北京市宣武外国语实验学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1、本试卷共100分，考试时间100分钟．
2、试卷分为三个大题，共6页，请考生在答题卡上作答．
3、请考生在左侧认真填写自己的个人信息．
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 如图是第七届世界军人运动会的吉祥物“兵兵”，将图中的“兵兵”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 下列各数中的无理数是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
5. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 实数和数轴上的点是一一对应的
6. 如图，下列四个条件中能判定的有（ ）
①；②；③；④
A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④
7. 如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转航行到B处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为（ ）
A. 北偏东B. 北偏西C. 北偏东D. 北偏西
9. 在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③
10. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形的面积等于3的P点有4个．
A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ①②③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11. 的相反数是 _____．
12. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）．
13. 在平面直角坐标系中，点P（－3，4）到x轴的距离为________．
14. 如图，直线、、相交于点，若，，则____．
15. 已知是二元一次方程的一个解，那么a的值为__________．
16. 若点在y轴上，则_____．
17. 已知，则_____．
18. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则___．
19. 已知线段AB=3，AB∥y轴，若点A的坐标为（-1，2），则点B的坐标为____________.
20. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
下面有四个推断：
①＝2.62；
②一定有6个整数的算术平方根在26.6～26.7之间；
③对于小于26的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于5.21；
④若一个正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．
所有合理推断的序号是___．
三、解答题（第21题8分，第22题6分，第23题8分，第24题4分，第25-28题每小题6分，第29-30题每题5分，共60分）
21. 计算：
（1）
（2）
22. 求下列各式中x值：
（1）
（2）
23. 解下列方程组：
（1）
（2）
24. 已知，如图，点P射线上．
（1）过点P作射线的垂线l；
（2）过点P作射线的垂线段，比较与的大小： （填“”“”或“”）；理由： ．
25. 已知：如图，点D是上任意一点，，交的延长线于点E，，垂足为点F，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴ ，
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
（1）在网格中画出这个平面直角坐标系；
（2）连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．
①画出线段AD，点D的坐标为______；
②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．
27. 如图，已知，平分，，，求证：．
28. 列方程（组）解决问题
每年4月23日是世界读书日．某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现：若购买A种书柜5个，B种书柜2个，共需资金1900元；若购买A种书柜2个，B种书柜5个，共需资金1600元．
（1）A，B两种规格书柜的单价分别是多少元？
（2）若该校准备用1900元购买两种书柜（要求既有购买A种书柜，又有购买B种书柜，且资金1900元须全部用完），请列出所有可能的购买方案．
29. 已知，如图，射线分别与直线，相交于E，F两点，的平分线与直线相交于点M，射线交于点N，，．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）在射线上取点G，线段上取点H，使得，依题意补全图形并求的度数（用含的式子表示）．
30. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点，，与的“直角距离”记为．例如，点与的“直角距离”．
（1）已知点．
①点与点的“直角距离” ；
②若点与整点的“直角距离”，则的值为 ；
（2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和．

①若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到， 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站的位置共有 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点“直角距离”之和最小的消防站的坐标为 ．x
26
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
26.6
26.7
26.8
26.9
27
x2
676
681.21
686.44
691.69
696.96
702.25
707.56
712.89
718.24
723.61
729