴段与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
对于函数，令，
可得，解得，
∴种植蔬菜的面积最大为500平方米．
22. 香积寺塔，位于陕西省礼泉县香积寺内，俗称薄太后塔，是一座楼阁式砖塔，现为陕西省文物保护单位某实践小组欲测量香积寺塔（如图）的高度，如图，甲同学在地面上的点处竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶恰好在一条直线上，乙同学将一架无人机置于点处，测得塔顶的仰角，经测量，米，米，无人机距离地面的高度米，米已知、、、四点在同一水平直线上，、、，图中所有的点都在同一平面内，请你计算该塔的高度．（结果保留根号）
【答案】该塔的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
由题意可得，，从而得出，，求出，再延长交于点，如图，则米，，故，化简可得．
【详解】解：，，
，
，
，
，即为，
化简可得，
延长交于点，如图，则米，，
在中，，
，
解得，
即该塔的高度为米．
23. 近年来，陕西省全面推进现代农业“智慧”建设，并以科技赋能现代农业发展，走出了特色产业扩规模、增效益、集群化发展的新路径某草莓种植园区为了比较营养液和营养液对草莓产量的影响，现分甲、乙两个小组各选取10株长势相近的草莓幼苗进行对照实验．甲组使用营养液，乙组使用营养液，将每株的产量记录整理，并绘制了如下统计图表，请根据统计图表中的信息，解答下列问题；
（1）表中的值为______，的值为______；
（2）请计算表中的值；（写出计算过程）
（3）如果你是该草莓种植园区的负责人，你会使用哪种营养液？并说明理由．
【答案】（1）28，24.5
（2）25 （3）我是该草莓种植园区的负责人，我会使用营养液，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及统计数据的应用等知识，熟练掌握相关概念是解题关键．
（1）根据众数和中位数定义求解即可；
（2）根据平均数的定义求解即可；
（3）比较两组数据的众数、中位数和平均数，即可获得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，甲组每株的产量出现次数最多的是28，出现了3次，
故甲组每株产量数据的众数为28；
将乙组每株产量数据按照从小到大的顺序排列，
为22，22，24，24，24，25，25，26，28，30，
排在第5位和第6位的是24和25，
所以，乙组每株产量数据的中位数为．
故答案为：28，24.5；
【小问2详解】
乙组每株产量数据的平均数为；
【小问3详解】
我是该草莓种植园区的负责人，我会使用营养液．
理由如下：甲组使用营养液，乙组使用营养液，
由统计数据可知，甲组每株产量数据的众数、中位数和平均数均大于甲组每株产量数据，
所以，我会使用营养液．
24. 如图，内接于，为的直径，平分交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，记与的交点为F，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质．
（1）利用圆周角定理结合角平分线的定义求得，再由切线的性质得到，据此即可证明；
（2）证明，推出，据此即可证明．
【小问1详解】
证明：连接，如图．
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，且）与x轴交于两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C为抛物线上一点，连接，过点C作轴于点D，点F为x轴上的动点，作抛物线L，关于原点O对称的抛物线，当点C在抛物线L₁的对称轴左侧，且的面积为12时，在抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，点E的坐标为或或或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的判定，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）当点C位于点的位置时，点E位于点或点的位置，当点C位于点的位置时，点E位于点或点的位置，分两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴
解得：，
∴抛物线的函数表达．
【小问2详解】
解：∵，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵，轴于点D，
∴，
解得，
∴点C的纵坐标为6或，即点C位于点或的位置，
∵点D、F均在x轴上，轴于点D，
∴，
∴与是以点C、D、E、F为顶点的矩形的一组邻边，
∴，即轴，
∴点E的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∵抛物线关于原点O对称的抛物线为，
∴易得抛物线L的函数表达式为，
①当点C位于点的位置时，点E位于点或点的位置，
此时点与点的纵坐标均为6，
在中，令，得，
解得，
∴，
②当点C位于点的位置时，点E位于点或点的位置，
此时点与点的纵坐标均为-6．
在中，令，得，
解得，，
∴，
综上可知，在抛物线上存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为或或或．
26. 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，且，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，连接，，点M、N分别为边的中点，连接，求线段的长；
【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区，经测量，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得，连接并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由．
【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2）；（3）与相等，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的应用、正方形的判定与应用等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）先证可得，再证即可；
（2）如图：如图2：取的中点P，连接，先证为的中位线，为的中位线可得，进而得到、，然后运用勾股定理即可解答；
（3）如图3：过点D作于点P，先证四边形为正方形，再证为等腰直角三角形，进而得到点F在正方形的边上．如图3：连接，取的中点O，连接，易证，进而得到为等腰直角三角形；再说明为的中位线，最后根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下：
根据题意可得：．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）取的中点P，连接，如图2．
∵点M、N、P分别是的中点，
∴为的中位线，为的中位线，
，
∴，
∴．
∴，…………
∴，
∴．
（3）与相等，理由如下：
如图3：过点D作于点P，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
∵，
∴四边形为正方形．
∵，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．……………………………………………
∵点E在边上，点F、G在边上，，
∴点F在正方形的边上．
如图3：连接，取的中点O，连接，则，
∴,
∵,
∴，即，
∴,
∴．……………………………………………
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵点O、F分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴．
组别
众数/颗
中位数/颗
平均数/颗
甲组
25.5
26
乙组
24