2024年重庆市南开中学校九年级中考数学一模试题（原卷版+解析版）

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参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，比小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键．
2. 如图所示是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“体”字对面的字是（ ）
A. 无B. 南C. 不D. 开
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，依此来找相对面．
【详解】解：由正方体展开图的特点可知“体”与“不”相对，“无”与“开”相对，“育”与“南”相对，
故选：C．
3. 函数的图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式进行求解即可．
【详解】解：∵反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式，
∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为3，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ）

A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
和的周长之比为，
，
，
故选：B．
5. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可．
【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x，
由题意得，，
故选：A．
6. 估计的值应该在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．先根据二次根式的乘法法则计算，再利用夹逼法可得：，从而进一步可判断出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
即的值在4和5之间．
故选：B．
7. 用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）
A. 34B. 38C. 42D. 46
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类问题，观察图形发现：每增加一个图形增加4个小三角形，利用这一规律求解即可．
【详解】解：第①个图形有个边长为1的小三角形，
第②个图形有个边长为1的小三角形，
第③个图形有个边长为1的小三角形，
第④个图形有个边长为1的小三角形，
，
按照这个规律排列下去，
第个图形有个边长为1的小三角形，
第⑩个图形中边长为的小三角形，
故选：C．
8. 如图，半径为的中，是直径，点在上，连接，点为的中点，延长交的切线于点，若，则的长度为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接交于，连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理得到，根据切线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：连接交于，连接，
是直径，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则．
【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选；A．
10. 已知代数式，，其中，在代数式A中任取两项相减后再求差的对值，同时在B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为，这样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式A中选取，在代数式B中选取a、，进行“换差绝对运算”，得到．下列说法正确的个数是（ ）
①存在某种“换差绝对运算”，使得；
②存在某种“换差绝对运算”，使得；
③在“换差绝对运算”中，有9种不同的结果．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的加减运算以及新定义下的运算，根据新定义分别对①②③验证即可．
【详解】解：假设，则，
解得与矛盾，
故①错误；
假设，则，
则，
，
不成立，
故②错误；
当在的三个数，，中任取两个数做差，有3种不同的运算结果，
在中计算的两个数的差的绝对值替换中个两项也有3种不同的结果，
故有9种不同的结果，
故③正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 五边形的内角和等于___________度．
【答案】540
【解析】
【分析】直接根据边形的内角和进行计算即可．
【详解】解：五边形的内角和．
故答案为：540．
【点睛】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和．
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
14. 在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字1、2、3，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，则两次记下的数字之和是奇数的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次记下的数字之和是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次记下的数字之和是奇数的结果有：，，，，共4种，
两次记下的数字之和是奇数的概率为．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，设交于F，
∵四边形是矩形，点O是对角线的中点，
∴，点O是对角线的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，为边中点．以为圆心，为半径画弧，恰好经过点．以为圆心，为半径画弧，与相切于点．若，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
与切于，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为边中点，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
17. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有解且最多有3个整数解，
，
解得：，
整数为：1，2，3，4，5，6，
解分式方程，得，
分式方程有整数解，
是整数，且，
整数：1，5，
所有满足条件的整数的值之和是．
故答案为：6．
18. 对于一个各个数位上的数字均不为0的自然数m，将各个数位上的数字任意排列，用排列后最大的数减去最小的数，我们称这样的运算为“极差变换”，记为．例如：，则，，．当时，称m是“极差数”．如果（，a为整数）是一个“极差数”，则______；已知（均为整数），若为整数，且，则_____．
【答案】 ①. 4 ②. 8411
【解析】
【分析】本题考查新定义的应用；能够通过题意，利用代数式将进行正确的表示是解题的关键，根据极差数的定义计算可得；
【详解】设一个四位数各数位上的数由，，，d四个数字组成，且，
则所组成的最大四位数为：，最小四位数为：，
所组成的最大四位数与最小四位数之差为：
，
， ，，d为正整数，
组成的最大四位数与最小四位数之差可以被9整除；
∵（，a为整数）是一个“极差数”，
∴能被9整除
当时，，不符合；
当时，，不符合；
当时，，不符合，
当时，，符合；
当时，，不符合；
当时，，不符合；
当时，，不符合；
∵
∴当时，，，符合；
当时，，，不符合
当时，，不符合；
当时，，不符合
当时，，符合；
当时，，符合
同理可得：当时，把代代入，没有符合条件的，
当时，把代入，没有符合条件的，
当时，把代入，符合条件的，
故答案为：4,8411
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
（1）利用完全平方公式，单项式乘多项式法则化简计算即可；
（2）先计算括号再计算乘除即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
20. 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点P．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在锐角中，，且，求证：．

