08，重庆市南开中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份08，重庆市南开中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共31页。试卷主要包含了九年级测试成绩统计表等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将正确答案在答卡中对应位置涂黑．
1. 以下传统窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的认识，熟练掌握中心对称图形的概念“ 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”是解答此题的关键．
【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意，
B.不是中心对称图形，不符合题意，
C. 是中心对称图形，符合题意，
D.不是中心对称图形，不符合题意，
故选：C．
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解；
B. ，不是因式分解；
C. 是因式分解；
D. ，原式不是因式分解；试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。故选C．
3. 一个边形的每个外角都是，则的值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．
【详解】解：，
故选C．
4. 估计的值应在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】B
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法运算，然后根据无理数的估算得出结论即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，不等式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 四个角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的菱形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了特殊四边形的判定和性质，掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法是解题的关键．
根据特殊四边形的判定和性质即可求解．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、四个角都相等，由四边形内角和得每个角都是直角，因而四边形是矩形，原选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的菱形是正方形，不正确，符合题意；
故选： D．
6. 已知有一个因式为，则的值为（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键．
根据，求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：D．
7. 如图，在平行四边形中，于点，点为中点，则的长度为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：设与交于点O，
∵是平行四边形，
∴，
又∵，
∴点E是的中点，
∵点为中点，
∴是的中位线，
∴，
故选A．
8. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
9. 如图，在正方形中，为上一点，，过点作于，交于为的中点，若．则的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
根据正方形的性质可证，可得，根据题意可算出的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，，，
∴，
∴，则，
在直角中，，
在直角中，，
∵，
∴，
在直角中，点是的中点，
∴，
故选：B ．
10. 有依次排列的两个不为零的代数式，用除以，可以得到代数式；再用除以，可以得到…以此类推，那么以下结论中，正确的个数为（ ）
① ②若，则的值为2
③对于任意正整数都成立
④若的值为整数，则满足条件的正整数共有6个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的运算，式子的规律．理解题意，掌握的计算方法，找出规律是解题的关键．
先计算出，，，，……，发现每6个是一个循环．计算出即可判断结论①；根据得到，解方程即可判断结论②；根据的计算方法化简，即可判断结论③；根据规律可求得，根据该式子的值为整数，可得到52能被整除，从而求得整数可能的取值，从而判断结论④
【详解】解：由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
由此可发现，每6个是一个循环．
由上面式子可得，故①正确；
若，则，
解得，
经检验，是该分式方程的解．故②错误；
对于任意正整数n，
，故③正确；
∵，
∴，，，
∴，
∵的值为整数，
∴正整数，
即，共6个．故④正确；
综上所述，正确的结论共3个．
故选：C
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 要使分式值为0，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为零，即分子为零，分母不能为零的方法即可求解，掌握分式值为零的计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，且得，
，
故答案为： ．
12. 如图，在矩形中，已知，则的度数为______°．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了矩形性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形性质推出，由推出，根据推出，即可得到结果．
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
∴
故答案为：．
13. 党的二十大报告明确指出，阅读能力是高质量人才素质的重要组成部分．下表是某班50名学生三月阅读量统计表，则该班学生三月阅读量的平均数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：该班学生三月阅读量的平均数为（本），
故答案为：．
14. 若是一个完全平方式，则常数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，，把沿x轴向右平移至与相交于点G，连接，若点，则点F的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．
由得到，是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，设，则，由平移有，从而在中，根据勾股定理构造方程即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据平移可得，
∴，
∴，
∴
设，
∴，
∵由平移可得，
∴在中，，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：
16. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：解不等式组得，
∵至少有2个整数解，即和，
∴，
解得，
解分式方程得，
又∵为非负整数解且，
∴，，解得且，
∴满足条件的整数的值为：，
∴整数的值的和是，
故答案为：．
17. 如图，在菱形中，分别为线段上的动点，且始终满足，将绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作射线，然后证明，确定点G的运动轨迹，然后作作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值，可知点H在的延长线上，且，再过点B作交的延长线于点P，利用勾股定理计算即可解题．
【详解】解：作射线，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上移动，
作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值，
∵，
∴点H在的延长线上，且，
过点B作交的延长线于点P，
则，
∴，，
∴，
∴，
故和的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
18. 对于一个四位自然数，若它的各个数位上的数字均不为零且互不相等，十位数字比千位数字大1，个位数字与百位数字的和为10，则称为“春风数”．已知为“春风数”，则的最大值与最小值的差为______，记，若能被7整除，则的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．
由题意可得，，确定的最大值与最小值求差即可；根据能被7整除分和两种情况整理确定a，b的值，从而可得结论．
【详解】解：由题可得，，
∴，解得：，
∴a最大是，最小是，
又它的各个数位上的数字均不为零且互不相等，
∴的最大值为，最小为，
则它们的差为；
，
又∵能被7整除且为正数，
当，即时，，解得，
时，，不符合题意；
时，，不符合题意；
时，，不符合题意；
时，，当时，，的值为，不符合题意，舍去；
时，，不符合题意；
时，，当时，a为负值舍去；当时，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；
当，即时，，解得，
当时，当时，不符合题意，当时，不符合题意；当时，N的值为5664，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；
时，当，，的值为；当，，不符合题意；
时，，不符合题意；
时，，不符合题意；
故答案为：，．
三、计算题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）直接提公因式即可分解；
（2）利用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
．
20. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
解得，，
检验，当时，，
∴不是原分式方程的解，方程无解．
21. 先化简，再求值：，从，0，1这三个数中选择一个你认为适合的数，作为的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质化简，代入求值是解题的关键．
根据分式的性质进行化简，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
四、解答题（本大题共6个小题，其中22－24题每小题8分，25－27题每小题10分，共54分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
22. 如图，四边形是矩形，为上一点，．

