09，2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题

这是一份09，2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

数 学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．主视图是正方形，故本选项错误；
B．主视图是三角形，故本选项正确；
C．主视图是长方形，故本选项错误；
D．主视图是圆，故本选项错误．
故选：B．
2. 年月日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．长征二号（代号：，简称：长二，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是千克．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选C．
3. 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A正确；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
4. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由对顶角可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数．
【详解】解：如图，
∵直线l与a，b分别交于点A，B，，
∴，
∵于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选：D
6. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，
根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．
解得n=6.
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.
7. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，
∴两次都摸到红球的概率为，
故选：C．
8. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．
设，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明，推出，，推出，再利用等腰三角形的性质，可以判定①正确；连接，根据，可以判定②错误；是内部的射线且，可得，推出，推出，推出，故③正确．
【详解】解：，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，故①正确，
连接，则，
，，
，
，
，故②错误，
是内部的射线且，
，
，
，
，故③正确．
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可求出的取值范围．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
10. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11. 如图，在中，点在上且，与交于点．若，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键．
根据平行四边形性质，易得，设的长为，根据，，即可求出的长．
【详解】解：设的长为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
，，，
，
，
又，
即，
解得，
故的长为．
12. 方程的解为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵ 与相切于点．，
∴，，
∴，
故答案为：
16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．
【答案】 ①. ②. 43
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式求出甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成四间客房的打扫卫生工作，同时乙，丙完成另外三项工作，最后一间客房的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可．
【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间为：
（分钟），
甲先完成第1间客房的卫生打扫工作，然后乙完成第1间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第1间客房整理床铺工作，完成后再等2分钟，开始第1间客房的更换客用物品和检查设备，乙完成后再进行第2间客房整理床铺工作，完成后再等1分钟，开始第3间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第2间客房工作后，马上再完成第3间客房整理床铺工作，当甲完成第四间客房打扫卫生工作后，三个人同时完成剩余的三项工作，这样所需要的时间为：
（分钟），
即甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要43分钟．
故答案为：26；43．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算能力，特殊角的三角函数值．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再由可得，代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
∵，
∴．
∴原式．
20. 如图，在四边形中，，平分交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点．若，，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）1
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定及性质，锐角三角形函数解直角三角形．
（1）由角平分线的定义与平行线的性质得到，从而，进而证得四边形是平行四边形，再由得证是菱形；
（2）在中，通过解直角三角形得到，再由菱形的性质得到是直角三角形，通过解直角三角形得到，进而即可解答．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，即
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
【小问2详解】
解：∵在中，，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴在中，，
∴．
21. 为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）
某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量．
【答案】这户居民2023年的用水量为立方米
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关系，设这户居民2023年的用水量为立方米．判定，再列方程解题即可．
【详解】解：设这户居民2023年的用水量为立方米．
∵，，
∴，
∴．
根据题意列方程，得
．
解这个方程，得 ．
答：这户居民2023年的用水量为立方米．
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键．
（1）待定系数法求出一次函数解析式后令时，，得到点C坐标即可；
（2）根据题意画出图象，分情况讨论当直线过点C时，，当直线与直线平行时，，此时，满足条件，即可得到满足条件的m取值范围．
【小问1详解】
∵函数的图象过点和，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：，
当时，，
∴．
【小问2详解】
如图所示，直线过点C时，，
当直线与直线平行时，，此时，满足条件．
∴满足条件．
23. 为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：
a．18名学生的身高：
170，174，174，175，176，177，177，177，178，
178，179，179，179，179，181，182，183，186
b．18名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
（3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）的值为，的值为
（2）甲组 （3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；
（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答；
（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在，据此可解答．
【小问1详解】
将18名学生的身高从小到大排列为：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186，
