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    18,重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
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    18,重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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    这是一份18,重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题,共31页。

    1. 下列表情中,是轴对称图形的是( )
    A B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查了轴对称图形的识别.根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
    【详解】解:A,C,D选项中图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
    B选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
    故选:B.
    2. 计算的结果是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案.
    【详解】解:,
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质,此题比较简单,注意掌握指数的变化时解此题的关键.
    3. 一块直尺与一块三角板如图放置,若,则的度数为( )试卷源自 每日更新,汇集全国各地小初高最新试卷。
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查了平行线的性质,直角三角形的特征,根据,求出,然后利用平行线的性质求出,进而求解即可.
    【详解】如图所示,
    根据直角三角形的性质,得,
    ∵直尺的对边平行,

    ∵,
    ∴.
    故选C.
    4. 下列计算正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题考查了整式的乘法.根据完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项式的法则计算,再逐一判断即可.
    【详解】解:A、,本选项不符合题意;
    B、,本选项不符合题意;
    C、,本选项不符合题意;
    D、,本选项符合题意;
    故选:D.
    5. 意大利面根根筋道,看起来极易折断,棉花糖柔软、容易固定.利用意大利面做架子,棉花榶做连接,能搭建出“又高又稳”的建筑.在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构,这种设计的原理是( )
    A. 三角形具有稳定性B. 两点之间,线段最短
    C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用.模型中三角形架子是其主要结构,故可用三角形的稳定性解释.
    【详解】解:依题意,在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构,这种设计的原理是三角形具有稳定性,
    故选:A.
    6. 如图,点,,,在同一直线上,,,添加下列条件,不能判定与全等的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查全等三角形的判定,根据全等三角形的判定定理(、、、)逐项判断即可.
    【详解】解:A、∵
    ∴,即,
    ∵,,
    ∴,故选项A不符合题意;
    B、∵,,,
    ∴,故选项B不符合题意;
    C、∵,,,,
    ∴不能证明,故选项C符合题意;
    D、∵,,,
    ∴,故选项D不符合题意,
    故选:C.
    7. 如果关于的二次三项式是一个完全平方式,那么常数的值是( )
    A. 13B. C. 或12D. 或13
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题考查完全平方式;先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式(完全平方和、差公式)乘积二倍项即可确定m的值.
    【详解】解:∵是完全平方式,
    ∴,
    ∴,
    ∴或,
    故选:D.
    8. 根据流程图中的运算程序,当输入数据时,输出结果为( )
    A. 1B. 9C. 25D. 81
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题主要考查了代数式求值问题.根据图中的程序表,把代入,求出的值,得出的值即可.
    【详解】解:当时,,
    当时,,
    故选:C.
    9. 艳艳与君君约定去爬缙云山,开始两人一起坐缆车至中转点,休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景.设所用的时间为,离山脚的高度为,下图能反映整个上山顶的过程中变量与之间关系的大致图象是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题主要考查了函数图象.根据一开始是坐缆车上山,休息一段时间后是步行登山至缙云山山顶,因此休息前的路程变化比休息后的路程变化快,由此判定即可.
    【详解】解:由题意可得,
    刚开始,艳艳与君君是坐缆车上山,变化趋势比较快,
    休息一段时间,步行登山至缙云山山顶,变化趋势比较平缓,
    故选:B.
    10. 下列说法错误的是( )
    A. 两直线平行,同位角相等
    B. 等腰三角形是轴对称图形,对称轴是一边上的中线
    C. 锐角三角形的高一定在三角形的内部
    D. 若的三个内角满足,则是直角三角形
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查判断命题的真假.分别根据平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的高线逐项判断即可作出选择.
    【详解】解:A、两直线平行,同位角相等,说法正确,但不符合题意;
    B、等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边上的中线所在的直线,原说法错误,但符合题意;
    C、锐角三角形的高一定在三角形的内部,说法正确,但不符合题意;
    D、若的三个内角满足,则最大角为,所以是直角三角形,说法正确,但不符合题意;
    故选:B.
    11. 如图,点为边上一点,点为边上的点,将、分别沿着翻折,得到和,若,设,则的度数为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了三角形的内角和定理,平行线的性质,翻折的性质,熟练掌握知识点,正确添加辅助线是解题的关键.
    过点A作,由平行线的性质及翻折的性质得,
    ,设,
    由三角形内角和定理及平角的意义即可求解.
    【详解】解:过点A作,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵将、分别沿着翻折,得到和,
    ∴,
    ∴,
    设,
    ∵在中,,
    ∴,
    即,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    故选:A.
    12. 若第一个整式的项数为奇数,则用此整式去乘,若项数为偶数,则用此整式去乘,所得结果记作;若合并同类项后的项数为奇数,则用去乘,若合并同类项后的项数为偶数,则用去乘,所得结果记作,以此类推.下列说法正确的个数为( )
    ①第一个整式为,则;
    ②第一个整式为,若,则的值为5;
    ③第一个整式为,若,则.
    A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查了整式的运算.计算即可判断①正确;,由,得到,化简即可判断②错误;分别计算出和,再计算,得到即可判断③正确.
    【详解】解:①第一个整式为,则;①正确;
    ②第一个整式为,则,
    ∵,
    ∴,即,
    ∴,②错误;
    ③第一个整式为,则,



