北京市北京师范大学第二附属中学西城实验学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023−2024学年度第二学期北师大二附中西城实验学校初一年级数学学科期中检测试题2024年4月一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 点在平面直角坐标系中的第（ ）象限．A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】B【解析】【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据点在各象限内的坐标符号即可解答．【详解】解：∵点的横坐标小于0，纵坐标大于0，∴点在第二象限．故选：B．2. 下列各数中3.141，，，，，无理数有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．【详解】解：，则，是无理数，共2个故选：A．3. 如图，下列线段中，长度最短的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂线段最短：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短．据此即可求解．【详解】解：∵，∴长度最短的是，故选：C4. 下列命题中，假命题是（ ）A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了命题与定理，直线的位置关系等知识点，利用两直线的位置关系、平行线和垂线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握有关的定义及定理是解决此题的关键．【详解】A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，正确，是真命题，不符合题意；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；D、两条直线被第三条直线所截且这两直线平行时，同旁内角互补，故原命题错误，符合题意；故选：D．5. 若，则下列不等式变形正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意；B．∵，∴，故本选项不符合题意；C．∵，∴，∴，故本选项符合题意；D．∵，∴，故本选项不符合题意．故选：C．6. 如图，已知直线，点在直线上，且，，则的度数为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质求出的度数，继而求出，由对顶角相等可得出．本题考查了平行线的性质，解答本题的关键需要掌握平行线的性质及对顶角相等．【详解】解：如图：直线，，又，，．故选：A．7. 不等式的解集在数轴上的表示正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】去分母得，，系数化为1得，．在数轴上表示为： 故选D．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自点处向上运动1个单位长度至点处，然后向左运动2个单位长度至点处，再向下运动3个单位长度至点处，再向右运动4个单位长度至点处，再向上运动5个单位长度至点处……如此继续运动下去，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到个数相加的规律．经过观察分析可得每个数的和为，把个数分为组，即可得到相应结果．【小问1详解】解：由题意可知 ……于是得到的值为1，，，3，∴∵的值分别为3，，，，∴；…，∵∴．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 若是方程的解，则a的值为______．【答案】3【解析】【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值．【详解】解：把代入方程得：2+2a=8，∴a=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．10. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后，它的坐标变为__________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查对坐标与图形变化-平移的理解和掌握．根据平移的性质得出所对应的点的横坐标是，纵坐标不变，求出即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位，∴所对应的点的横坐标是，纵坐标不变，∴所对应的点的坐标是，故答案为：．11. 在等式中，括号的数等于____________．【答案】或【解析】【分析】本题考查了平方根的性质，设括号内的数为，根据平方根的定义解方程，即可求解．【详解】解：∵设括号内的数为，∴∴，∴解得：或故答案为：或．12. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__________． 【答案】N【解析】分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握的取值范围是解题的关键．先计算出的取值范围，再对照点，，，在数轴上的位置，即可得出结果．【详解】解：，，，由数轴可知，只有点的取值范围在0和1之间，故答案为：N．13. 如图，AB∥CD，，，则________．【答案】40【解析】【分析】由得到，再利用三角形外角定理可以求出．【详解】∵，∠C＝70°，∴，又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°，∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到＝∠FEB－∠A是解题关键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．14. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【解析】【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解．【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．15. 在平面直角坐标系中，点M到y轴的距离是3，到x轴的距离是1，且在第一象限，则点M的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了点的坐标，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．【详解】解：设，点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，，点位于第一象限，得，点M的坐标为，故答案为：．16. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行_______ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______ .【答案】 ①. 3 ②. 255【解析】【详解】①∵根据定义，，∴对81只需进行3 次操作后变为1.②设，x为正整数，则，∴，即最大正整数是3.设，为正整数，则，∴，即最大正整数是15.设，为正整数，则，∴，即最大正整数是255.∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.故答案为3，255.三、解答题（本大题共8小题，第17题、第18题各10分，第19题12分，第20题7分，第21题、22题各6分，第23题8分，第24题9分，共68分）17. 计算：（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用算术平方根的意义，绝对值的意义，立方根的意义将原式化简，再进行合并即可；（2）利用二次根式的性质将原式化简，再进行合并即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题考查实数的运算．掌握相应的运算法则解题的关键．18. 求等式中x的值：（1）；（2）．【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义．（1）利用平方根定义解方程即可；（2）利用立方根定义解方程即可．【小问1详解】解：，方程两边同除以25得：，开平方得：．【小问2详解】解：，移项，合并同类项得：，开立方得：，解得：．19 （1）解二元一次方程组（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．【答案】（1）（2），图见解析【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的解集，并在数轴上表示解集：（1）加减消元法解方程组即可；（2）先求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可．