河南省TOP二十名校2024届高三下学期5月猜题（一）数学试卷(含答案)

这是一份河南省TOP二十名校2024届高三下学期5月猜题（一）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．设集合,,若,则( )
A.-2B.-1C.1D.3
3．设角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴非负半轴重合,则“”是“”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件
4．将函数的图象向右平移个单位长度,得到的函数图象关于y轴对称,则的最小值为( )
A.B.C.D.
5．在某电路上有M、N两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换M元件的概率为0.3,需要更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下,M需要更换的概率是( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆的左顶点、上顶点分别为A,B,右焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于,O为坐标原点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的比值的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图,在圆锥SO中,若轴截面为等边三角形SAB,C为底面圆周上一点,且,则直线OC与直线SB所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知实数m,n满足,,则mn的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．将正数x用科学记数法表示为,,,则把n,分别叫做的首数和尾数,分别记为,,下列说法正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
10．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为2187,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64
B.展开式中存在常数项
C.展开式中含项的系数为560
D.展开式中系数最大的项为
11．在平面直角坐标系xOy中,点F是抛物线的焦点,F到的准线l的距离为2,点A是上的动点,过点A且与相切的直线m与y轴交于点B,C是准线l上的一点,且,则下列说法正确的是( )
A.
B.当点A的横坐标为2时,直线m的斜率为1
C.设,则的最小值为
D.,,成等差数列
三、填空题
12．若向量,不共线,且,则xy的值为______.
13．若正数a,b满足,则a的最小值是______.
14．记是不小于x的最小整数,例如,,,则函数的零点个数为______.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为,且,.
(1)求的通项公式;
(2)若数列,求数列的前n项和.
16．在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球,其中8个白球,2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色,连续摸4次,记随机变量X为小张摸出白球的个数.
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱,求和;
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱,求X的分布列.
17．如图,在正三棱柱中,O为的重心,D是梭上的一点,且平面.
(1)证明:；
(2)若,求点D到平面的距离.
18．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过的直线l与C交于A,B两点,且,若点M满足,证明:点M在一条定直线上.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,,数列满足,且,证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：因为复数,所以z对应的点为,位于第二象限.故选B.
2．答案：C
解析：由已知得,若,解得,此时,,符合题意;若,解得,此时,,不符合题意;若,解得,此时,,不符合题意.综上所述:.故选C.
3．答案：C
解析：当时,,所以成立,所以“”是“”的充分条件;当时,,所以“”不是“”的必要条件.故选C.
4．答案：A
解析：将函数的图象向右平移个单位长度得,又的图象关于y轴对称,所以,解得,当-1时,取得最小值.故选A.
5．答案：A
解析：记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换,事件B为M需要更换,则,,由条件概率公式可得.故选A.
6．答案：D
解析：由已知得,直线AB的方程为,设椭圆的焦距为,由题意设点,则,即,所以,又,所以,即.设直线AB的斜率与直线OE的斜率的比值为m,则,又,所以.故选D.
7．答案：A
解析：取SA的中点为D,连接OD,DC,则,所以为直线OC与直线SB所成的角或补角.取AC的中点为E,连接OE,SE,因为,为正三角形,所以,又,,平面SOE,所以平面SOE.设,则,又,所以,所以,所以,即,又,所以.故选A.
8．答案：B
解析：由,,得,.令,易得在上单调递增,又,所以,所以,所以.故选B.
9．答案：AD
解析：若,,,则,,,,所以,故A正确;
若,,,则,,,,所以不成立,故B错误;
若,,,则,,,,所以不成立,故C错误;
若,,,则,,,,所以,所以D正确.故选AD.
10．答案：ACD
解析：由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,所以,解得,又展开式的各项系数之和为2187,即当时,,解得.则二项式系数之和为,则奇数项的二项式系数之和为,故A正确;的展开式的通项,令,解得,故展开式中不存在常数项,故B错误;令,解得,所以展开式中含项的系数为,故C正确;由解得,又,所以5,所以展开式中系数最大的项为,故D正确.故选ACD.
11．答案：BC
解析：抛物线化为标准方程为,因为F到的准线l的距离为2,所以,所以,故A错误;
由得,的方程为,所以,所以直线m的斜率,故B正确;
,当且仅当点A是线段DF与的交点时,等号成立,故C正确;
不妨设点A在第一象限,则点,所以,所以直线m的斜率,所以直线m的方程为,化简可得,,令,则,所以,因为,所以,所以,,,所以,故D错误.故选BC.
12．答案：1
解析：因为,不共线,所以可设,为一组基向量,因为,所以,使得,所以,,所以,消去,得.
13．答案：4
解析：因为,所以,因为a,b为正数,所以,即,所以,当且仅当,即,时取等号,所以a的最小值是4.
14．答案：3
解析：令,则,令,,则与的交点个数即为的零点个数.当时,,又,所以是周期为1的函数,在R上单调递减,且,,,所以可作出与的图象如图,
所以与有3个交点,故的零点个数为3.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,
所以,所以数列是公比为的等比数列,
所以,解得,
所以.
(2)由(1)知,
所以,
所以,
相减得,,
所以.
16．答案：(1),
(2)分布列见解析
解析：(1)由已知得,,
所以,
.
(2)由已知得,X服从超几何分布,且,,
所以X的分布列为
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:连接,延长交于E,连接CE,如图所示.
因为O为的重心,所以,
因为平面,平面,
平面平面,
所以,
所以.
(2)取AB的中点为F,连接EF.
因为三棱柱是正三棱柱,所以直线,,两两垂直,
以E为坐标原点,直线,,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间坐标系,如图所示.
又,
则,,,,
所以,,.
设平面的法向量,
所以令,解得,
所以平面的一个法向量,
所以,
即点D到平面的距离为.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题意知,所以,
所以,
化简得,C的方程为.
(2)证明:依题意,设,,,
①当直线l的斜率为0时,不妨设,,
因为,所以,,
所以,从而,
则,即,解得,,即.
②当直线l的斜率不为0时,设l的方程为,
由消去x,得,
则且,,,
消去a,得,
所以,
从而,
又也在直线上.
综上,点M在直线上.
19．答案：(1)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增
(2)证明见解析
解析：(1)由题意知.当时,令,解得,令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增;
当时,令,解得或,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
当时,,所以在上单调递增;当时,令,解得或,令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:当时,,则,
令,得;令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,所以,
因为,,,,
要证,即证,
又,,即证.
令,则,
所以在上单调递减,且,
因为,
又,所以,
所以,则,
所以,即,
所以成立,证毕.
X
2
3
4
P