    ∵,
    ∴,③正确;
    故选:C.
    二、填空题(本大题12个小题,每题3分,共36分)请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.
    13. 福岛第一核电站核废水即便被海水稀释后放射量仍达到贝克勒尔,数据用科学记数法表示为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数,用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,为整数.
    【详解】解:.
    故答案为:.
    14. 一个等腰三角形的两边长为4和9,则此三角形的周长为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据腰为4或9分类求解,注意根据三角形的三边关系进行判断.
    【详解】当等腰三角形的腰为4时,三边为,三边关系不成立,
    当等腰三角形的腰为9时,三边为,三边关系成立,周长为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系定理.关键是根据已知边哪个为腰,分类讨论.
    15. 已知,则的值是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了同底数幂的乘法,根据同底数幂的乘法法则的逆用,可把变为,然后代入求值即可.
    【详解】解:∵
    ∴.
    故答案为:
    16. 北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度,设计了如下方案:首先找一根长度大于的直杆,使直杆斜靠在墙上,且顶端与点重合,记录直杆与地面的夹角;然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑,直到,标记此时直杆的底端点;最后测得,则攀岩墙的高度______.
    【答案】5
    【解析】
    【分析】此题考查了全等三角形的应用,全等三角形的性质和判定,根据题意证明出,进而得到.
    【详解】∵,



    ∵,

    ∴.
    故答案为:5.
    17. 学校“生物妙妙屋”选修课成员小南观察到某种酵母菌体积随时间变化的情况如下表:
    则酵母菌体积与时间的关系式为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了函数的表示方法,根据表格,找到y随自变量x的变化规律,写出函数的关系式,观察表格,发现:当每增大,就增大,即可求解.
    【详解】解:观察表格,发现:当每增大,就增大,
    ∴,
    故答案为:.
    18. 如图,为钝角三角形,分别过点作边上的高,已知,,,则的长为______.

    【答案】6
    【解析】
    【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长.利用三角形的面积公式求得,再利用,求解即可.
    【详解】解:∵,,且,
    ∴,
    ∵,且,
    ∴,
    解得,
    故答案为:6.
    19. 若关于的多项式化简后的结果中不含的一次项,则的值为______.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】此题主要考查了多项式乘多项式.直接利用多项式乘法结合一次项次数为零进而得出答案.
    【详解】解:

    ∵所得的结果中不含x的一次项,
    ∴,
    解得:.
    故答案为:2.
    20. 如图,在的边上截取,连接,作的角平分线交于点,若,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定,根据,平分得出,根据可得,进而即可求解.
    【详解】解:∵,平分
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,

    ∴,
    故答案为:.
    21. 近年来,越来越多的游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅,同时还会购买火锅底料作为伴手礼.洪崖洞某店推出活动:如果一次购买5包以上(不含5包)的火锅底料,超过5包的部分将打折,并依此得到付款金额(元)与购买火锅底料(包)之间的关系如图所示,那么购买18包火锅底料需要付款______元.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了一次函数的应用,待定系数法求得时的解析式,进而将代入,即可求解.
    【详解】解:设时,与的函数关系式为,
    将代入得,
    解得:

    当时,
    故答案为:.
    22. 如图,在中,,点在外,连接交于点,若,,则的度数为______°.
    【答案】##度
    【解析】
    【分析】本题考查了等边对等角,三角形内角和定理的应用,根据题意得出,设,则,表示出,根据,建立方程,解方程得出,即可求解.
    【详解】解:∵,,