【详解】解：（1），，得：，解得：，把代入①，得：，解得：，∴方程组的解为：；（2），解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得， 用数轴表示为：20. 请将下列证明过程补充完整：如图，点E、F、M、N分别在线段、、上，，．求证：．证明：∵（已知）∴ （ ）（填推理的依据）∴（ ）（填推理的依据）∵（已知）又∵（ ）∴（ ）∴（ ）∴（同位角相等，两直线平行）∴（ ）．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的性质，根据题干的提示逐一完善推理过程与推理依据即可，掌握平行线的判定方法与性质是解本题的关键．【详解】证明：∵（已知）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵（已知）又∵（邻补角定义）∴（同角的补角相等）∴（等量代换）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同位角相等）．21. 颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．期中考试过后，我校将组织初一级部学生赴颐和园进行综合实践活动，请利用平面直角坐标系相关内容解决下列问题．（1）若A秋水亭坐标为，C佛香阁的坐标为，请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点B、D的坐标；（2）在（1）的条件下，以A、C、D三个点为顶点的三角形面积是_________．【答案】（1）图见解析，， （2）5【解析】分析】本题考查坐标与图形，用坐标表示实际位置：（1）根据题意，确定原点的位置，建立直角坐标系，进而写出点的坐标即可；（2）分割法求三角形的面积即可．【小问1详解】解：建立直角坐标系如图：由图可知：，【小问2详解】由图可知：；故答案为：5．22. 已知：如图，∠B=∠1，∠A=∠E．（1）求证：ACEF；（2）如果∠F=60°，求∠ACF的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°【解析】【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；（2）根据平行线的性质中，同旁内角互补可计算出．【详解】解：（1）证明：∵∠B=∠1（已知），∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．∴∠A=∠AME(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠A=∠E（已知），∴∠E=∠AME（等量代换）．∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AC∥EF（已证），∴∠ACF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠F=60°（已知），∴∠ACF=120°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：掌握平行线的判定与性质．23. 2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元．（1）求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价；（2）看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？【答案】（1）每个冰墩墩售价是30元；每个雪容融的售价是22元 （2）6个【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点．找准等量关系正确列出一元一次方程，根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式是解题的关键．（1）设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元，根据“1个“冰墩墩”和3个“雪容融”销售总额为96元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可．（2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个，根据“销售总额不少于268元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可．【小问1详解】解：设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元．根据题意得：，解得：．因此，冰墩墩售价为（元）答：每个冰墩墩售价是30元，每个雪容融的售价是22元．【小问2详解】设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个，根据题意得：，解得：，∴m的最小值为6．答：冰墩墩至少销售了6个．24. 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，，则的度数是 ；（2）如图2，判断，，之间的数量关系，并证明；（3）如图3，，平分，交于点O， ，求的度数．【答案】（1） （2），证明见解析 （3）【解析】【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；（3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数．小问1详解】解：如图1，过点作，，，，，，，，，故答案为：；【小问2详解】解：理由：如图2，过点作，则，，，，，，故答案为：；【小问3详解】解：如图3，设交于点， ，，∵∴，，，，，平分，，，由（2）得：，，．附加题（共10分）25. “说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．（1）到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如下示意图：由图形面积可得 ．因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ．（2）请仿照上述探究过程探究的大小．已知：，在下图中画出示意图，并标出相关数据结论：（保留到0.001）【答案】（1），，， （2）2.646，图见解析【解析】【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键．（1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可；（2）画一个边长为7的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可．【小问1详解】解：由图形面积可得．因为x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．故答案为：，，，；【小问2详解】我们知道面积是7的正方形边长是，且，设，画出如下示意图：由图形面积可得．因为x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．故答案为：2.646．26. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“未来距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“未来距离”为，记为．（1）已知点，点为y轴上的一个动点．①若，求点的坐标；②的最小值为______；③动点满足，所有动点组成的图形面积为100，求的值．（2）对于点，点，若有动点使得，请在图1平面直角坐标系中用阴影表示出符合条件的所有点覆盖的区域．【答案】（1）①或；②2； ③ （2）见解析【解析】【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标；②根据点A、B的横坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2；③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为100计算即可；（2）根据，点，，有动点，使得，得出或，然后分情况进行讨论，得出答案即可．【小问1详解】解：①设，∵，，∴，∴，∴点的坐标为或；②∵，设，∴，∴的最小值为2；③∵，点满足，∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图所示：∴，∴；【小问2详解】解：∵，点，，∴，，∴点A、E的横坐标之差的绝对值为3， ∵有动点，使得，∴或，当时，，当时，或，不符合题意，当时，，当时，，∴当或时，，①当时，，时，化简为，一定成立，时，化简为，化简为，时，化简为，化简为，∵时，一定成立，∴时，，∴当时，点M在直线的下方，在直线的上方；②当时，，，时，一定成立，可化为，时，化简为，化简为，∵时，一定成立，∴时，，时，化简为，化简为，∵时，一定成立，∴时，，∴当时，点M在直线的下方，在直线的上方；∴符合条件的所有点覆盖的区域，如图所示：【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形性质，一次函数的性质，正确理解“未来距离”的定义是解题的关键．