河南省TOP二十名校2024届高三下学期5月冲刺（一）数学试卷(含答案)

这是一份河南省TOP二十名校2024届高三下学期5月冲刺（一）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数z满足,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
3．若a,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．函数与直线相切于点,则点的横坐标为( )
A.B.1C.2D.
5．设,,,,则( )
A.B.C.D.
6．在中，若，则的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
7．如图是某质点作简谐运动的部分图象,位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)之间的函数关系式是,其中,,振幅为2,则前3秒该质点走过的路程为( )
A.B.C.D.
8．已知点P在水平面内,从P出发的三条两两垂直的线段PQ,PR,PS位于的同侧,若Q,R,S到的距离分别为1,2,3,则的值为( )
A.1B.C.D.2
二、多项选择题
9．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关,调查了400人,得到如图所示的列联表,其中,则( )
参考公式与临界值表:
A.任意一人不患疾病A的概率为0.9
B.任意一人不过量饮酒的概率为
C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D.依据小概率值独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关
10．已知椭圆的左,右焦点分别为,,将上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的倍得到椭圆,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,的离心率分别为,,则
C.若,的周长分别为,,则
D.若的四个顶点构成的四边形面积为,则的离心率为
11．将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内,恰好使得与水平截面圆的圆心重合,圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱内部).已知球O的半径为3,.若R为上底面圆的圆周上任意一点,设RO与圆柱的下底面所成的角为,圆柱的体积为V,则( )
A.可以取到中的任意一个值
B.
C.的值可以是任意小的正数
D.
三、填空题
12．若,,则的值为__________.
13．如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器,已知上,下底的面积分别为和,高为3cm.现在搜集到的雨水平面与上,下底面的距离相等,则该地的降雨量为______mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)
14．若点A在抛物线上运动,点B在圆上运动,,则的最小值为__________.
四、解答题
15．在直四棱柱中,底面为矩形,,,O,E分别为底面的中心和CD的中点,连接OE,,,,.
（1）求证:平面平面;
（2）若,求平面与平面所成角的余弦值.
16．某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员,方法如下:首轮每位普通程序员被要求设计难度相同的甲,乙,丙,丁四种程序,假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为,其中四种设计全部合格直接晋升为高级程序员;至少有两种(包括两种)“不合格”的直接被淘汰,否则被要求进行二轮设计:在A,B,C三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计,且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序员.已知每位普通程序员设计A,B,C合格的概率分别为1,,,同一普通程序员不同的设计相互不影响.
（1）已知A,B,C设计合格的得分分别为80,90,100,不合格得0分,若二轮设计中随机抽取到B,C的得分为X,求X的分布列和数学期望;
（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率.
17．在平面直角坐标系中,点F,E的坐标分别为,,以F为圆心作一个半径为4的圆,点H是圆上一动点,线段EH的重直平分线与直线HF相交于点P.
（1）求P的轨迹的方程;
（2）已知,点Q是轨迹在第一象限内的一点,R为QA的中点,若直线OR的斜率为,求点Q的坐标.
18．已知函数,.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时,求证:.
19．在等差数列中,已知,,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）数列是否为等比数列?若是求其前n项和,若不是,请说明理由;
（3）设,且,,,求q的所有取值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以.
故选:C.
2．答案：B
解析：依题意,解不等式,得,,
而,因此,
所以中元素的个数为8.
故选:B
3．答案：C
解析：构造函数,则在R上单调递增,
所以.
故选:C.
4．答案：B
解析：设函数与直线相切于点,
直线的斜率为,
,所以,所以.
故选:B.
5．答案：C
解析：由,,,,
即,所以.
故选:C.
6．答案：D
解析：由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
7．答案：D
解析：由函数的图象,可得,周期为,
可得,所以,
因为在函数图象上,可得,即,
又因为,所以,
因为时,,所以,所以,
令,,则,,
故函数图像在y轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为,
令,则;令,则;
令,则,
所以质点在,,的路程分别,
所以前3秒该质点走过的路程为.
故选:D
8．答案：A
解析：由PQ,PR,PS两两垂直,取空间的一个基底,
设是平面的一个单位法向量,依题意,可使与的夹角都是锐角,
则存在唯一的有序实数组,使得,
显然,,在方向上的投影向量的长度分别为1,2,3,
于是,即,则,即,
同理,,因此,
而,所以,
因此,
所以.
