17，广东省深圳市宝安区宝安中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份17，广东省深圳市宝安区宝安中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为0求解即可．
【详解】解：根据题意得．
解得．
故选：A．
2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D. 试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，分解不彻底，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
4. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据第二象限内点的特征，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解，
本题考查了，点的坐标，求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握相关知识点．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，解得：，
故选：．
5. 如图是脊柱侧弯检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
6. 如图：有、、三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（ ）
A. 户最长B. 户最长C. 户最长D. 三户一样长
【答案】D
【解析】
【分析】可理解为将最左边一组电线向右、向上平移所得，由平移的性质即可得出结论．
【详解】解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，
∴将a向右、向上平移即可得到b、c，
∵图形的平移是全等的，即不改变图形大小和形状，
∴三户一样长．
故选：D．
【点睛】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．
7. 下列说法，错误的是（ ）
A. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
B. 有两个角都是的三角形是等边三角形
C. 三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形
D. 用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角”
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反证法、命题的真假判断、逆命题的概念．根据线段垂直平分线的性质、等边三角形的定理、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可．
【详解】解：A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确，故此选项不符合题意；
B、有两个角都是的三角形是等边三角形，说法正确，故此选项不符合题意；
C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形，说法正确，故此选项不符合题意；
D、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的内角中至少有两个角是直角”，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D．
8. 宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均速度为190米/分钟，步行的平均速度为80米/分钟，若她们要在16点之前到达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可．本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系．
【详解】解：∵计划15点10分从学校出发，要在16点之前到达
∴总时间为分钟
设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟，
根据题意，得：，
故选：A．
9. 如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为（ ）
A B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．．
【详解】解：平分，，
∴
∵
∴
，，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点作于点，

是等腰直角三角形，，，
，
，
，
又，
，
，
将边绕点逆时针旋转至，
，
又，
，
，
，
（负值舍去），
∴，
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：______．
【答案】(答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查多项式的因式分解．根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．
【详解】解：∵一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，
设另一个因式为，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 已知点与关于原点对称，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
【详解】解：∵点与关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．
13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
故答案为：2．
14. 2024年春晚，刘谦表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规律．请依照下列定义，若，则的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式，根据题干提供的信息，得出，解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，在长方形中，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点．请从A、B两题中任选一题作答．
A．若，则的最小值为__________；
B．若，，则的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】选择A．如图，过点作于点，延长到点，使，连接交于点，连接、、，由翻折可得，再证得，即可推出，利用三角形三边关系可得，由于当点与点重合时，，此时的值最小，故的值也最小，运用勾股定理即可求得答案．
选择B．连接，，过作，交于，延长至，使，连接，可得，可证，从而，再证，可求，由当、、三点共线时，最小，即可求解．
【详解】选择A．解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接交于点，连接、、，
四边形是正方形，
，，
，
垂直平分，
，
由翻折得，，
，
，
，
由翻折知，
又，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，，此时的值最小，
的值也最小，
，，，
，
的最小值是．
故答案为：．
选择B．解：如图，连接，，过作，交于，延长至，使，连接，

，，，
，
四边形是矩形，
，
，，
由折叠得：，，，，
，，
，
即：，
在和中
，
()，
；
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
；
当、、三点共线时，最小，
当时最小，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了以折叠为背景的线段最小值问题，折叠的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 解不等式组．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
