13，福建省厦门市思明区大同中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份13，福建省厦门市思明区大同中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 关于x的一元二次方程的根是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，，
故选：B试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。3. 在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中黑球1个，红球2个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用黑色的小球个数除以球的总个数即可解题．
【详解】解：从中摸出一个小球，共有3种可能，其中摸出的小球是黑色的情况只有1种，
故摸出的小球是黑色的概率是：
故选：B．
【点睛】本题考查概率公式，解题关键是掌握随机事件发生的概率．
4. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答．
主要考查的是函数图象的平移，解题的关键是用平移规律直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
【详解】将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为，
故选D．
5. 下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A. y＝﹣x+2B. y＝x+2C. y＝﹣x2+2D. y＝x2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据一次函数当未知数的系数大于0时，函数值y总是随自变量x增大而增大和二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性进行分析即可．
【详解】解：A、一次函数y=-x+2中的a=-1＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意；
B、一次函数y=x+2中的a=1＞0，y随x的增大而增大，故符合题意；
C、二次函数y＝﹣x2+2，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解题的关键．
6. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＜y2C. y1＝y2D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1与y2的值，再比较即可解题．
【详解】解：因为点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，
所以y1=1+1=2，y2=4+1=5
y1＜y2
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺．根据题意，所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设门的宽为尺，则门的高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设门的宽为尺，则门的高为尺，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 判断关于的方程（是常数，）的根的情况（ ）
A. 存在一个，使得方程只有一个实数根B. 无实数根
C. 一定有两个不相等的实数根D. 一定有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】当k=0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0即可判断原方程有实数根．
【详解】解：∵k＜1，
∴当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1；
当k≠0时，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．设，而，即函数向上平移1个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解．
【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移1个单位得到函数，
则两个函数的图象如图所示，
从图象看，，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，则m＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】两个点关于原点对称时，它们坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P1（-x，-y）．
【详解】解：因为点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，
所以m-4=0
即m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平面内两点关于原点对称的点，属于基础题，掌握相关知识是解题关键．
12. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 _____度．
【答案】60
【解析】
【分析】根据题意由旋转的性质可得∠BAD=∠CAP，即可求∠BAC=∠DAP=60°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠PAC+∠CAD=60°，
∴∠DAP=60°；
故旋转角度60度.
故答案为：60．
【点睛】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
13. 抛物线的顶点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
14. 某农科所为了了解新玉米种子的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，在相同的培育环境中分别实验，实验具体情况记录如下：
随着实验种子数量的增加，可以估计A种子出芽的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的公式解题：A种子出芽的概率=A种子出芽数量÷玉米种子总数量．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即为概率，随机事件发生的概率在0至1之间．
15. 已知P（2m，4m2+1）是平面直角坐标系中的点，则点P的纵坐标y随横坐标x变化的函数解析式是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据点坐标特征，消去m得到y与x关系式即可．
【详解】∵P（2m，4m2+1）是平面直角坐标系的点，
∴x=2m，y=4m2+1，
∴把代入y=4m2+1得：
，即点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16. 抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②a+b＝4；③m＜﹣1；④当m＝3时，△ABD是等腰直角三角形；⑤若抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是 _____．
【答案】①⑤
【解析】
【分析】利用二次函数的性质逐项进行分析即可．
【详解】①∵把x=2代入y=-x2+2x+m得，y=m，
∴抛物线过点（2，m），
故①正确；
②∵抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），
∴a、b是方程=-x2+2x+m=0的两个根，
∴，
故②错误；
③∵抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），
∴方程=-x2+2x+m=0的有两不等实数根，
∴，
解得
故③错误；
④当m=3时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（-1，0）、B（3，0），
顶点D（1,4）
设对称轴与x轴交点为E，则E点坐标为（1,0）
∴AE=BE=2,DE=4
∴△ABD不是等腰直角三角形，
故④错误；
⑤当x1＜x2，且x1+x2＞2时，或，且
即到对称轴的距离小于到对称轴的距离
∴y1＞y2．故⑤正确．
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可；
（2）方程左边利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
四、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 如图，在直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，2）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1．
（2）求△A1B1C1的面积．
【答案】（1）图形见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，依次求出的坐标即可；
（2）利用割补法求△A1B1C1面积．
【详解】（1）∵
∴△ABC关于原点O对称的△A1B1C1位置如图：
（2）
【点睛】此题考查了中心对称的知识，解答本题的关键是根据关于原点对称的点的坐标特征得到各点的对应点．
19. 已知二次函数．
（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______．
【答案】（1）图象的顶点坐标为，对称轴为直线
（2）图象见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（1）解析式化成顶点式，即可得到结论；
（2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围．
【小问1详解】
解：，
二次函数的图象的，对称轴为直线；
【小问2详解】
解：二次函数图象如下图：
当时，则y的取值范围是，
故答案为：．
20. 一个不透明的口袋中有四个分别标号为1，2，3，4的完全相同的小球，从中随机摸取两个小球．
（1）请列举出所有可能结果；
（2）求取出的两个小球标号和等于5的概率．
【答案】（1）见详解；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意通过列出相应的表格，即可得出所有可能结果；
（2）由题意利用取出的两个小球标号和等于5的结果数除以所有可能结果数即可得出答案.