故选:A
9．答案：ACD
解析：由已知得,又,所以.
任意一人不患疾病A的概率为,所以A正确;
任意一人不过量饮酒的概率为,所以B错误;
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为,所以C正确;
对于D,列联表如下:
则的观测值,由于,
依据小概率值的独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关,所以D正确.
故选:ACD
10．答案：AB
解析：设点为椭圆上任意一点,则由题意知,即,代入椭圆的方程得.所以椭圆的方程为.
因为,,所以,所以A正确;
由已知得,,所以B正确;
由已知得,,其相似比为,所以,所以,因为,,所以C错误;
设,因为的四个顶点构成的四边形的面积为,所以,所以,所以,所以,所以(负舍),所以D错误.
故选:AB.
11．答案：BCD
解析：过R作圆柱的轴截面,过O作交圆柱轴截面的边于M,N,
由RO与圆柱的下底面所成的角为,则,所以,
即,故B正确;
当点P,Q均在球面上时,角取得最小值,此时,所以,
所以,故A错误;
令,所以,
所以,另,
解得两根,,
所以,
所以在时单调递减,
所以,,故CD正确;
故选:BCD.
12．答案：
解析：.
故答案为:
13．答案：
解析：如图所示,将三棱台补成三棱锥,设三棱锥的高为h,
则,解得,所以三棱锥的体积为,
再设,的体积分别为,,
则,所以,所以,
同理,所以,
所以该地的降雨量为.
故答案为:.
14．答案：2
解析：抛物线的焦点的坐标为,准线方程为,
为圆的圆心,圆的半径为,
设点,则由抛物线的定义得,
,
由三角形三边关系得到,当且仅当A,B,F共线时,等号成立,
所以,
令,则,
所以,
当且仅当,即时等号成立,故的最小值为2.
故答案为:2
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为O,E分别为底面的中心和CD的中点,
所以,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
又因为,,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
（2）以A为空间坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由已知得,,,,,,
所以,,
又,,
设平面与平面的法向量分别为,,
所以,解得,令,则,
故,
所以,解得,令,则,
故,
因为,所以,,
设平面与平面所成角的大小为,
所以.
16．答案：（1）分布列见解析;期望为70
（2）
解析：（1）X的可能取值为0,90,100,190,
由题意知,,,
,,
X的分布列为
.
（2）因为同一普通程序员不同的设计相互不影响,所以每位普通程序员晋升为高级程序员的概率为
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知,点P在线段EH的垂直平分线上,所以,
又点H是圆F上一动点,所以.
①当时,;
②当时,,
所以P的轨迹满足,
根据双曲线定义可知,P点的轨迹是以F,E为左,右焦点,实轴长为的双曲线,
可得,,,所以P的轨迹的方程为.
（2）设,,,所以,,
因为直线OR的斜率为,所以,即,
与联立解得(舍去)或3.
所以点Q的坐标为.
18．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为.
,
①当时,,在上单调递增;
②当时,时,,在上是增函数.
时,,在上是减函数,
时,,在上是增函数.
（2）由（1）得,当时,,在上是减函数,
即当时,,所以,
令得,,即,
所以,得证.
19．答案：（1）
（2）是等比数列,
（3）
解析：（1）设等差数列的首项为,公差为d,
因为,,,成等差数列,
所以,解得,
所以.
（2）因为,,
所以是以2为首项,8为公比的等比数列,
所以数列的前n项和为.
（3）因为,所以,
因为,,,
所以,
当时,q无解;
当时,解得或(舍去);
当时,,即,
令,则为关于q的单调递增函数,
因为,所以,
所以(*)无解,
所以q的取值为,
进一步得,当时,对任意的正整数k,
,
满足:,,,
所以q的所有取值是.
患疾病A
不患疾病A
合计
过量饮酒
3a
b
不过量饮酒
a
2b
合计
400
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
患疾病A
不患疾病
合计
过量饮酒
30
120
150
不过量饮酒
10
240
250
合计
40
360
400
X
0
90
100
190
P