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11，浙江省县域教研联盟2023-2024学年九年级下学期中考模拟考试 数学试题
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这是一份11，浙江省县域教研联盟2023-2024学年九年级下学期中考模拟考试 数学试题，共9页。
考生须知：
1. 本卷满分 120分, 考试时间120 分钟;
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。
卷I(选择题)
一、选择题(本大题共10题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1.热气球上升5米记为+5，则下降3米应该记为( ▲ )
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
2.如图是我们常见的空心卷纸，其主要视图是（ ▲ ）
3.下列计算正确的是 ( ▲ )
A.a⁴+a⁴=a⁸B.a⁴-a³=aC.a⁸÷a⁴=a²D.a⁴⁴=a¹⁶4. 如图, 直线a∥b, 将直角三角板的直角顶点放置在直线a上. 若∠1=48°, 则∠2的度数为( ▲ )
A. 42° B. 45° C. 48° D. 52°
5.如图是我们生活中常见的标识筒，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为10cm，高为40cm的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜(无缝隙与拼接)，则反光膜面积为( ▲ )
A.5017πcm2 B.400πcm² C.10017πcm2 D. 800πcm²
6.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ▲ )
A. a>c>b B. c--a>b-a C.ac²0
7.在一次包饺子活动中，五位家庭成员包的饺子个数分别为6，12，20，24，30(其中爸爸包了12个).后试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。来爸爸又包了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是( ▲ )
A.平均数 B.中位数 C. 众数 D. 方差
8. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为(x₁,3), (x₂, 2) , (2, −3), (x₃, −2) , 则x₁, x₂,x₃的大小关系为 ( ▲ )
A.x₂0时, -210.如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为⊙O的一部分，AB为容器口，DE为水面，已知⊙O半径为5cm，AB=6cm，DE=8cm，将容器从甲处AB 与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面DE 正好经过点B时(水无溢出)，点A 相对甲处时升高了多少厘米? ( ▲ )
A. 35 B. 1725 C. 45. D. 1
卷Ⅱ(非选择题)
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11. 要使分式 2x+1有意义，x的取值应满足 ▲ .
12. 如图, AC为⊙O 切线, C为切点, OA与⊙O交于点 B, 若AC=3, AO=4, 则 OB= ▲ .
13.任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数是3的倍数的概率为 ▲ .
14. 如图, 点E为菱形 ABCD 中AB边上一点, 连结DE, DE=DA, 将菱形沿 DE折叠, 点 A 的对应点F恰好落在BC边上, 则∠A 的度数为 ▲ .
15.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何?其大意是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金，白银各重几两?设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组 ▲ . 浙考神墙620
16. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 两个边长为1的正方形DEFG, GHIJ的顶点D, E, F, I, J均在△ABC的边上, ∠FGH=α(0°<α<90°),令 SDGJSADE=n,当α=60°时, n= ▲ ; 当 n=25时,S△ABC= ▲ .
三、解答题(本题有8小题, 第17~19题每题6分, 第20, 21题每题8分, 第22, 23题每题10分,第24题12分, 共66分)
17. (本题满分6分)
(1) 计算: |-1|-38-12-2 (2) 解不等式: 3+x>-2(1-x)
18. (本题满分6分)
已知: 如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, ∠OAB=∠OBA.
(1) 求证: ▱ABCD 是矩形.
(2) 若AD=4, ∠AOB=120°, 求对角线AC的长.
19. (本题满分6分)
【数据的收集与整理】
猫眼研究院发布《2024春节档电影数据洞察报告》数据显示，今年春节档电影总票房创历史新高.春节档8天日票房收入及票房冠军《热辣滚烫》在日票房收入中所占比重分别如图所示.(数据来源：猫眼专业版)
【数据分析】
(1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ▲ .(填序号)
①初一至初八日票房收入超过10亿的天数占50%；
②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势；
③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四.
(2)2024春节档8天微博电影相关热搜总数为946个，将微博映后热搜类型分布、各级城市票房收入占比和观众性别比例绘制成如图统计图.