    设,则
    又∵,




    解得:

    故答案为:.
    23. 如图,在中,为外一点,与交于点,过点作交延长线于点为线段上一点,连接,使.下列结论:①;②;③连接则线段关于所在直线对称;④若的面积为1,则的面积为8,其中正确的是______(只填序号)
    【答案】①②③
    【解析】
    【分析】本题考查了轴对称的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中线的性质.证明,得到,①正确;再证明,推出,②正确;证明四边形是正方形,推出③正确;求得的面积为4,推出的面积为5,说明④错误.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵,∴,
    ∴,
    ∴,①正确;
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,②正确;
    ∵,
    ∴四边形是长方形,
    ∵,
    ∴,
    ∴四边形是正方形,
    ∴线段关于所在直线对称,③正确;
    ∵,,,,
    ∴,
    ∴,,
    ∵的面积为1,
    ∴正方形的面积为4,
    ∴的面积为4,即的面积为4,
    ∴的面积为5,
    ∴的面积为5,
    ∴的面积为10,④错误,
    故答案为:①②③.
    24. 一个四位自然数,若满足千位数字与十位数之和恰好是百位数字与个位数字之和的,则称这个四位数为“2分倍数”,一个“2分倍数”,记,.若,且被5除余3,则满足条件的四位自然数的值为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】此题考查了数字类规律、因式分解,二元一次方程的解等知识,根据,得出,则,根据且被5除余3,得出能被整除,进而根据,分类讨论,即可求解.
    【详解】解:∵,这个四位数为“2分倍数”,
    ∴即







    ∴,
    ∵且被5除余3,

    即能被整除,
    ∵且为正整数,
    ∴,,
    当时,不能被整除,
    当时,不能被整除,
    当时,能被整除,

    故答案为:.
    三、计算题(本大题共5个小题,25-28题每题5分,29题8分,共28分)解答时每小题必须给出必要的演算过程,诸将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
    25. 计算:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了有理数的乘方运算,零指数幂与负整数指数幂,根据以上运算法则进行计算即可求解.
    【详解】解:

    26. 化简:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了幂的运算.根据同底数乘法、除法和积的乘方法则计算即可求解.
    【详解】解:

    27. 化简:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了整式的运算.根据多项式乘多项式,单项式乘多项式的法则化简,再合并同类项即可求解.
    【详解】解:

    28. 化简:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的计算,根据平方差公式与完全平方公式的计算,即可求解.
    【详解】解:

    29. 先化简,再求值:,其中.
    【答案】,3
    【解析】
    【分析】本题主要考查了整式的混合运算.先利用整式的混合运算将括号内的式子化简,再根据多项式除以单项式法则得出化简结果,最后再将代入进行计算即可.
    【详解】解:

    当时,
    原式.
    四、解答题(本大题5个小题,每小题10分,共50分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
    30. 如图,在中,是的角平分线,过点作射线.
    (1)用直尺和圆规完成以下基本作图:在的下方作,射线交于点.(保留作图痕迹,不写作法和结论)
    (2)在(1)所作图形中,若,求证:.(请补全下面的证明过程)
    证明:∵,

    在中,,




    是的角平分线,




    在和中,

    ( ⑤ )
    【答案】(1)见解析 (2);;;;
    【解析】
    【分析】(1)根据尺规作图-作一个角等于已知角的方法作出图形即可;
    (2)利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质求得,推出,再利用证明,即可证明.
    【小问1详解】
    解:所作图形如图所示,
    【小问2详解】
    证明:∵,