从中可以看出第9个数据和第10个数据分别是178，178，所以这组数据的中位数为，故；
其中，179出现的次数最多，所以这组数据的众数为179，故；
故答案为：178，179．
【小问2详解】
甲组学生的身高分布于，乙组学生的身高分布于，
据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，
所以执旗效果更好的是甲组，
故答案为：甲．
【小问3详解】
根据题意，为保证方差最小，另外两名学生身高应该在175厘米厘米，
从乙组的数据可以知道，在175厘米厘米的身高有2个，分别是176、177，
故答案为：176、177．
24. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接．
（1）求证：；
（2）连接．若，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得．
（2）如图，连接，连接，设的半径为，由是的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接，连接，
设的半径为，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即．
解得，
∴，，
由勾股定理得，，
∵是直径，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
25. 某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
（2）当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）；
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）见详解；
（2）答案不唯一，如，
（3）答案不唯一，如
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
（1）先根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．
（2）分别根据所求果树高度在图上水平划线，与、交点的横坐标即为生长时间．
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间．
【小问1详解】
解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．
【小问2详解】
解：当时，在图上找到约为，
当时，在图上找到约为，两年后即时，约为5.98．
故答案为，（答案不唯一）．
【小问3详解】
解：当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间，即约为．
故答案为（答案不唯一）．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2），详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
（1）直接根据对称轴公式即可解答；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
【小问1详解】
解：由题意得，对称轴为直线，
即．
【小问2详解】
解：．
理由如下：
令，得．
∴．
∴抛物线与x轴的两个交点为，．
∵抛物线与x轴的一个交点为，其中，
∴．
∵，
∴．
∴，．
设点关于抛物线的对称轴的对称点为．
∵点在抛物线上，
∴点也在抛物线上．
由，得．
∴．
∴．
∵抛物线的解析式为，
∴此抛物线开口向上．
当时，随的增大而增大．
∵点，，在抛物线上，且，
∴
27. 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判断和性质、平行直线的判定、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，
（1）延长交于点，连接，先证明是等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，进一步证明，得到，最后证得；
（2）延长交的延长线于点，连接，先证明，得到，进一步得到，在中，，可得，进一步证得．
【小问1详解】
证明：延长交于点，连接，如下图所示，
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∴点在线段的垂直平分线上．
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上．
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：依题意补全图，如下图所示，延长交的延长线于点，连接，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴．
在中，，可得．
在中，，可得．
∴．
∵，
∴．
28. 对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．
在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ；
（2）点在直线上．存在点，是线段“关联点”，也是线段的“强关联点”．
①直接写出点的坐标；
②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②或或；
【解析】
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可；
（2）①设直线与线段的垂直平分线交于点C，求出，根据点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，得出点P在直线上，，，证明，求出，得出点B的纵坐标为，即可求出结果；
②根据题意得出点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线上，点Q也在的垂直平分线上，画出图形，找出临界点，然后求出的取值范围，的范围即可．
【小问1详解】
解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，
则，，
∴为等边三角形，
此时在优弧上只能作一个等边三角形，
∴点是线段的“强关联点”，
∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于，
∴要使线段的“关联点”存在，，
∵不在线段的垂直平分线上，
∴点不是线段的“关联点”，
连接，，，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的“关联点”，
∵，
∴，
∴点不是线段的“关联点”；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的“关联点”；
【小问2详解】
解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：
把代入得：，
∴，
∴，
∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，
∴点P在直线上，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴点B的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，
∵，，
∴点O、B在该圆上，
过点A作于点E，
∴，
∴垂直平分，
∴点Q在直线上，
根据解析①可知：，
∴当时，
∴，
∵点Q也在的垂直平分线上，
∴的垂直平分线必须与相交，
当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意，
根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”，
∴要Q是的“关联点”，则，
即，
如图，取、，使，则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意，
∴的取值范围是：或或，
作的垂直平分线交于点F，交于点Q，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，理解题意，根据题意画出图形．考
生
须
知
1．本试卷共8页，共两部分，28道题。满分100分。考试时间120分钟
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回
步骤
打扫卫生
整理床铺
更换客用物品
检查设备
所需时间/分钟
9
7
6
4
供水
类型
阶梯
户年用水量
（立方米）
水价
其中
水费
水资源费
污水处理费
自来水
第一阶梯
0—180（含）
5
第二阶梯
181—260（含）
7
第三阶梯
260以上
9
平均数
中位数
众数
178
m
n
甲组学生的身高
175
177
177
178
178
181
乙组学生的身高
170
174
174
176
177
179
x
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
1.00
2.50
5.00
7.50
9.00
9.64
9.87
9.95
9.98
10.00
10.00
1.50
4.24
5.67
5.95
5.99
6.00
6.00
6.00
6.00
6.00
6.00