江苏省盐城市亭湖区盐城景山中学2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题

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一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
3. 对“某市明天下雨的概率是80%”这句话，理解正确的是（ ）
A. 某市明天将有80%的时间下雨
B. 某市明天将有80%的地区下雨
C. 某市明天一定会下雨
D. 某市明天下雨的可能性较大
【答案】D
【解析】
【分析】概率它反映随机事件出现的可能性大小，随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件．
【详解】解：A，某市明天将有的时间下雨不符合对概率意义的理解，不符合题意，
B，某市明天将有的地区下雨不符合对概率意义的理解，不符合题意，
C，某市明天一定会下雨不符合对概率意义的理解，不符合题意，
D，某市明天下雨的可能性较大符合对概率意义的理解，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率的意义，解题的关键是要掌握对概率意义的理解．
4. 若，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
5. 函数的图象所在的象限是（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、四象限
C. 第二象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，进而可得，即可判断函数所在的象限.
【详解】解：∵函数中自变量x的取值范围是，
∴y的取值范围是，
∴函数的图象所在的象限是第四象限；
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的图象、二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识，正确判断出x、y的取值范围是关键.
6. 已知的周长为32cm，对角线、相交于点O，若的周长比的周长大4cm，则的长是（ ）．
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
【答案】D
【解析】
【分析】▱ABCD的周长为32cm，则AB+BC=16cm①；△BOC和△AOB有公共边OB，且OC=OA，则BC-AB=4cm②；由①②可得出BC的长，最后根据AD=BC可得出结果．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为32cm，
∴AB+BC=×32＝16(cm)．
∵△BOC和△AOB有公共边OB，且OA=OC，△BOC的周长比△AOB的周长大4cm，
∴BC-AB=4cm，
联立，∴，
∴AD=BC=10cm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握基本性质是解答本题的关键．
7. 若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】分式方程依次去分母、去括号、移项、合并同类项，求出分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，且分母不能为零，得到关于a的不等式，求解即可得到答案．
【详解】解：原分式方程可化为，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得，
解得：，
根据题意可得：，且，
解得：，且．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法并注意分式方程有意义的条件是解题的关键．
8. 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 若分式的值为零，那么x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可．
【详解】解：由，得；
又，则
所以若分式的值为0，则的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
10. 若为两个连续整数，且，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
11. 一个样本容量为20的样本中，最大值是37，最小值是6．若取组距为5，则可以分为___________组．
【答案】7
【解析】
【分析】根据组数＝（最大值－最小值）÷组距，进行计算，注意小数部分要进位．
【详解】解：∵在样本数据中最大值为37，最小值为6，
∴它们的差是37－6＝31，
∵组距为5，
∴31÷5＝6.2，故可以分成7组．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查的是组数的计算，属于基础题，熟练掌握组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”，是本题的解题关键．
12. 点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___．
【答案】62°
【解析】
【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么．
【详解】解：如图，连接，

点是菱形的对称中心，，
点是菱形的两对角线的交点，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．
13. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，进而得到、在第二象限，在第四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点，，在第二象限，在第四象限，
∵，
∴，即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
14. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________
【答案】
【解析】
【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：设点的坐标为，
∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
15. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，则线段的长是____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质；设，则得，利用勾股定理建立方程即可求得x的值，从而求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴；
∵四边形是正方形，且，
∴，；
设，
∴，；
由折叠性质知：，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：2．
16. 如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，分别设的坐标为，…，，则可分别表示出，再相加即可．
【详解】解：设的坐标为，…，，其中，
∴，
∴，，
同理：，…，，
∴
；
∵点在上，且其横坐标分别为1，2025，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题（共10小题，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，负整数指数幂，
（1）先计算绝对值，利用二次根式的性质化简，负整数指数幂，然后计算加减即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，同时把除法变成乘法，然后计算即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【小问1详解】
解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
把代入得：，
∴是原方程的解；
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
把代入得：，
∴是原方程的解．
19. 先化简，再求值：，其中，且为整数．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③ （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，
（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【小问1详解】
解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
【小问2详解】
解：选择乙同学的解法．
.


