浙江省杭州市拱墅区公益中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，直线与∠1的一边相交得∠2，则∠1与∠2是（ ）
A. 对顶角B. 同旁内角C. 内错角D. 同位角
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
【详解】解：∵直线与∠1的一边相交得∠2，
∴∠1与∠2是同位角．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义．
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3. 如图所示，在图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的是（ ）
A. 向上平移2个单位，向左平移4个单位
B. 向上平移1个单位，向左平移4个单位
C. 向上平移2个单位，向左平移5个单位
D. 向上平移1个单位，向左平移5个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解．
【详解】观察图形可得：将图形B向上平移1个单位，再向左平移4个单位或先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到图形A，只有B符合.
故选B．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，掌握平移的概念是解题关键．
4. 用科学记数法表示0.0000907，应该是（ ）
A. 9.07B. 9.07C. 9.07D. 9.07
【答案】B
【解析】
【分析】将0.0000907写成的形式即可，其中，n为正整数．
【详解】解：0.0000907的小数点向右移动5位得9.07，
因此0.0000907，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握中a和n的取值方法．
5. 如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义可得到关于m、n的方程，可求得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【详解】解：∵3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键．
6. 多项式的各项公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解．
【详解】解：多项式的各项公因式是
故选：D．
7. 一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（ ）．
A. 5y3+3y2+2y－1B. 5y3－3y2－2y－6C. 5y3+3y2－2y－1D. 5y3－3y2－2y－1
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知和与一个加数，则另一个加数=和减一个加数，然后计算即可．
【详解】解：∵5y3－4y－6-(3y2－2y－5)
= 5y3－4y－6-3y2+2y+5
= 5y3－3y2－2y－1．
故选D．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握去括号、合并同类项是解答本题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 同位角相等
B. 一条直线有无数条平行线
C. 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】根据同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理逐个判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、一条直线有无数条平行线，原说法正确，故此选项符合题意；
C、在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理，掌握同位角的定义、平行线的性质和判定，平行公理是解题的关键．
9. 使乘积中不含与项的p，q的值是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【详解】解：，
，
．
乘积中不含与项，
，，
，．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
10. 某市在“五水共治”中新建成一个污水处理厂． 已知该厂库池中存有待处理的污水a吨，另有从城区流入库池的待处理污水(新流入污水按每小时b吨的定流量增加)． 若污水处理厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水． 现要求用5个小时将污水处理完毕，则需同时开动的机组数为( )
A. 4台B. 5台C. 6台D. 7台
【答案】D
【解析】
【详解】分析：设1台机组每小时处理污水v吨，根据题意列出方程组，将求得的值再代入不等式，求不等式的解集即可．
详解：设1台机组每小时处理污水v吨，
由题意得，.
解得.
则=7,
故选D
点睛：此题考查二元一次方程组组的应用，设出题目中的未知数是解答本题的关键.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算： ______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案．
详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
12. 如果把方程写成用含的代数式表示的形式，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键熟练掌握等式的性质．把看作已知数求出即可．
【详解】解：方程，
可得，
解得 ．
故答案为：．
13. 若，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】把配方求出的值即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用公式解题关键．
14. 已知，，，均为正整数，则 ______ 用含，的代数式表示．
【答案】##
【解析】
【分析】逆用幂的乘方、同底数幂的乘法进行运算即可．
【详解】解：当，时，




故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15. 已知，则满足条件的所有的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程，分情况讨论是关键．
根据、、三种情况进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：若时，
则，，，
原式成立；
若时，
则，，，
原式不成立，舍；
若时，
则，，，
原式成立，
综上所述，或．
故答案为：或．
16. 已知，如图，平分平分，且比∠E的2倍多30°，则_____度．
【答案】60
【解析】
【分析】过F作FG∥AB，即可得出AB∥GF∥CD，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFD=∠3+∠4，依据四边形内角和等于360°，即可得出∠AED的度数．
【详解】解：如图所示，过F作FG∥AB，
∵AB∥DC，
∴AB∥GF∥CD，
∴∠1=∠DFG，∠2=∠AFG，
∴∠AFD=∠1+∠2，
∵AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
设∠E=α，则∠AFD=2α+30°，
∴∠AFD=∠3+∠4=2α+30°，
∵四边形AEDF中，∠E+∠3+∠4+∠AFD=360°，
∴α+2（2α+30°）=360°，
解得α=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用四边形内角和进行计算求解．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解下列方程组．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【小问1详解】
解：，
把代入得：，解得：，
把代入得：，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：原方程组整理，得，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为．
18. 分解因式：
（1）3x2-3
（2）2(a-b)-3x(a-b)
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提取公因数3，然后利用平方差公式继续分解因式，即可求出结果；
（2）直接提取公因式(a-b)，即可求出结果．
【小问1详解】
解：原式=3(x2-1)
= 3(x+ 1)(x-1)
= 3(x+1)(x-1)；
【小问2详解】
解：原式=(a-b)(2-3x).