①求“全民讨论”的热搜个数(精确到个位)；
②结合各级城市票房收入占比和观众性别比例分析，如果你是投资方，来年的春节档你投资影片会考虑哪些因素?
20. (本题满分8分)
观察下面的一列数： a1=12,a2=13+23,a3=14+24+34,a4=15+25+35+45
(1) 尝试: a2-a1=12;a3-a2=¯;a4-a3=¯.
(2) 归纳: aₙ₊₁-aₙ=.
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.
21. (本题满分 8分)
我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，记入射角为α，折射角为β，我们把 n=sinαsinβ称为水的折射率.为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC=32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC=53°.往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G 处，测得 CG=7cm.(参考数据: sin53∘≈45,cs53∘≈35,tan53∘≈43)
(1) 求容器的高度AB.
(2)求水的折射率n.
(3)若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G'移动到BC的三等分点处 CG'=13CB,求水面上升的高度 EE'.(结果精确到0.1cm)
22. (本题满分10分)
【回顾课本】
浙教版八年级下册数学教材“4.5三角形的中位线”一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请完成证明过程.
已知: 如图1, DE是△ABC的中位线.
求证： DEBC,DE=12BC.
分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转 180°，得到△CFE，这样就只需要证明四边形BCFD是平行四边形.
【探究发现】
如图2, 等边△ABC的边长为2, 点D, E分别为AB, AC边中点, 点F为BC边上任意一点(不与B, C重合), 沿DE, DF剪开分成①, ②, ③三块后, 将②, ③分别绕点D, E 旋转180°恰好能与①拼成▱DIHG, 求▱DIHG周长的最小值.
【拓展作图】 浙考神墙620
如图3，已知四边形ABCD，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明.
23. (本题满分10分)
已知：二次函数. y=-x²+2mx-m²+2m-1(m是常数).
(1)求该二次函数图象的顶点坐标(用含m的代数式表示).
(2)若该二次函数图象与直线 y=2x-1交于 A，B两点(点A在点B的右侧)，这两点的横坐标分别为 xA,xB,求证： xA-xB是个定值.
(3) 已知点P(1, 1), Q-2-5,若该二次函数图象与线段PQ 只有一个交点，求m的取值范围.
24. (本题满分 12分)
如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且 BC的长度是 AC长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点, CD与AB交于点F, 点E为CF上一点, 且. ∠CAE=∠ABC.
(1) 求 ∠CAE的度数.
(2) 求证: AC²=CE⋅CD.
(3) 若 AB=8,CD=6,求AF的长.
2023~2024学年第二学期浙江省县域教研联盟九年级模拟考试
数学参考答案
一、选择题(本大题共10题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
二、填空题 (本题有6小题，每小题4分，共24分)
三、解答题(本题有8小题, 第17~19题每题6分, 第20、21题每题8分, 第22、23题每题10分, 第24题12分, 共66分)
17.(1)原式=1-2-4…………………………………………………………………………2分
=-5…………………………………………………………………………3分
(2) 去括号, 得: 3+x>-2+2x
移项,得:x-2x>-2-3………………………………………………………………2分
合并同类项, 得: -x>-5
两边同乘以-1,得:x<5.…………………………………………………………3分
18. (1) 证明: 在▱ABCD 中, OA=OC,OB=OD
又∵∠OAB=∠OBA
∴OA=OB
∴OA=OB=OC=OD,即AC=BD
∴▱ABCD是矩形……………………………………………………………3分
(2) 解: ∵∠AOB=120°
∴∠AOD=60°
∵OA=OB=OC=OD
∴△AOD为等边三角形
∴AO=AD=4
∴AC=2AO=8.…………………………………………………………………6分
19.(1)①②………………………………………………………………………………2分
(2)①57.3%×946≈542………………………………………………………4分