（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，为了证明，小马同学的想法为：先证明．再利用矩形性质，得到结论，请根据小马同学的想法完成下面的填空．
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
又∵，
∴③ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）如图1，以为圆心，长为半径画弧交于，以为圆心，大于 的长为半径画弧交点为，连接交于，即为所求；
（2）按照步骤作答即可．
【小问1详解】
解：如图1，以为圆心，长为半径画弧交于，以为圆心，大于 的长为半径画弧交点为，连接交于，即为所求；
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 年月日是第个全国儿童预防接种宣传日，儿童免疫预防接种，关系到下一代的健康成长，涉及千家万户．某校在这一天进行了相关的知识测试．为了解学生对相关知识的掌握程度，学校卫生健康领导小组随机抽查了八九年级各位学生的测试成绩（测试成绩满分为分，成绩为整数），分为四个组进行统计，经整理，分析后，下面给出了部分信息：
名八年级学生的测试成绩中组包含的所有数据为：．
名九年级学生的测试成绩：．
八、九年级测试成绩统计表
八年级学生测试成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；______；______．
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次测试八年级有名学生参加，九年级有名学生参加，估计本次测试八，九年级共有多少名学生成绩不低于分．
【答案】（1），，
（2）九年级学生的测试成绩更好，理由见详解
（3）八，九年级共有名学生成绩不低于分
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数的计算方法，样本百分比估算总体的数量的方法是解题的关键．
（1）根据样本总量计算样本数量，众数，中位数，某项百分数的方法即可求解；
（2）根据中位数、众数作决策的方法即可求解；
（3）根据样本百分比估算总体数量即可求解．
【小问1详解】
解：八年级组：（人），组：（人），组：（人），组：（人），
八年级组数据排序为：，
∴八年级中位数为第，名的成绩的平均数，即，
∴，
∴，
∴；
九年级学生的测试成绩出现次数最多的是，
∴；
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：八年级的平均数为，中位数为，众数为；九年级的平均数为，中位数为，众数为；
八九年级的平均数相同，八年级的中位数、众数都小于九年级，
∴九年级学生的测试成绩更好；
【小问3详解】
解：（人），
∴八，九年级共有名学生成绩不低于分．
24. 春风轻拂，万物复苏，青团成为这个季节不可或缺的美食．它不仅是一种食物，更是一种情感的寄托，承载了人们对春天的赞美和怀念，某甜品店开业当天推出了爆珠榴莲和麻辣牛肉两种青团，
（1）上午，两种青团共卖出个，销售额为元，其中爆珠榴莲的单价为元，麻辣牛肉的单价为元，求卖出两种青团各多少个；
（2）下午，该店调整了两种青团的价格，结果爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价贵元，售出爆珠榴莲的个数比麻辣牛肉的个数多，爆珠榴莲的销售额为元，麻辣牛肉的销售额为元，求爆珠榴莲的单价是多少元．
【答案】（1）爆珠榴莲有个，则麻辣牛肉有个
（2）爆珠榴莲的单价元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目数量关系，掌握一元一次方程，分式方程的运用方法是解题的关键．
（1）根据题意，设爆珠榴莲有个，则麻辣牛肉有个，由数量关系列方程求解即可；
（2）设麻辣牛肉的单价元，则爆珠榴莲的单价元，根据数量关系列分式方程即可求解．
小问1详解】
解：设爆珠榴莲有个，则麻辣牛肉有个，
∴，
解得，，
∴爆珠榴莲有个，则麻辣牛肉有个；
【小问2详解】
解：∵爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价贵元，
∴设麻辣牛肉的单价元，则爆珠榴莲的单价元，
∵爆珠榴莲的销售额为元，麻辣牛肉的销售额为元，
∴爆珠榴莲的销售数量为：个，麻辣牛肉的销售数量为：个，
∵售出爆珠榴莲的个数比麻辣牛肉的个数多，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴麻辣牛肉的单价元，爆珠榴莲的单价元，
答：爆珠榴莲的单价元．
25. 如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．