17. 按下列程序计算，把答案填写在表格内，并观察有什么规律，想想为什么有这样的规律？
（1）填写表内空格：
填写表内空格：
（2）你发现了什么规律，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）无论输入什么数，输出的结果为1．理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，整式的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据程序流程图，代入数据进行计算，根据所求可以发现输出的结果为1；
（2）设输入的数字为n，只需要证明即可．
【小问1详解】
解：当时，输出的结果为：
；
当时，输出的结果为：
；
填表如下：
由表可知，无论输入什么数，输出的结果为1；
【小问2详解】
解：设输入的数字为x，
由程序计算得：．
∴无论输入什么数，输出的结果为1．
18. 阅读与思考：
在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为或，取个人年龄作为的值，当时，，，此时可以得到数字密码1214或1412．
（1）根据上述方法，若多项式为，请你结合个人年龄设置一个锁屏密码，当______时，锁屏密码为______；
（2）若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）王老师当前年龄是岁，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义内容，读懂题意是解题的关键．
（1）模仿题干的解题过程，先把，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答．
（2）先把，结合，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
当年龄为岁时，则
∴锁屏密码为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：王老师当前年龄是岁，理由如下：
∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，且结合
∴
∴王老师当前年龄是岁．
19. 某校八年级为了丰富同学们的课余生活，决定举行一场校园义卖活动，小深和小圳都参加了这次活动，他们分别售卖类物品和类物品，若类卖了10件和类卖了20件一共可卖220元；若类卖了16件和类卖了30件一共可卖336元．
（1）请求出类物品和类物品每件的售价分别是多少元？
（2）为了鼓励更多同学参与，能筹到更多善款，学校决定设立奖励机制，如果两人合作筹集到善款总额不少于500元，则可获得电影票一张作为奖励．假设类和类一共卖了70件，则类至少要卖多少件，小深和小圳才能获得奖励？
【答案】（1）A类物品每件的售价是6元，B类物品每件的售价是8元
（2）B类物品至少要卖40件，小深和小圳才能获得奖励
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设A类物品每件的售价是x元，B类物品每件的售价是y元，根据“A类卖了10件和B类卖了20件一共可卖220元；A类卖了16件和B类卖了30件一共可卖336元”，列出关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）设B类物品卖了m件，则A类物品卖了件，利用总价=单价×数量，结合总价不少于500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
设A类物品每件的售价是x元，B类物品每件的售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A类物品每件的售价是6元，B类物品每件的售价是8元；
【小问2详解】
设B类物品卖了m件，则A类物品卖了件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为40．
答：B类物品至少要卖40件，小深和小圳才能获得奖励．
20. 如图，已知，，请结合下述要求完成作图并回答相应问题：
（1）如图1，点在线段的延长线上且，请使用不含刻度的直尺与圆规过点作射线，使得（不写作法，保留作图痕迹并书写相应结论）；
（2）如图2，将线段水平向右进行平移个单位得到线段，请使用不含刻度的直尺与圆规过点作射线的垂线，与交于点（不写作法，保留作图痕迹并书写相应结论），若点在点的左侧，，，则______．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质．
（1）作，利用“同位角相等，两直线平行”即可得到；
（2）利用尺规作图即可作出过点作射线的垂线，再证明四边形和是平行四边形，据此列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图，射线即为所作：
；
【小问2详解】
解：如图，射线即为所作：
连接，
∵将线段水平向右进行平移个单位得到线段，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由作图知，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
21. 如图，是边长为6的等边三角形，动点E、F分别以每秒1个单位长度的速度从出发，点沿折线运动，点沿运动（点到达点时停止运动），当点到达点后，点的运动速度变为每秒2个单位长度运动直至到点后停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，两出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】（1）；
（2）图见解析，当时，随的增大而增大；
（3）当时的取值范围为．
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
（1）根据动点、运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量的取值范围即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；
（3）根据两个函数关系式分别求出当时的值，结合图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：当点、分别在、上运动时，为边长等于的等边三角形，
点，的距离等于、的长，
当时，关于的函数表达式为；
当点停止，点在上运动时，点，的距离等于，
当时，关于的函数表达式为，
关于的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；当时，，
分别描出三个点，，，然后顺次连线，如图：
该函数的其中一个性质：当时，随的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）
【小问3详解】
解：把分别代入和中，得：
，，
解得：或，
由图象知，当时的取值范围为．
22. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β度数为_______．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）45°或225°
【解析】
【分析】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，，计算即可．
（2）延长到点F,使，连接，证明，过点B作，交于点M，N,再证明 ．
（3）当共线时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案：，．
（2）延长到点F，使，连接，
∵，
∵
∴，
∴，，
过点B作，交于点M，N,
∴，，
∴，
设的交点为Q，
则，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵,，
∴,
∴,
∴且．
故结论仍然成立．
（3）如图，当共线时，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，此时旋转角等于的度数即；
当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，此时旋转角等于的度数即；
故答案为：或．输入
3
2
…
输出答案
1
1
…
输入
3
2
…
输出答案
1
1
1
1
…