吉林省吉林市丰满区吉林松花江中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，是无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐一判断即可求解，熟记：“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键．
【详解】解：、、是有理数，则A、C、D选项不符合题意；
是无理数，则B选项符合题意，
故选B．
2. 下列是二元一次方程的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”即可得，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，是一元一次方程，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
D、，是二元一次方程，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
【详解】解：点（4，-3）在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4. 已知下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④两点之间，线段最短．其中是真命题的是（ ）
A. ②③B. ①④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定、对顶角的性质、真假命题及线段的意义，熟练掌握平行线的性质、对顶角的意义及线段的意义是解题的关键．
【详解】解：：①对顶角相等，是真命题；
②同位角相等，两直线平行，是真命题；
③若，则或，原命题是假命题；
④两点之间，线段最短，是真命题；
真命题为①②④，
故选C．
5. 已知方程组，则x﹣y的值是（ ）
A. 2B. ﹣2C. 0D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】方程组两方程相减即可求出所求．
【详解】解：，
②①得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了加减消元的方法得到目标表达式的值．
6. 如图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 4的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；
根据算术平方根的概念即可求出结果．
【详解】解：，
4的算术平方根是2，
故答案为：2．
8. 的相反数是_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据一个数前面加上“-”就得到这个数的相反数进行求解即可．
【详解】的相反数是-（），
即：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本是考查了实数的性质，解题的关键是熟练掌握数a的相反数是-a．
9. 如图，要从马路对面给村庄P处拉网线，技术人员计划沿着垂线段拉线最节省材料，这样的依据是________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】此题考查了几何知识的应用能力，关键是能根据问题选择合适的几何知识．根据题意可得符合垂线段最短原理．
【详解】解：由题意可得是利用了垂线段最短原理，
故答案为：垂线段最短．
10. 若是方程的解，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据使方程成立的未知数的值，是方程的解，把代入方程，计算即可．
【详解】解：把代入，
得：，解得：；
故答案为：3．
11. 已知点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，且它在第二象限内，则点A的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据坐标的表示方法由点到轴的距离为3，到轴的距离为4，且它在第二象限内即可得到点的坐标为．
【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
，
它在第二象限内，
点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标：在直角坐标系中，过一点分别作轴和轴的垂线，用垂足在轴上的坐标表示这个点的横坐标，垂足在轴上的坐标表示这个点的纵坐标；在第二象限，横坐标为负数，纵坐标为正数．
12. 如图，直线、相交于点，，．则度数为____________．

【答案】度##
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了对顶角，解题的关键是掌握对顶角相等．
13. 若方程组的解为则被遮盖的表示的数为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先将方程组的解代入第二个方程求出y，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
故答案为：0．
14. 如图，将直角三角形沿边向右平移得到直角三角形交于点G．若，，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质以及梯形的面积，根据平移的性质确定出的长度是解题的关键．
根据的长度求出的长度，再利用梯形的面积公式求解即可．
【详解】将直角三角形沿边向右平移得到直角三角形，，
，，，
即阴影部分为梯形，
，
，
阴影部分的面积为：，
故答案为：21．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、先算乘方、开立方及算术平方根，再进行合并即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
16. 用代入消元法解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程，将①代入②，即可消去x，求出y值，再把y值代入①，求出x即可得解．
【详解】解：把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
17. 用加减消元法解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握利用加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程是解题的关键．
通过，利用加减消元法将两式加减消掉未知数y，求出x，再把求出的x代入①，即可求解；
【详解】解：
得：，
，
把代入得，
方程组的解为：．
18. 如图是一个动物园的示意图，但粗心的小明忘记画平面直角坐标系了．现在已知虎豹园的坐标是，孔雀园的坐标是，请你建立适当的平面直角坐标系，并写出大象园、猴山与熊猫馆的坐标．
【答案】坐标系见解析，大象园的坐标为，猴山的坐标为，熊猫馆的坐标是
【解析】
【分析】本题主要考查了利用直角坐标系确定点的位置．根据给出的孔雀园和虎豹园的坐标建立直角坐标系，并把其他景点标注在所作直角坐标系的正确位置．
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
大象园的坐标为，猴山的坐标为，熊猫馆的坐标是．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点H．已知，．
（1）与平行吗？说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定及性质：
（1）利用平行线的判定及性质即可求解；
（2）由（1）得：，进而可得，进而可求解；
熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，
，
；
【小问2详解】
由（1）得：，
，
，
，
．
20. 已知正数a的两个不同的平方根分别是和．
（1）求x和a的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）x的值为4，a的值为36
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个且互为相反数列出正确的关系式是解决本题的关键．
（1）根据平方根的定义，两不同平方根互为相反数，列式求解即可，
（2）将a、x的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解．
【小问1详解】
正数a的两个不同的平方根分别是和，
，
解得：，
，
．
【小问2详解】
把，代入得
，
64的立方根为4，
的立方根是4．
21. 按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，原点O及三角形的顶点都在格点上．