②从各级城市票房收入看，影片在二线和四线城市排片数量可适当增加；从观众性别比例看，观影主力人群是女性，所以要考虑女性观众的视角，投资反应社会上女性在生活、工作时真实现状的影片.…………………………………………………………………6分
(回答有理即可)
20. (1) 12 , 12. 2分
212 5分
3an=1n+1+2n+1+3n+1+⋯+nn+1=1+2+3+⋯+nn+1=n+1n2n+1=n2⋯6分
同理 an+1=n+12 .7分
∴an+1-an=n+12-n2=12 8分
21.1∵tan53∘=BCAB ∴AB=BCtan53∘=24cm 2分
(2) 如图, 作HP⊥BC 于点 P, 由题可知: HP=12AB=12,CP=12BC=16
∴PG=CP-CG=9……………… .3分
∴HG=HP2+PG2=15,sin∠PHG=35 ∴n=sin53∘sin∠PHG=43 5分
(3)由题可知: GG'=CG'-CG=113,HGH'G'
∴CGGG'=CHHH'=2111
∴AHHH'=AEEE'=2111, 即 12EE'=2111
∴EE=447≈6.3 …………… .8分
22.【回顾课本】
证明: 以点 E为旋转中心, 把△ADE绕点E, 按顺时针方向旋转180°, 得△CFE,则 D,E,F同在一直线上, DE=EF, 且△ADE≌△CFE
∴∠ADE=∠F, AD=CF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形………………………………………………………2分
∴DF∥BC, DF=BC
∴DEBC,DE=12BC.………………………4分
【探究发现】
由题可知: ▱DIHG周长=2DI+2DG=2BC+2DF =4+2DF
当DF⊥BC时最小, 此时 DF=32…………………………………5分
∴▱DIHG周长的最小值为 4+3…………………………………………………7分
【拓展作图】
点E,F, G, H分别是AB, BC, CD, DA边的中点, 沿 EF, GH, HE 剪开分成四块即可, 或沿EG,HF剪开分成四块亦可………………………………………………………………10分
2 3.1∵y=-x²+2mx-m²+2m-1=-x-m²+2m-1,
∴顶点坐标为(m, 2m-1 ). ..…… .2分
(2) 令 y=-x-m²+2m-1=2x-1
得: -x²+2m-2x-m²+2m=0
解关于x的方程得： x₁=m,x₂=m-2 .4分
∵ 点 A 在点 B 的右侧
∴xB=m-2,xA=m∴xA-xB=2 . . . . …6分
(3) 设直线PQ的解析式为y=kx+b, 将P(1, 1)、Q(-2, -5) 代入,
得: k=2, b=-1,
∴直线PQ的解析式为: y=2x-1.
由(1)得：该二次函数图象的顶点恰在直线y=2x-l 上，
①当点 A 在线段PQ上，点 B 线段PQ的延长线上时，函数图象与线段 PQ 只有一个交点，此时：m≥-2 且m-2<-2,
∴-2≤m<0……………………………………………………………………………8分
②当点 B在线段PQ上，点A线段QP的延长线上时，函数图象与线段 PQ 只有一个交点，此时：m>1 且 m-2≤1,
∴1综合可得: -2≤m<0 或1其他解法，酌情给分
24. (1) ∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵BC=2AC∴∠BAC=2∠ABC
∴∠ABC=30°,∠CAE=∠ABC=30°………………………………………………………3分
(2)∵∠ADC=∠ABC=∠EAC, ∠ACD=∠ECA
∴△ADC∽△EAC
∴ACCE=CDAC ∴AC²=CE⋅CD………………………………………………………………………6分
(3) ∵AB=8, ∠ABC=30°
∴AC=4,BC=43又: :CD=6,AC²=CE⋅CD
∴CE=83∵∠EAC=30°=∠EAF
∴AFAC=FECE 即 AFFE=32, 令AF=3x, FE=2x
当CD在O上方时, 作CP⊥DA 延长线于点 P
由题可知： CP=12CD=3
∴AP=AC2-CP2=7
DP=3CP=33∴AD=DP-AP=33-7∵△ADF∽△CBF
∴AFCF=ADBC 即 3x2x+83=33-743
∴x=34-62115,AF=3x=34-6215 ……… .9分
当CD在O下方时, 作CQ⊥DA 于点Q
同理可得： AF=34+6215……………………………………………12分其他解法，酌情给分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
A
C
C
B
A
D
B
题号
11
12
13
14
15
16
答案
x≠-1
7
13
72°
9x=11y
8x+y=10y+x-13
12；
12125
考生须知：
1. 本卷满分 120分, 考试时间120 分钟;
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。
卷I(选择题)
一、选择题(本大题共10题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1.热气球上升5米记为+5，则下降3米应该记为( ▲ )
