17，山东省临沂市郯城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份17，山东省临沂市郯城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷（选择题）
一、选择题：每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求
1. 下列式子是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义及二次根式的被开方数一定是非负数判断即可；
【详解】解：A．无意义，故A不符合题意；
B．是二次根式，故B符合题意；
C．是三次根式，故C不符合题意；
D．没有说明a的取值范围，时无意义，故D不符合题意；
故选B．
2. 下列四组数中，勾股数是（ ）
A. B. 9，40，41
C. D. 1，，2
【答案】B
【解析】试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数定义判断即可．
【详解】A、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，符合最简二次根式条件；故本选项符合题意；
B、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除运算，通过相关运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，，计算错误，不符合题意；
B、由二次根式减法运算可知，，计算错误，不符合题意；
C、由二次根式除法运算法则可得，计算错误，不符合题意；
D、由二次根式乘法运算法则可得，计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：只有③④两块角两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选B．
6. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（m为正整数），则股是（结果用含m的式子表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵m为正整数，
∴为偶数．
设此类勾股数股是a，则弦为．
根据勾股定理得，
解得．
故选：B．
7. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可．
【详解】解：A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、， 根据图形不能证明勾股定理；
故选：D．
8. 在中，是直线上一点，已知，，，，则的长为（ ）
A. 4或14B. 10或14C. 14D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据AC=13，AD=12，CD=5，可判断出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，继而可得出BC的长度．
【详解】∵AC=13，AD=12，CD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
由于点D在直线BC上，分两种情况讨论：
当点D在线段BC上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则；
②当点D在BC延长线上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则．
故答案为：Ａ．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．
9. 如图，的对角线AC、BD交于点O，DE平分交AB于点E，，连接OE．下列结论：①；②DB平分；③；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
详解】解：在中，
，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，
故①符合题意；
，，
，
平分，
故②符合题意；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分，
故③④符合题意，
所以正确的有4个．
故选：D．
10. 如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值是（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出．
【详解】解：如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，
根据折叠的性质，，
，
，
是边的中点，，
，
∵E是直角边的中点，D是斜边的中点，，
∴，
∴．
故选：A．
第I卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
则实数x的取值范围是：，
故答案为：．
12. 若最简二次根式能与合并，则_________．
【答案】7
【解析】
【分析】先化简，根据最简二次根式的定义计算即可，本题考查了同类二次根式，熟练化简是解题的关键．
【详解】解：，
且最简二次根式能与合并，
故，
故答案为：7．
13. 若，，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，代数式求值，根据，，且，得出，，代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在四边形中，，平分，平分，点P，Q分别是，的中点，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接并延长交于点M，证明，得出，，求出，根据中位线性质得出，即可求出结果．
【详解】解：连接并延长交于点M，如图所示：
∵，
∴，，
∵点Q是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵P是的中点，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在等腰直角三角形中，，E是上一点，，P是上一动点．则的最小值是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作等腰直角三角形关于的对称直角三角形，连接，由关于对称，根据两点之间线段最短可知，连接，交于P，连接，则此时的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：作等腰直角三角形关于的对称等腰直角三角形，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
∵等腰直角三角形中，，
∴由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为10，
故答案为：10．
16. 在中，，，，若以A、B、C、P四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为_____．
【答案】14、16或18
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后分类讨论即可确定答案，
本题考查了，勾股定理，拼接平行四边形问题，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：在中，，，，，
当以为对角线时，此时的周长为；
当以为对角线时，此时的周长为；
当以为对角线时，此时的周长为.
故答案为：14或16或18．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）分别求出线段、的长度；
（2）在图中画线段，使得的长为 ，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）见解析；可以组成直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格的性质解题是关键．
（1）结合网格的特点，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理画出，再利用勾股定理得逆定理，即可判断三角形
【小问1详解】
解：由网格可知，，；
【小问2详解】
解：如图，，即即为所求作；
以、、三条线段能构成直角三角形，理由如下：
，，，且，
，
以、、三条线段能构成直角三角形．
19. 阅读理解题：已知，将其分母有理化．小明同学是这样解答的：．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行分母有理化，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先分母有理化，然后再进行代值求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：∵，
∴
．
20. 如图，中，，垂足分别为E，F．证明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形性质得出，进一步证出即可证出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，，证明：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，根据平行四边形性质证出，得出，再根据即可证出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形平行四边形．
22. 如图，的对角线与交于点O，若．
（1）求的度数；
（2）求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形性质，直角三角形判定与性质，
（1）通过平行四边形性质求出线段长，得出，即可求出结论；
（2）先求，即可求出周长；
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴平行四边形的周长为．
23. 如图，点E是对角线上一点，点F在的延长线上，且，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若G是的中点，连接，且，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，
（1）连接交于点O，证明是的中位线，即可证明结论；
（2）先证，再证，根据得出结论．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，即；
【小问2详解】
证明：如图所示，
由（1）得，又，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
24. 【问题初探】
（1）全省数学教研活动示范课中，张老师给出如下问题：
如下图①所示，四边形，点M和点N分别是边和边上的中点，点P是对角线的中点，．求证：．
结合图①，写出完整的证明过程．
【问题再探】
（2）张老师又给出如下问题：
如图②所示，如果在一个四边形中，点Ｐ和点Q分别为边和边的中点，且，，求两点的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】此题考查了三角形中位线定理、勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）如图①，利用中位线定理得到，，由得到，即可得到结论；
（2）如图②，连接，取的中点，连接，，由三角形中位线定理得到，，，则，，进一步得到，根据勾股定理即可得到；
【详解】（1）证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
；
（2）如图②，连接，取的中点，连接，，
点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
，
同理：是的中位线，
，
是的中位线，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
根据勾股定理得，．