（1）请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围；
【答案】（1）
（2）作图见详解 （3）自变量的取值范围为：
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）运用描点，连线的方法即可求解；
（3）根据图示即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴是直角三角形，且，
设，，
①当点在线段上时，即，
∵，
∴，
∴；
②当点与点重合时，即，如图所示，

∴，即；
③当点在线段上时，即，如图所示，
∵，，
∴，且，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：；
【小问2详解】
解：根据（1）的函数关系式描点如下，
作图如下，
【小问3详解】
解：如图所示，

根据图示，交点坐标为，，
∴当时，，
∴自变量的取值范围为：．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点．
（1）求直线的解析式；
（2）若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
（3）如图2，连接，在直线上是否存在动点，便得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由．
【答案】（1）直线的解析式为：
（2）点的坐标
（3）存在，点的坐标为，，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据直线，点的坐标分别求出点的坐标，由此即可求解；
（2）根据题意分别算出的坐标，算出的面积，再算出的面积，设，根据，即可求解；
（3）根据题意可得，图形结合，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，与轴交点，
∴令时，；令时，；
∴，，
∴，则，
∵点是直线与线段交点，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：；
【小问2详解】
解：由（1）可知直线的解析式为：，
令时，，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为直线上一动点，且直线的解析式为，
∴设，如图所示，连接，
∴，
，
当点在轴右边时，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
当点在轴左边时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标；
【小问3详解】
解：存在，点的坐标为，，理由如下，
已知，，
∴直线的解析式为：，
∴，，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴若，则，
第一种情况，如图所示，连接交于点，
∵，，
∴是等腰三角形，，，
∵是的外角，即，
∴点即为所求点的位置，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
联立直线与直线的解析式，
∴，
解得，，
∴；
第二种情况，如图所示，关于的对称，则，

∴，
由第一种情况可得，，，
根据中点坐标公式得，，
综上所述，存在，点的坐标为，．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与二元一次方程组求交点，相似三角形的判定和性质，角度的和差计算的方法，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
27. 如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接．
（1）如图1，点在线段上，若，求的长；
（2）如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：；
（3）如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解；
（2）过点作于点，证明，得出，，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据已知，可得，过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形，得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（3）作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则四边形是菱形，根据题意将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则关于对称，得出是直角三角形，当在上时，取得最小值，勾股定理求得的最小值为，过点作于点，连接，进而等面积法得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，则
在中，，
∵，则
在中，
【小问2详解】
证明：如图所示，过点作于点，
∵等边三角形，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
即是的中点，
过点作交的延长线于点，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴
在中，
∴
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，
则，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，则，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到，
∴关于对称，
∴关于对称，
∵
∴是直角三角形，
∴
当在上时，取得最小值，
∵，
∴，则，
在中，
∴的最小值为
如图所示，过点作于点，连接，
∵是的中点，，则
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴当取最小值时， 面积为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，熟练掌握以上知识是是解题的关键．三月阅读量（本）
1
2
3
4
人数
20
15
10
5
年级
八年级
九年级
平均数
中位数
众数
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