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
2.如图是我们常见的空心卷纸，其主要视图是（ ▲ ）
3.下列计算正确的是 ( ▲ )
A.a⁴+a⁴=a⁸B.a⁴-a³=aC.a⁸÷a⁴=a²D.a⁴⁴=a¹⁶4. 如图, 直线a∥b, 将直角三角板的直角顶点放置在直线a上. 若∠1=48°, 则∠2的度数为( ▲ )
A. 42° B. 45° C. 48° D. 52°
5.如图是我们生活中常见的标识筒，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为10cm，高为40cm的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜(无缝隙与拼接)，则反光膜面积为( ▲ )
A.5017πcm2 B.400πcm² C.10017πcm2 D. 800πcm²
6.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ▲ )
A. a>c>b B. c--a>b-a C.ac²
7.在一次包饺子活动中，五位家庭成员包的饺子个数分别为6，12，20，24，30(其中爸爸包了12个).后试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。来爸爸又包了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是( ▲ )
A.平均数 B.中位数 C. 众数 D. 方差
8. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为(x₁,3), (x₂, 2) , (2, −3), (x₃, −2) , 则x₁, x₂,x₃的大小关系为 ( ▲ )
A.x₂
A. 35 B. 1725 C. 45. D. 1
卷Ⅱ(非选择题)
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11. 要使分式 2x+1有意义，x的取值应满足 ▲ .
12. 如图, AC为⊙O 切线, C为切点, OA与⊙O交于点 B, 若AC=3, AO=4, 则 OB= ▲ .
13.任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数是3的倍数的概率为 ▲ .
14. 如图, 点E为菱形 ABCD 中AB边上一点, 连结DE, DE=DA, 将菱形沿 DE折叠, 点 A 的对应点F恰好落在BC边上, 则∠A 的度数为 ▲ .
15.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何?其大意是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金，白银各重几两?设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组 ▲ . 浙考神墙620
16. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 两个边长为1的正方形DEFG, GHIJ的顶点D, E, F, I, J均在△ABC的边上, ∠FGH=α(0°<α<90°),令 SDGJSADE=n,当α=60°时, n= ▲ ; 当 n=25时,S△ABC= ▲ .
三、解答题(本题有8小题, 第17~19题每题6分, 第20, 21题每题8分, 第22, 23题每题10分,第24题12分, 共66分)
17. (本题满分6分)
(1) 计算: |-1|-38-12-2 (2) 解不等式: 3+x>-2(1-x)
18. (本题满分6分)
已知: 如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, ∠OAB=∠OBA.
(1) 求证: ▱ABCD 是矩形.
(2) 若AD=4, ∠AOB=120°, 求对角线AC的长.
19. (本题满分6分)
【数据的收集与整理】
猫眼研究院发布《2024春节档电影数据洞察报告》数据显示，今年春节档电影总票房创历史新高.春节档8天日票房收入及票房冠军《热辣滚烫》在日票房收入中所占比重分别如图所示.(数据来源：猫眼专业版)
【数据分析】
(1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ▲ .(填序号)
①初一至初八日票房收入超过10亿的天数占50%；
②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势；
③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四.
(2)2024春节档8天微博电影相关热搜总数为946个，将微博映后热搜类型分布、各级城市票房收入占比和观众性别比例绘制成如图统计图.
①求“全民讨论”的热搜个数(精确到个位)；
②结合各级城市票房收入占比和观众性别比例分析，如果你是投资方，来年的春节档你投资影片会考虑哪些因素?