（1）点A的坐标为________；
（2）将三角形先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到三角形，画出三角形，并写出点A的对应点的坐标；
（3）三角形的面积为________．
【答案】（1）
（2）作图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换、割补法求三角形面积等知识点，掌握平移变换以及利用割补法求三角形面积是解答本题的关键．
（1）根据点A的的位置和平面直角坐标系直接写成坐标即可；
（2）根据平移规律即可画出三角形，然后写成点的坐标即可；
（3）利用割补法求三角形的面积，把三角形补全成一个长方形，然后用长方形的面积减去其他三个三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图所示：点A的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，三角形即为所作；

点A的对应点的坐标；
【小问3详解】
解：三角形的面积=，
故答案为：．
22. 某校为体育节的球类比赛筹备器材．他们从体育用品商店了解到，买2个篮球和4个足球需440元；买1个篮球和3个足球需285元．求篮球和足球的单价各是多少元？
【答案】篮球的单价是90元，足球的单价是65元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，能根据等量关系列出方程组是解题的关键．
设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据买2个篮球和4个足球需440元；买1个篮球和3个足球需285元列方程解答即可得解；
【详解】解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意，得
，
解得，
答：篮球的单价是90元，足球的单价是65元．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 已知点，解答下列问题．
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）若点的坐标为，且轴，求出点的坐标．
【答案】（1）点的坐标为
（2）点的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据在轴上的点的特征，横坐标为零，得到，求出的值即可得到点的坐标；
（2）由点的坐标为，且轴可得，求出的值即可得到点的坐标．
【小问1详解】
解：∵点轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点的坐标为，且轴，
∴．
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握在轴上的点的横坐标为零，平行于轴的直线上的两个点的纵坐标相等是解题的关键．
24. 已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【详解】（1）由题意，得
①＋②，得5x＝10，解得x＝2．
把x＝2代入①，得4＋5y＝－26，解得y＝－6．
∴这两个方程组的相同解为
（2）把代入得
解此方程组，得a＝1，b＝－1，
∴（2a＋b）2024＝（2－1）2024＝1．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知，其中x是整数，且，求的值．
【答案】（1）7；．
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查的是求无理数的整数部分、小数部分和实数的运算，掌握求无理数的取值范围是解决此题的关键．
（1）先求出的取值范围即可解题；
（2）先求出和的取值范围，即可求出a，b的值，代入即可解题；
（3）先求出的取值范围，即可求出的整数部分和小数部分，从而求出x和y，从而求出结论．
【小问1详解】
解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∴．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点P为y轴上一动点，b、c满足．
（1）直接写出b、c的值：________，________；
（2）求梯形的面积；
（3）当点P在y轴上运动时，是否存在一个点P，使三角形的面积是梯形面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当点P在y轴正半轴上运动时（不包括点O、C），、、三者之间是否存在某种固定的数量关系？如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；4 （2）
（3）或．
（4）存在，①当点P在线段上时，；②当点P在线段的延长线上时，．
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质，求出、即可；
（2）直接运用梯形面积公式列式计算，即可作答．
（3）设，根据，构建方程即可解决问题；
（4）分三种情形，分别画出图形利用平行线的性质解决问题即可．
本题考查平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
【小问1详解】
解：，
又，，
，．
故答案为：6，4；
【小问2详解】
解：∵，．
∴，，
∵，
∴
∴梯形的面积为；
【小问3详解】
解：设点的坐标为，
由（1）可知：、，
，
即：，
解得：，
的坐标为或．
【小问4详解】
证明：①如图1中，当点在线段上时，
过点作，
，
，
，，
，
即；
②如图3中，当点在延长线上时，
过点作，
，
，
，，
，
．
∴①当点P在线段OC上时，；②当点P在线段OC的延长线上时，