山东省滨州市滨城区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：
1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分120分．考试用时120分钟．
2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
4. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分．
1. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，直接利用二次根式的定义，根号下部分一定大于等于零，进而得出答案．
【详解】解：A．当时，不是二次根式，故选项A不符合题意；
B. 是二次根式，故选项B符合题意；
C. 中被开方数小于0，故不是二次根式，故选项C不符合题意；
D. 不是二次根式，故此选项不合题意；
故选：B
．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据二次根式的加法、减法、乘法与除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：对于A选项，，正确，符合题意；
对于B选项，和不能合并，即，不正确，不符合题意；
对于C选项，，不正确，不符合题意；
对于D选项，，不正确，不符合题意；
故选A．
3. 如下图，四边形中，和是对角线．依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．根据矩形的判定方法，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项中，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
平行四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
选项中，
四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
选项中，
，
四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
选项中，
由已知条件可以得到，不能判定四边形是矩形，
故本选项符合题意；
故选：．
4. 在中，，，的对边分别是，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、，，
，故A不符合题意；
B、，，
，故B符合题意；
C、，
，
，故C不符合题意；
D、，，，
，故D不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
6. 在中，，和分别是边上的高和中线．若，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：，为边上的中线，
，
，，
，
，
在中，．
故选：B．
7. 如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到，由此，利用勾股定理求出长度即可．
【详解】连接，

∵长方形，，
∴，
∴，
∴，
∴点P表示的数是，
故选：D．
8. 如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、完全平方公式，用勾股定理解直角三角形可判断①正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；根据“大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积”，可判断④正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③正确．
【详解】解：解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形边长为7，小正方形边长为2，
由勾股定理可得：，
故①正确，
∵图中4个直角三角形全等，
∴，
故②正确；
∵大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积，
∴，
∴，
故④正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故③正确，
综上所述，①②③④正确，
故选D．
第Ⅱ卷（非选择题 共96分）
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
10. 请写出数学命题“勾股定理”的含义，如果__________，那么__________．
【答案】 ①. 直角三角形两条直角边长分别是，，斜边长是 ②.
【解析】
【分析】根据勾股定理的定义，转化为“如果……那么”的形式即可．
【详解】解：根据题意，
如果直角三角形两条直角边长分别是，，斜边长是，那么；
故答案为：直角三角形两条直角边长分别是，，斜边长是；；
【点睛】本题考查了勾股定理，以及命题的定义，解题的关键是熟练掌握勾股定理的含义．
11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，在中，是的平分线，，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形是平行四边形得到，，得到，根据角平分线得到，即可得到，得到，即可得到答案
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________.
【答案】8-12
【解析】
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.
【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（＋4）cm，∴空白面积＝（＋4）×4－12－16＝8＋16－12－16＝（8－12）cm2，故答案为8－12.
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积.
14. 如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积是_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，先根据点A和点B的坐标得到，再由菱形的性质得到，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是，，
∴，
∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______．
【答案】(﹣2，4)
【解析】
【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．
【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A(2，1)，B(0，5)，
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM(AAS)，
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是(﹣2，4)；
故答案为(﹣2，4)．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16. 如图，四边形，，分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．正确的有________．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得，故②正确；同理可证，故③正确；由勾股定理可得，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
，，
∴，
故②正确；
，，
∴，
故③正确；
，
∴ ，
∴，
故④错误，
综上可知，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题：(本大题共8个小题，满分72分.解答时请写出必要的演推过程.)
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解；
（2）根据平方差公式以及二次根式的性质，二次根式的除法进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 已知：，，求：
（1） ，
（2）的值．
【答案】（1）4 （2）13
【解析】
【分析】本题考查二次根式相关的化简求值，解题的关键是观察所求式子的特点，用整体代入法求值．
（1）将变形为，整体代入即可求值；
（2）将变形为，整体代入即可求值．
【小问1详解】
【小问2详解】
19. 如图，在中，于点D，，，，是的角平分线
（1）求证：是直角三角形；
（2）求点D到、的距离之和
（3）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）16.8
（3）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理，正方形的判定和性质：
（1）用勾股定理解，求出，，再利用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形；
（2）过点D作，，利用三角形面积法求出，，相加即可；
（3）过点E作，，由角平分线的性质定理可得，再证四边形是正方形，利用求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在中，，即，
∴；
在中，，即，
∴，
∵，，，，
即，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
解：如图，过点D作，，垂足分别为点M、N，
∵，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：过点E作，，垂足分别为点P、Q，
由（1）知是直角三角形，
，
，，
四边形是矩形，
是的角平分线，，，
，
四边形正方形，
是等腰直角三角形；
，
，
即，
解得，
由勾股定理得，．
20. 如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）168
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边对等角：
（1）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和等边对等角可证明，则平分；
（2）过点E作于M，设，则，由勾股定理可得，解方程后求出，再根据平行四边形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：如图，过点E作于M，
设，则．
根据勾股定理得
∴ ，
解得，
，
．
21. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）90
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
（1）利用平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
【小问1详解】
证明：平行四边形中，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，点M为的中点，，
∴，
在中，，
平行四边形中，，
在矩形中，，
∴四边形的面积．
22. 实践与操作：如图，在中，，，，
（1）尺规作图：在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的两个顶点，另外两个顶点在的边上；（保留作图痕迹，不写作法，注明所作四边形名称）
（2）尺规作图：在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的两个顶点，另外两个顶点在的边上．（保留作图痕迹，不写作法，注明所作四边形名称，并说明所作四边形是菱形的理由）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，菱形的判定，平行四边形的性质；
（1）分别以A、B为圆心，为半径画圆与、取交点，即可根据四条边相等是四边形是菱形证明；
（2）连接，作的垂直平分线分别交、于、，即可根据对角线互相垂直平分的四边形证明是菱形
【小问1详解】
如图所示：菱形即为所求；
【小问2详解】
如图所示：菱形即为所求；
∵，
∴，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
23. 材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：= =
（2）化简：；
（3）计算：．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式．
（1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案；
（2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案；
（3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案．
【小问1详解】
解：因为且，
，
，
故答案为：；
因为且，
，
，
故答案为：．
小问2详解】
解：
因为且，
，
，
．
【小问3详解】
解：，
因为且，
，
，
因为且，
，
，
．
24. 综合与实践
【提出问题】在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点E是射线上的一个动点，过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：．
小明的证明思路如下：
如图，在上截取，连接．
则易得，，____________．
∴．∴．
（1）补全小明的证明思路，横线处应填____________．
【深入探究】如图2，在上述题目的基础上，过点F作的平行线交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形．
（2）求证：；
（3）试探究线段与数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（4）已知，当长为2时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）线段的长为3或7．
【解析】
【分析】（1）利用等角的余角相等求得；
（2）在上截取，连接，同理，即可求解；
（3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解；
（4）分当E在线段上和当E在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解．
【详解】解：（1）在上截取，连接．
则，，．
∴．∴．
∴横线处应填：；
（2）在上截取，连接．
则，
∵等腰直角三角形，
∴，则，，，
∴，
∴；
（3）；理由如下，
∵，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）当E在线段上时，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当E在延长线上时，延长，使，连接，
则是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，线段的长为3或7．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．