20. (本题满分8分)
观察下面的一列数： a1=12,a2=13+23,a3=14+24+34,a4=15+25+35+45
(1) 尝试: a2-a1=12;a3-a2=¯;a4-a3=¯.
(2) 归纳: aₙ₊₁-aₙ=.
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.
21. (本题满分 8分)
我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，记入射角为α，折射角为β，我们把 n=sinαsinβ称为水的折射率.为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC=32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC=53°.往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G 处，测得 CG=7cm.(参考数据: sin53∘≈45,cs53∘≈35,tan53∘≈43)
(1) 求容器的高度AB.
(2)求水的折射率n.
(3)若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G'移动到BC的三等分点处 CG'=13CB,求水面上升的高度 EE'.(结果精确到0.1cm)
22. (本题满分10分)
【回顾课本】
浙教版八年级下册数学教材“4.5三角形的中位线”一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请完成证明过程.
已知: 如图1, DE是△ABC的中位线.
求证： DEBC,DE=12BC.
分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转 180°，得到△CFE，这样就只需要证明四边形BCFD是平行四边形.
【探究发现】
如图2, 等边△ABC的边长为2, 点D, E分别为AB, AC边中点, 点F为BC边上任意一点(不与B, C重合), 沿DE, DF剪开分成①, ②, ③三块后, 将②, ③分别绕点D, E 旋转180°恰好能与①拼成▱DIHG, 求▱DIHG周长的最小值.
【拓展作图】 浙考神墙620
如图3，已知四边形ABCD，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明.
23. (本题满分10分)
已知：二次函数. y=-x²+2mx-m²+2m-1(m是常数).
(1)求该二次函数图象的顶点坐标(用含m的代数式表示).
(2)若该二次函数图象与直线 y=2x-1交于 A，B两点(点A在点B的右侧)，这两点的横坐标分别为 xA,xB,求证： xA-xB是个定值.
(3) 已知点P(1, 1), Q-2-5,若该二次函数图象与线段PQ 只有一个交点，求m的取值范围.
24. (本题满分 12分)
如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且 BC的长度是 AC长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点, CD与AB交于点F, 点E为CF上一点, 且. ∠CAE=∠ABC.
(1) 求 ∠CAE的度数.
(2) 求证: AC²=CE⋅CD.
(3) 若 AB=8,CD=6,求AF的长.
2023~2024学年第二学期浙江省县域教研联盟九年级模拟考试
数学参考答案
一、选择题(本大题共10题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
二、填空题 (本题有6小题，每小题4分，共24分)
三、解答题(本题有8小题, 第17~19题每题6分, 第20、21题每题8分, 第22、23题每题10分, 第24题12分, 共66分)
17.(1)原式=1-2-4…………………………………………………………………………2分
=-5…………………………………………………………………………3分
(2) 去括号, 得: 3+x>-2+2x
移项,得:x-2x>-2-3………………………………………………………………2分
合并同类项, 得: -x>-5
两边同乘以-1,得:x<5.…………………………………………………………3分
18. (1) 证明: 在▱ABCD 中, OA=OC,OB=OD
又∵∠OAB=∠OBA
∴OA=OB
∴OA=OB=OC=OD,即AC=BD
∴▱ABCD是矩形……………………………………………………………3分
(2) 解: ∵∠AOB=120°
∴∠AOD=60°
∵OA=OB=OC=OD
∴△AOD为等边三角形
∴AO=AD=4
∴AC=2AO=8.…………………………………………………………………6分
19.(1)①②………………………………………………………………………………2分