．
∵，且为整数．又
∴
∴原式
选择甲同学的解法：
原式

∵，且为整数．又
∴
∴原式
20. 规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在10×6的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．

（1）在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的面积为．
（2）在图乙中画出一个以为对角线的矩形，且它的面积为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图、平行四边形的性质、矩形的性质，勾股定理与网格问题；
（1）利用平行四边形的性质画出符合题意的图形；
（2）利用矩形的性质画出符合题意得图形即可．
【小问1详解】
解：如图甲，平行四边形即为所求（答案不唯一）．

∴平行四边形的面积为；
小问2详解】
解：如图乙，矩形即为所求（答案不唯一）．

∵
∴矩形的面积为
21. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．

（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【小问1详解】
∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
【小问2详解】
∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
22. 近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是，例如：某人身高，体重，则他的，中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖：为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉 kg．（结果精确到1kg）
【答案】（1）见解析 （2）110人
（3）15
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体数量，画条形统计图等知识；
（1）求出抽取的员工人数，即可求得偏胖人数，即可补全条形统计图；
（2）根据：员工总人数与偏胖和肥胖人数的占比的积即可求解；
（3）分别计算出小张的实际体重值与正常体重的最大值，两者的差即是至少需要减掉的体重．
【小问1详解】
解：抽取的员工人数为：（人），
则偏胖人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：（人），
即估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数为110人；
【小问3详解】
解：小张实际体重为：，
小张正常体重的最大值为：，
则他的体重至少需要减掉：，
故答案：15．
23. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点， 连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键．
（1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
24. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）最多购进型玩具个
【解析】
【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量
【小问2详解】
设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
25. [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程．
已知：如图1，是的中位线，求证：，．
分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形……
[探究发现]
如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值．
[拓展作图]
如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．
【答案】[探究发现] ；[拓展作图] 作图见解析，说明见解析
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质等知识，理解题意是解决问题的关键．
[探究发现] 由旋转及平行四边形的性质可知，，，要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，即：最小即可，亦即当时，取得最小值，当时，，利用含的直角三角形即可求解；
[拓展作图]取，，，边中点，，，，再根据旋转和平移即可求解．
【详解】解：[探究发现] ∵是等边三角形，点为中点，
∴，，，
由旋转可知，，，，
则在平行四边形中，，，
要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，
即：最小即可，亦即当时，取得最小值，
当时，，则，
∴，
∴的最小值为，
此时平行四边形周长的最小，最小为；
[拓展作图] 方法一：如图，点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点，旋转至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形；

方法二：点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点，旋转至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形．
26. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值．
描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．

（1）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）；
②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ；
（2）若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标．
【答案】（1）①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位
（2）是定值，定值是2
（3），或或或
【解析】
【分析】（1）根据函数图象即可求解；
（2）由得直线过定点，结合函数的图象关于点中心对称可得，两函数交点P，Q关于对称，据此即可求解；
（3）求出直线、的解析式可得点，进而可得；根据为的中点，且为函数的对称中心，可得以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线；结合， 可得的高是高的一半，据此即可求解；
【小问1详解】
解：由图可知：①函数的图象关于点中心对称；
函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象;
故答案为：①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位
【小问2详解】
解：的值是定值，理由如下：
∵,
则直线过定点
∵函数的图象关于点中心对称
∴则两函数交点P，Q关于对称,
∵点P的横坐标是，
∴点Q的横坐标是，
又Q的纵坐标为,
∴,
将代入得，
∴,
整理得
【小问3详解】
解：由题意可得：
则直线的解析式为：
设直线的解析式为：
则，得
∴直线的解析式为：
令，可得，
∴
将、代入函数可得：
，解得：
∴
∵为的中点，
∴
∵，
∴将函数向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度可得到函数
即：为函数的对称中心，
∴，
∵
∴以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线，
∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，
∴，
∵
∴的高是高的一半，
如图所示：

令函数中，可得，
∴，且中点，
∴
∵，
可得点是的三等分点，
∴
关于的对称点为，关于的对称点为
综上所述，点的坐标为或或或
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了函数图像的平移、平行四边形的判定与性质、中心对称等知识点，综合性较强，旨在考查学生的“举一反三”和“知识迁移”能力．x
…
0
1
2
…
…
2
0
…