05，2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛九年级决赛试题(1)

这是一份05，2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛九年级决赛试题(1)，共5页。试卷主要包含了选择题，本大题25分等内容，欢迎下载使用。
（120分钟，满分140分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共42分）
1．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（ A ）
A．45369B．45371C．45465D．46489
2．图中都是由棱长为a的正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个正方体叠成，第2个几何体由4个正方体叠成，第3个几何体由10个正方体叠成，…，按此规律，记第n个几何体由xn个正方体叠成，其中n＝1，2，3，…，则1x2−x1+1x3−x2+1x4−x3+⋯+1x9−x8+1x10−x9的值为（ A ）
A．911B．1011C．2011D．2111
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为245，则k的值是（ B ）
A．45B．3C．125D．5
4题图
3题图
5题图
4．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为r4，则MNEF=（ D ）
A．34B．32C．338D．339
5．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC=2EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（ C ）
A．2B．3C．4D．5
设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
二．填空题（本题满分28分，每小题7分）
7．已知0＜a＜1，0＜b＜1，a2+b2+a2+(1−b)2+b2+(1−a)2+(1−a)2+(1−b)2的最小值是 22 ．
10题图
8题图
8．如图，设△ABC为正三角形，边长为1，P，Q，R分别在AB，BC，AC边上，且AR＝BP＝CQ=13．连AQ，BR，CP两两相交得到△MNS，则△MNS的面积是 336 ．
9．若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），F（p，q）=p−q10，若F(p，q)G(p)−G(q)+3为整数，此时G(p)G(q)的最大值为 65 ．
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD＝45°，则PE长为 2 ．试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。三、（本大题20分）
11．若不等式|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，求a的取值范围
解：∵|x﹣a|+|x|＜2，
∴|x﹣a|＜2﹣|x|，
设y1＝|x﹣a|，y2＝2﹣|x|，
∴y1=x−a(x≥a)−x+a(x＜a)，y2=2−x(x≥0)2+x(x＜0)，
根据原不等式没有实数解，即y1＜y2没有实数解，
从两函数图象可以看出：a≤﹣2或a≥2时，y1的图象在y2的图象上方．
故答案为a≤﹣2或a≥2．
本大题25分
12.【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝ ；当BC＝22时，α＝ ；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
解：（1）如图：
∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，
∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，
∴当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2；
当BC＝22时，过A作AH⊥BC于H，
如图：
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC=2，
∴sin∠BAH=BHAB=22，
∴∠BAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，
∴α＝120°﹣90°＝30°；
如图：
同理可得∠BAC＝90°，
∴α＝60°+90°+60°＝210°，
∴当BC＝22时，α＝30°或210°；
故答案为：2，30或210；
（2）如图：
∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AD＝1，
∵α＝90°，
∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，
∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
∴DQ=AD3=33，
∴S△ADQ=12×1×33=36，
∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，
∴四边形ADPD'是正方形，
∴DP＝AD＝1，
∴S△APD=12×1×1=12，
∴S△APQ=12−36，
同理S△AD'R=12−36，
∴两块三角板重叠部分图形的面积为1−33；
（3）连接AF，如图：
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴∠AFB＝90°，
∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为2π×AB2=2π．
故答案为：2π．
五、本大题25分
13.如图1，抛物线y=ax2+bx+54与x轴相交于A(12，0)、B(52，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M．
（1）直接写出a，b的值及点M的坐标；
（2）点N为抛物线对称轴上一点，当AN+CN最小时，求点N的坐标；
（3）平移直线BC得直线y＝mx+n．
①如图2，若直线y＝mx+n过点M，交x轴于点D，在x轴上取点E(76，0)，连接EM，求∠DME的度数．
②把抛物线y=ax2+bx+54在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线y＝mx+n与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
解：（1）当x＝0时，y=54，
∴C(0，54)，
设抛物线解析式为y=a(x−12)(x−52)，
把C(0，54)代入解析式得：
54=a(0−12)(0−52)，
解得：a＝1，
∴y=(x−12)(x−52)=x2−3x+54=(x−32)2−1，
∴a＝1，b＝﹣3，点M的坐标为(32，−1)；
（2）由（1）得对称轴为直线x=32，
A(12，0)、B(52，0)两点关于直线x=32对称，
∴点N为直线BC与直线x=32的交点时，AN+CN最小，
设直线BC解析式为y=kx+54，
把B(52，0)代入得0=52k+54，
解得k=−12，
∴直线BC解析式为y=−12x+54，
当x=32时，y=−12×32+54=12，
∴点N的坐标为(32，12)；
（3）①直线BC解析式为y=−12x+54，
直线BC平移后的解析式为y=−12x+n，
把点M的坐标(32，−1)代入y=−12x+n得−1=−12×32+n，
解得n=−14
∴直线DM的解析式为y=−12x−14，
令y＝0，得0=−12x−14，
解得：x=−12，
∴D(−12，0)，
如图2，过点E作EF⊥DM于F，过点M作MH⊥x轴于H，
则H(32，0)，
∴MH＝1，DH=32−(−12)=2，
在Rt△DMH中，DM=DH2+MH2=22+12=5，
∵E(76，0)，
∴DE=76−(−12)=53，
∵sin∠BDM=EFDE=MHDM，
∴EF53=15，
∴EF=53，
∵tan∠BDM=EFDF=MHDH，
∴53DF=12，
∴DF=253，
∴FM＝DM﹣DF=5−253=53，
∴FM＝EF，
在Rt△MEF中，tan∠EMF=EFFM=1，
∴∠EMF＝45°，即∠DME＝45°；
②∵y=x2−3x+54=(x−32)2−1，
把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图3，
则翻折后的图象的解析式为y=−(x−32)2+1(12＜x＜52)，
∵直线BC解析式为y=−12x+54，
直线BC平移后的解析式为y=−12x+n，
联立方程得−(x−32)2+1=−12x+n，
整理得：x2−72x+n+54=0，
当直线BC平移后与抛物线y=−(x−32)2+1(12＜x＜52)只有一个交点时，
Δ=(−72)2−4×1×(n+54)=0，
解得：n=2916，
当直线BC平移后经过点A(12，0)时，0=−12×12+n，
解得：n=14，
∴当直线y＝mx+n与新图象有两个公共点时，n的取值范围为14＜n＜54或n＞2916．