【点睛】本题主要考查了因式分解，分解因式时，要注意有公因式先提公因式．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，10
【解析】
【分析】按照整式乘法、去括号、合并同类项、代数式求值逐步分析即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，灵活运用整式的混合运算法则是解答本题的关键．
20. 如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，．
（1）请说明的理由；
（2）若，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的判定与性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据长方形的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用等式的性质可得，最后利用平行线的判定即可解答；
（2）先利用平行线的性质可得，，再利用折叠的性质可得，然后利用等量代换以及三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
的度数为．
21. 已知
（1）设，是否存在实数，使得能化简为，若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由；
（2）若，且的值与无关，求的值．
【答案】（1）能，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
（1）利用平方差公式及完全平方公式化简，再将代入即可求解；
（2）把与代入中，去括号合并后，根据结果与无关，求出值，再代入中计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
将代入得：，
即，
解得：，
则能化简为，此时；
【小问2详解】
，
，
由的值与无关，得到即，
则原式；
22. 如图，已知，点E是直线之间的任意一点．锐角和钝角的平分线所在直线相交于点F，与交于点N．
（1）当和时，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 过F点，先利用角平分线的定义分别求得，，再利用平行线的性质分别求得，两者相减即可求解；
(2) 先根据，证得，再根据角平分线的定义求得，进而求得，最后利用平分即可求解．
【小问1详解】
解：过F点，
∵，
，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练运用定义和性质是解题的关键．
23. 【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图所示的一个大正方形．
（1）观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______，利用等式解决问题：若，，则的值为______；
（2）【拓展探究】若，求的值；
（3）【实际运用】如图，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，，沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们面积之和为，求长方形的面积．
【答案】（1）
（2）17 （3）192
【解析】
【分析】利用面积法可得：，然后进行计算即可解答；
设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；
设正方形的边长为，从而可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：，
，，，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
设，，
，
，
，
，
即；
【小问3详解】
设正方形的边长为，
，，
，，
设，，
，
四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，
，
，
，
，
长方形的面积为．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24. 根据以下素材，完成任务．
【答案】任务1：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；任务2：共有种租用方案，:方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；任务3：
【解析】
【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租用方案；
任务求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据“购买根弹簧和颗钢球，保养费用还缺元；购买根弹簧和颗钢球，保养费用还剩元”，可得出关于，的二元一次方程组此处将看成常数，解之可得出，将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
解得：．
答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种租用方案，
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
任务当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元．
，
租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少．
所需弹簧数量为根，
所需钢球数量为颗．
设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，
根据题意得：，
，
，
元．
实际保养费用为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材
“迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：
型号
挖掘土石方量单位：台时
租金单位：元台时
甲型
乙型
素材
为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元．
问题解决
任务
制定租用计划
若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务
探究租用方案
若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务
确定保养费用
基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示．