证明：∵，，
① ．
在与中，，
，
∴ ③ ，
∴，即是等腰三角形．
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ ．
【答案】，，，这个三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的证明以及等腰三角形，根据，再找一条公共边，证明，得到，得到，即可得出结论；
【详解】证明：∵，，
．
在与中，，
，
，
∴，即是等腰三角形．
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么 这个三角形是等腰三角形 ．
21. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息：
甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69；
乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82．
甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表
请根据以上信息解答：
（1） ， ， ；
（2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可）
（3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？
【答案】（1）88；；10
（2）品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由见解析
（3）2520人
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等：
（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，先求出乙大学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m；
（2）根据乙大学的众数和中位数都比甲大学的高即可得到答案；
（3）用7200乘以样本中的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵甲大学10名学生满意度得分为88分的人数最多，
∴甲大学10名学生满意度得分的众数，
乙大学10名学生满意度得分在A等级的人数为人，则C等级有人，
∴，
∴；
把乙大学10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名得分分别为88分，89分，
∴乙大学10名学生满意度得分的中位数，
故答案为：88；；10；
【小问2详解】
解：品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由如下：
∵乙大学的中位数和众数都比甲大学的高，
∴品牌共享单车在乙大学更受欢迎．
【小问3详解】
解：人，
∴估计喜爱该品牌共享单车的学生有2520人．
22. 5月是樱桃和枇杷成熟的季节．津南水果店各花费5400元购进一批樱桃和枇杷，已知每千克樱桃的进价是每千克枇杷进价的倍，且购进的枇杷比樱桃多100千克．
（1）求每千克樱桃的进价是多少元？
（2）樱桃的售价为45元/千克，枇杷的售价为30元/千克．在销售过程中，因两种水果均不易储存，水果店及时调整了销售策略：樱桃在售出后降价为35元/千克，枇杷在售出后进行打折促销．问剩下的枇杷最多打几折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元？
【答案】（1）每千克樱桃的进价是元；
（2）剩下的枇杷最多打八折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每千克枇杷的进价为x元，则每千克樱桃的进价是元，根据花费5400元购进的枇杷比樱桃多100千克列出方程求解即可；
（2）设剩下的枇杷打m折销售，先求出枇杷和樱桃购进的数量，再分别表示出枇杷和樱桃的利润，再根据总利润不低于5850元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设每千克枇杷的进价为x元，则每千克樱桃的进价是元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解且符合题意，
∴，
答：每千克樱桃的进价是元；
【小问2详解】
解：设剩下的枇杷打m折销售，
千克，千克
由题意得，，
解得，
答：剩下枇杷最多打八折销售，才能使得两种水果全部售出后获利不低于5850元．
23. 如图1，在菱形中，．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交菱形一边于点Q，设点P运动时间为x秒，线段的长度为y，请回答下列问题：
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围；
（2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）
（2）画图见详解；函数的性质有：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小
（3）的取值范围为：
【解析】
【分析】此题是一次函数的综合题，考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质和一次函数的图象与性质，关键是根据菱形的性质和相似三角形的判定与性质得出比例解答．
（1）根据菱形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例，进而得出一次函数的解析式解答；
（2）根据一次函数的解析式画出图象解答即可；
（3）根据一次函数的图象得出取值范围解答．
【小问1详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点运动时间为秒，线段的长度为，当点在之间时，
可得：，
∴，
当点在之间时，
∵，
∴
∴，
设点运动时间为秒，线段的长度为，
可得：，
∴，
综上所述，；
【小问2详解】
图象如下：
函数的性质有：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；
【小问3详解】
结合图象可知，
当时，可得：，
解得：．
即的取值范围为：．
24. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：）
（1）求的长度；
（2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？
【答案】（1）米
（2）骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理：
（1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点K作于H，
由题意得，，
∴
在中，米，
米，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
【小问2详解】
解：在中，米，
米，
∴米，
∴路线②的时间为分钟；
∵米，
∴路线①的时间为分钟，
∵，
∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家．
25. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P作轴交直线BC于点D，过点D作交x轴于点E，求的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线，新抛物线交y轴于点G，点H为新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求点H横坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2），
（3）或
【解析】
分析】(1)利用待定系数法把点，点代入抛物线，确定解析式即可．
(2)先求得直线的解析式，设，则，求得，结合，利用两点间距离公式和点的位置求得，结合三角形函数求得，构造二次函数计算即可．
(3)利用平移思想确定新的抛物线解析式，在结合分类讨论思想求得对应点的坐标即可．
【小问1详解】
把点，点，代入抛物线，
得，
解得，
故抛物线的解析式为．
【小问2详解】
∵,,
设点，则，
解得，
故；
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
设，则，
则
∵，，
∴，，
∵点P在直线下方的抛物线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，
此时，，
故．
【小问3详解】
∵，
∴先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线的解析式为：
，
∴，
∴点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故过点A作，交于点，
∴；
∵直线的解析式为：．
设直线的解析式为：，
把代入解析式，得，
解得．
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点横坐标为，
过点B作于点M，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
延长到点N使，连接，
则直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴；
点A作，交于点，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
过点N作于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得．
∴直线的解析式为：，
∵，
设直线的解析式为：，
把代入解析式，得，
解得．
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得（舍去），
故点的横坐标为，
综上所述，符合题意的点H的横坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握二次函数性质和分类讨论思想是解题的关键．
26. 在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长；
（2）如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：；
（3）如图3，若为等边三角形，连接，为线段上一点，且，为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接、．当取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证；
（2）延长至，使得，证明，,，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证；
（3）以为边作等边，作的外接圆，先确定在的上运动，作关于的对称点，连接，作交的延长线于点，连接， 进而得出在上运动，当，且三点共线时，取得最小值，过点作于点，则，重合，重合，与的交点为，求得，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而解直角三角形，求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∵，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
∴，
【小问2详解】
证明：如图所示，延长至，使得，
在中，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
又∵，
∴
∴
【小问3详解】
解： ∵，则
如图所示，以为边作等边，作的外接圆
∴
∴在的上运动，
如图所示，作关于的对称点，连接，作交的延长线于点，连接，
∴，
设，则
又∵
∴
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴
∵关于的对称点
∴，
∴
∴
∴
又∵，，
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴在上运动，
∴当，且三点共线时，取得最小值
如图所示，过点作于点，则，重合，重合，与的交点为，
∵
∴，
又∵
∴
∵
∴
∵
∴
又
∴是等腰直角三角形，
∴
当取得最小值时，如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

设
∵，
∴，
∴在中，
∴
在中，
∴
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
∴
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键．1
2
3
1
2
3
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
88
a

乙
b
89