(2)①57.3%×946≈542………………………………………………………4分
②从各级城市票房收入看，影片在二线和四线城市排片数量可适当增加；从观众性别比例看，观影主力人群是女性，所以要考虑女性观众的视角，投资反应社会上女性在生活、工作时真实现状的影片.…………………………………………………………………6分
(回答有理即可)
20. (1) 12 , 12. 2分
212 5分
3an=1n+1+2n+1+3n+1+⋯+nn+1=1+2+3+⋯+nn+1=n+1n2n+1=n2⋯6分
同理 an+1=n+12 .7分
∴an+1-an=n+12-n2=12 8分
21.1∵tan53∘=BCAB ∴AB=BCtan53∘=24cm 2分
(2) 如图, 作HP⊥BC 于点 P, 由题可知: HP=12AB=12,CP=12BC=16
∴PG=CP-CG=9……………… .3分
∴HG=HP2+PG2=15,sin∠PHG=35 ∴n=sin53∘sin∠PHG=43 5分
(3)由题可知: GG'=CG'-CG=113,HGH'G'
∴CGGG'=CHHH'=2111
∴AHHH'=AEEE'=2111, 即 12EE'=2111
∴EE=447≈6.3 …………… .8分
22.【回顾课本】
证明: 以点 E为旋转中心, 把△ADE绕点E, 按顺时针方向旋转180°, 得△CFE,则 D,E,F同在一直线上, DE=EF, 且△ADE≌△CFE
∴∠ADE=∠F, AD=CF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形………………………………………………………2分
∴DF∥BC, DF=BC
∴DEBC,DE=12BC.………………………4分
【探究发现】
由题可知: ▱DIHG周长=2DI+2DG=2BC+2DF =4+2DF
当DF⊥BC时最小, 此时 DF=32…………………………………5分
∴▱DIHG周长的最小值为 4+3…………………………………………………7分
【拓展作图】
点E,F, G, H分别是AB, BC, CD, DA边的中点, 沿 EF, GH, HE 剪开分成四块即可, 或沿EG,HF剪开分成四块亦可………………………………………………………………10分
2 3.1∵y=-x²+2mx-m²+2m-1=-x-m²+2m-1,
∴顶点坐标为(m, 2m-1 ). ..…… .2分
(2) 令 y=-x-m²+2m-1=2x-1
得: -x²+2m-2x-m²+2m=0
解关于x的方程得： x₁=m,x₂=m-2 .4分
∵ 点 A 在点 B 的右侧
∴xB=m-2,xA=m∴xA-xB=2 . . . . …6分
(3) 设直线PQ的解析式为y=kx+b, 将P(1, 1)、Q(-2, -5) 代入,
得: k=2, b=-1,
∴直线PQ的解析式为: y=2x-1.
由(1)得：该二次函数图象的顶点恰在直线y=2x-l 上，
①当点 A 在线段PQ上，点 B 线段PQ的延长线上时，函数图象与线段 PQ 只有一个交点，此时：m≥-2 且m-2<-2,
∴-2≤m<0……………………………………………………………………………8分
②当点 B在线段PQ上，点A线段QP的延长线上时，函数图象与线段 PQ 只有一个交点，此时：m>1 且 m-2≤1,
∴1
24. (1) ∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵BC=2AC∴∠BAC=2∠ABC
∴∠ABC=30°,∠CAE=∠ABC=30°………………………………………………………3分
(2)∵∠ADC=∠ABC=∠EAC, ∠ACD=∠ECA
∴△ADC∽△EAC
∴ACCE=CDAC ∴AC²=CE⋅CD………………………………………………………………………6分
(3) ∵AB=8, ∠ABC=30°
∴AC=4,BC=43又: :CD=6,AC²=CE⋅CD
∴CE=83∵∠EAC=30°=∠EAF
∴AFAC=FECE 即 AFFE=32, 令AF=3x, FE=2x
当CD在O上方时, 作CP⊥DA 延长线于点 P
由题可知： CP=12CD=3
∴AP=AC2-CP2=7
DP=3CP=33∴AD=DP-AP=33-7∵△ADF∽△CBF
∴AFCF=ADBC 即 3x2x+83=33-743
∴x=34-62115,AF=3x=34-6215 ……… .9分
当CD在O下方时, 作CQ⊥DA 于点Q
同理可得： AF=34+6215……………………………………………12分其他解法，酌情给分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
A
C
C
B
A
D
B
题号
11
12
13
14
15
16
答案
x≠-1
7
13
72°
9x=11y
8x+y=10y+x-13
12；
12125
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