河北省邯郸市汉光中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（1-6题每题3分，7-16题每题2分，共38分）
1. 下列实数中最小的是（ ）
A. －B. －3C. －D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】通过比较四个实数的大小即可得出答案．
【详解】，
∴最小的数是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，掌握负数大小比较的方法是解题的关键．
2. 如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线段最短进行判断即可．
【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，
故选：C．
【点睛】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键．
3. 已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，然后求解即可．
【详解】解：∵点，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，即：或，
解得或，
当时，，，
当时，，，
∴点的坐标为或．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握点到两坐标轴的距离相等即是点横纵坐标绝对值相等，据此列出方程是解题的关键．
4. 将二元一次方程化成用x的代数式表示y的形式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将x看做已知数求出y即可．
【详解】
故选A.
【点睛】考查等式基本性质以及二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.
5. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．根据算术平方根以及平方根的定义解决此题．
【详解】解：，
的平方根是．
故选：A
6. 下列命题为真命题的有（ ）
①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质即可判断①，根据无理数的定义即可判断②，根据点与直线的关系即可判断③④．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，是假命题；
②无理数都是无限小数，是真命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键．
7. 若是16的一个平方根，则x的值为( )
A. 1B. C. 1或D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出．
【详解】解：∵是16的一个平方根，
∴或
解得：或，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的应用，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得，即可求解．
【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得
故选B
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键．
9. 已知点，则P到y轴的距离为（ ）
A. B. 4C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
【详解】解：，则点P到y轴的距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．
10. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系一定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角的余角相等以及对顶角相等，即可得出∠1和∠2的关系．
【详解】解：如图所示，
∵∠BAC=90°，∠D=90°，
∴∠2+∠DAC=∠3+∠DAC=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
故选：A
【点睛】本题主要考查的是余角的性质和对顶角相等，解题的时候需要注意，等角的余角也相等．
11. 如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案．
【详解】解：设一个苹果的重量为，一只香蕉的重量为，一个三角形的重量为，
，，
，
，
故选：D
12. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点B，A分别落在，位置上，与的交点为G．若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质以及折叠的性质，根据已知得出是解题关键．
13. 今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年岁，妹妹今年岁，得到的方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设今年哥哥岁，妹妹岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，可得，再根据2年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍可得，进而可得答案．
【详解】解：设今年哥哥岁，妹妹岁，由题意得：
．
故选：B
14. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过．如果第一次拐角∠A＝100°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得AE∥BD∥CF，则可求得：∠A=∠1，∠2+∠C=180°，则可求得∠C的值．
【详解】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A=∠1，∠2+∠C=180°，
∵∠A=100°，∠1+∠2=∠ABC=150°，
∴∠2=50°，
∴∠C=180°∠2=180°50°=130°，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意过一点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质解题是常见做法．
15. 方程组的解中x与y的值相等，则k等于( )
A. 2B. 1C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据x与y的值代入，把y=x代入方程组求出k的值即可．
【详解】解：根据题意得：y=x，
代入方程组得：，
解得： ，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两个方程都成立的未知数的值.
16. 如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC=∠B，④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）
A. ①②B. ②④C. ②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一进行排除即可．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，不符合题意；
②∠3=∠4，
∴BC∥AD，故符合题意；
③∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴BC∥AD，符合题意；
④∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴BC∥AD，符合题意；
∴能推出BC∥AD的条件为②③④；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共9分）
17. 若，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位．
【详解】解：因为，所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左(或右)移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．
18. 如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求图中阴影部分面积为____________平方厘米．

【答案】44
【解析】
【分析】设小长方形的长为，小长方形的宽为，观察图形数量关系列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积减去6个小长方形的面积，即可得出结论．