【详解】解：（1）由题意列表得：
所有可能的结果有12种；
（2）由（1）表格可知取出的两个小球标号和等于5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）共4种，而所有可能的结果有12种，
所以取出的两个小球标号和等于5的概率.
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 某水果公司以2元/千克的成本购进10000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下面问题：
（1）柑橘损坏的概率估计值为____________，柑橘完好的概率估计值为___________；
（2）估计这批柑橘完好的质量为______________千克；
（3）如果公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在出售(已去掉损坏的柑橘)时，每千克柑橘大约定价为多少元比较合适？
【答案】（1） ①. ②.
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键．
（1）从图表可以估计柑橘损坏的概率估计值为，即可得出柑橘完好的概率估计值；
（2）根据题意，这批柑橘完好的质量所有水果的质量柑橘完好的概率；
（2）通过理解题意可知本题的等量关系，即没有损坏的水果的售价所有水果的成本元，即可列方程解决．
【小问1详解】
解：根据所给的图形可得柑橘损坏的概率估计值为，
∴柑橘完好的概率估计值为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：估计柑橘完好的质量为（千克），
故答案为：；
【小问3详解】
解：设每千克柑橘定价元，
，
解得，
答：每千克柑橘定价元比较合适．
22. 某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更大利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，当销售单价为20元时，每月能卖360件；若按每月25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y件是价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压且不考虑其他因素条件下，销售价格是多少时，才能使每月获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售价格是24元时，每月获利最大，最大利润为1920元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数最值问题是解题的关键．
（1）设一次函数解析式为，用待定系数法建立方程组即可求出答案；
（2）根据等量关系列出二次函数，并求出最值．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
将，；，代入，
得，
解得：，
y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋960；
【小问2详解】
解：设每月获得利润W元，根据题意，得
，
，
，
，
∵，
∴当时，W最大，最大值为1920，
故销售价格是24元时，每月获利最大，最大利润为1920元．
23. 已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设B点关于对称轴的对称点为C，抛物线L：y＝mx2（m≠0）与线段BC恰有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）由于BC∥x轴，把B、C两点坐标代入y=mx2可计算出对应的m的值，然后根据抛物线L：y＝mx2（m≠0）与线段BC恰有一个公共点可确定m的范围．
【详解】（1）把A（2，-3）和B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3．
（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4．
∴对称轴为直线x=1，
∵B（4，5），
∴B点关于对称轴的对称点C点坐标为（-2，5），
当L：y＝mx2过C点时，代入C（-2，5），则，此时二次函数解析式为，与直线交点为（-2，5）（2，5），与线段BC有两个交点；
当L：y＝mx2过B点时，代入B（4，5），则，此时二次函数解析式为，与直线交点为（-4，5）（4，5），与线段BC只有一个交点；
所以m的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
24. 抛物线C1：y＝x2-2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b(b>0)个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线上．
（1）求点A的坐标(用含a的代数式表示)；
（2）求a与b的关系式；
（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．
【答案】（1）顶点A的坐标为（a，-a2+a）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）配方即可得顶点坐标；
（2）由A(a， -a2 + a)得抛物线C2的解析式为：y= -x2 + x，再由点B仍在抛物线C2上得-a2+a=-(a+b) +(a + b)整理得b2 + 2ab- b= 0，求出a与b的关系即可；
（3）先求出D( ，0)，设E(m，-m2+m)，求出直线DE的解析式，再将抛物线C2与直线DE联立，求出点M的横坐标，再由直线EF与直线y=的交点为N，求出点N横坐标，即可证明直线MN与x轴互相垂直．
【小问1详解】
解：，
顶点A的坐标为（a,-a2+a）；
【小问2详解】
解：顶点A（a,-a2+a）在抛物线C2上，
令x=a，则抛物线C2的解析式为：.
将抛物线C1向右平移b(b>0)个单位，
所得抛物线顶点B的坐标为（a+b,-a2+a），
点B仍在抛物线上，
，整理得，即，
又b＞0，
；
【小问3详解】
解：抛物线C2：①的顶点为F（，），
抛物线C2的对称轴与x轴的交点D（，0），
又点E是抛物线C2上不同于顶点F的任意一点，
设点E的坐标为（m，-m2+m），其中m≠，直线DE的解析式为y=kx+b，
把D（，0），E（m，-m2+m）代入y=kx+b，得，
解得，
直线ED解析式为②，
联立①②，整理得，
解得，
点E与点M不重合，
点M横坐标为x=，
E（m，-m2+m），F（，），
直线EF解析式为，
又直线EF：与直线l：的交点为N，
点N横坐标为x=，
点M的横坐标与点N横坐标相同，
直线MN与x轴互相垂直．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平移规律、二次函数图象上点的坐标特点、求抛物线与直线的交点，解决本题的关键是明白直线MN与x轴互相垂直，只要点M的横坐标与点N横坐标相同即可．种子数量
100
300
500
1000
3000
出芽数量
99
282
480
980
2910
1
2
3
4
1
---
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
---
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
---
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
---