【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为．
依题意，得，
解得，
故阴影部分的面积．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19. 如图，直线，点在上，点在上，点在之间，和的角平分线相交于点的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论：
①；
②；
③若，则；
④．
其中正确的结论是___________（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质应用是解题关键．作，证出，由内错角相等可得①正确；同理可证，再根据角平分线的性质，可得②正确；若，则，再有平行性质可得因为与不一定相等，所以与不一定相等，判断③不正确；由平分平分，得到，即，即可判断④正确．
【详解】解：①：作，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故①正确；
同理可得：
∵平分平分
∴
∴
即，故②正确；
设交于点
若，则
∵
∴
∵平分
∴
∴
若则
∵与不一定相等，
∴与不一定相等，故③不正确；
∵平分平分
∴
∴
∵
∴
∴
∴故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共7小题，共73分）
20. 计算，解方程组
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算和解二元一次方程组，掌握加减消元法是关键．
（1）先化简各式，再进行加减即可
（2）先计算绝对值，再合并即可；
（3）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
（4）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组解为；
【小问4详解】
，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解为．
21. 如图，直线相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对顶角和邻补角可求出的度数，根据角平分线的定义可得即可求解；
（2）由得到，根据，可求出的度数，即可求出的度数，再利用角平分线的定义即可求解．
【小问1详解】
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
【小问2详解】
解：
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
22. 某种教学仪器由1个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件100个或者加工B部件120个．现有工人14名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
【答案】安排4人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．
【解析】
【分析】设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，就有和，由这两个方程构成方程组，求出其解即可．
【详解】设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件
由题意得：
解得：
答：安排4人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件正确建立方程组是关键．
23. 如图，有一张长宽比为的长方形纸片ABCD，而积为．
（1）求长方形纸片的长和宽；
（2）小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由．
【答案】（1）24cm，16cm ．
（2）她能裁出符合要求的长方形，理由见详解
【解析】
【分析】（1）设长方形的长为cm，宽为cm，再利用长方形的面积公式，列出方程，即可求出结论；
（2）设长方形纸片的长为（）cm，则宽为cm，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果．
【小问1详解】
解：设长方形的长为cm，宽为cm，
根据题意得： ，
解得：（负值舍去）
∴．
答：长方形纸片的长和宽分别是24cm，16cm ．
【小问2详解】
解：能，理由如下：
设长方形纸片的长为（）cm，则宽为cm，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴
∴她能裁出符合要求的长方形.
【点睛】本题考查了算术平方根以及长方形的面积，解题的关键是：找准等量关系，正确列出相应的方程．
24. 嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组；
（2）妈妈说：“你猜错了”，我看到该题标准答案与一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用加减消元法解方程组即可；
（2）用代入消元法解方程组，然后代入求出缺少系数即可．
【小问1详解】
①②得，，解得，
把代入①，解得，
所以
【小问2详解】
由题意可得，代入，得，解得，
所以
设“□”为，则有，解得，
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
25. 某物流公司在运货时有A、两种车型，如果用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物.现需要运输货物吨，计划同时租用A型车和型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．
（1）辆A型车和辆型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金．
【答案】（1）辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨
（2）租车方案见解析；当租用辆A型车，辆型车时，租金最少；最少租金为元
【解析】
【分析】（1）设辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨，根据“用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运吨货物”即可得出关于，的二元一次方程组求解即可；
（2）设需租用A型车辆，型车辆，根据“这些车一次可运输吨货物且每辆车都载满货物”列关于、的二元一次方程，再结合，均为正整数确定各租车方案，再求出各租车方案所需租金，最后比较后即可解答．
【小问1详解】
解：设辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨，
依题意得：，解得：．
答：辆A型车载满货物一次可运输货物吨，辆型车载满货物一次可运输货物吨．
【小问2详解】
解：设需租用A型车辆，型车辆，
依题意得：，

又，均为正整数，
或，
该物流公司共有种租车方案，
方案：租用辆A型车，辆型车，所需租车费用为元；
方案：租用辆A型车，辆型车，所需租车费用为元．
，
当租用辆A型车，辆型车时，租金最少，最少租金为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
26. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点在轴上，点在轴上，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形移动一周）．
（1）分别求出点，，的坐标；
（2）当点移动了4秒时，求出点的坐标；
（3）在移动过程中，当三角形的面积是10时，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】（1）点，点，；（2）点；（3）的坐标为，，，．
【解析】
【分析】（1）由点A，点C分别在x轴上，y轴上，可求解；
（2）通过计算可得此时点P在CB上，且CP=2，可求点P坐标；
（3）分点P在OC，BC，AB，AO上，由三角形面积公式可求解．
【详解】解：（1）∵点在轴上，点在轴上，
∴，，
∴，，
∴点，点，；
（2）由（1）得可知：点，点，
∴，
当点移动了4秒时，移动的路程为：，
∴此时点在上，且，
∴点；
（3）①如图1所示，当点P在OC上时，
∵△OBP的面积是10，
∴OP•BC=10，即OP×4=10，
解得：OP=5，
∴点P的坐标为（0，5）；
②如图2所示，当点P在BC上时，
∵△OBP的面积是10，
∴BP•OC=10，即BP×6=10，
解得：BP=，
∴CP=，
∴点P的坐标为；
③如图3所示，当点P在AB上时，
∵△OBP的面积为10，
∴BP•OA=10，即BP×4=10，
解得：BP=5，
∴AP=1，
∴点P的坐标为（4，1）；
④如图4所示，当点P在OA上时，
∵△OBP的面积是10，
∴OP•AB=10，即OP×6=10，解得OP=，
∴点P的坐标为；
综上所述：的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．