    在中,,




    是的角平分线,


    在和中,


    故答案为:;;;;.
    【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理.利用证明是解题的关键.
    31. 如图,在中,,延长至点,使,过点作,使,连接.
    (1)求证:;
    (2)若,,求的长.
    【答案】(1)见解析 (2)10
    【解析】
    【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,
    (1)首先根据题意得到,然后利用证明即可;
    (2)根据全等三角形的性质求解即可.
    【小问1详解】
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴;
    【小问2详解】
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    32. 如图1,在长方形中,为边上一点,其中.动点从开始,以的速度沿路线运动,然后以的速度沿路线运动,到点停止.图2是点出发秒后,的面积随时间变化的图象.根据图中提供的信息,回答下列问题:
    (1)________________________.
    (2)当的面积为时,求的值.
    (3)如图3,当点以的速度在上运动时,动点同时以的速度从点出发沿边运动,到点停止.当为何值时,与全等,请直接写出的值.
    【答案】(1),,
    (2)或
    (3)或
    【解析】
    【分析】本题考查了从函数图象获取信息,全等三角形的性质,三角形的面积公式;
    (1)根据函数图象分析当点运动到上时,不变化,得出,当时,点在上,得出,根据从到的运动时间为,用路程除以时间,即可求解.
    (2)分当在上时,当在上时,根据三角形的面积为得出到的距离为,即可求解.
    (3)分和根据全等三角形的性质得出线段相等,进而建立方程组,解方程组,即可求解;
    【小问1详解】
    解:依题意,,
    当点运动到上时,不变化,


    解得:
    根据图2可得,
    当时,点在上,
    ∴,
    ∵从到的运动时间为

    故答案为:,,.
    ∵四边形是长方形,

    【小问2详解】
    ∵,的面积为
    ∴到的距离为
    当在上时,,
    当在上时,

    【小问3详解】
    解:∵,
    ∴当与全等时,有两种情况,
    ①时,
    ∴解得:
    ②时,
    ∴解得:
    33. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著,他在第二卷“几何与代数”中,阐述了数与形是一家,即通过“以数解形”和“以形助数”,可以把代数公式与几何图形相互转化.
    (1)观察下列图形,将它们与下列公式对应起来.(填写对应公式的序号)
    公式①:
    公式②:
    公式③:
    公式④:
    图1对应公式______,图2对应公式______,图3对应公式______,图4对应公式______.(填序号)
    (2)如图3,若,且空白部分的面积为,求大正方形的边长的值.
    为了解决这个问题,小敏将阴影部分平移至如图5所示位置,则空白部分的面积可表示为,小敏运用“整体思想”,设,结合公式①,则可计算出的值,从而求出边长.请根据材料,帮助小敏完成后续的解答过程:
    (3)如图6,若,空白部分的面积为,且正方形与正方形的面积之和为,求正方形与正方形的面积之差.
    【答案】(1)②,③,④,①
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用.熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键.
    (1)由题意知,图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式,然后作答即可;
    (2)由,可得,,由题意知,,则,由公式①,可得,即,计算求出满足要求的解即可;
    (3)由题意知,,,可得,,整理得,则,即,根据,代值求解即可.
    【小问1详解】
    解:由题意知,图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式,
    故答案为:②,③,④,①.
    【小问2详解】
    解:∵,
    ∴,,
    由题意知,,
    ∴,
    由公式①,可得,即,

    ∴或,
    解得,或(舍去),
    ∴大正方形的边长的值为.
    【小问3详解】
    解:由题意知,,,
    ∴,
    ∴,整理得,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴正方形与正方形的面积之差为.
    34. 为等边三角形,在外作射线为射线上一点,连接,在平面内有一点,满足.
    (1)如图1,连接,若点恰好在上,且,求的度数;
    (2)如图2,连接,若,且恰好过边的中点,求证:;
    (3)如图3,若,连接,当线段的长度最小时,在射线上取一点,在边上截取,连接,则当的值最小时,请直接写出的度数.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析; (3);
    【解析】
    【分析】(1)本题考查了三角形全等和等边三角形性质,找到全等的条件是解题的关键.根据,,可知为等边三角形,利用公共角,证得,再证,得到,,由此可得度数, ,即得解;
    (2)本题考查了三角形全等和等边三角形的性质,通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键.要证,由于三边不在一条直线上,因此考虑“截长补短法”把线段进行转化.在上取点,使得,连接、、,证明,再证,最后证明为等边三角形,即得证;
    (3)本题考查了动点问题,解题的关键是首先证明点的运动轨迹,找到何时线段最短,然后构造三角形,确定何时的值最小.以为边向下作等边三角形,连接,证明,得到,即得当点在射线上运动时,点的运动轨迹是在直线上,且满足,由此得到当时,线段最短.要证明两条线段的最小值,通常利用两点之间线段最短,因此需要将其中一条线段进行转化.以点为顶点,作,且,连接,证明 ,得到,由此,只需求的值最小,由图可知当三点共线时,取得最小值,最后根据三角形内角和,求角即可;
    【小问1详解】
    解:如图,
    ,,
    为等边三角形,
    为等边三角形,










    故.
    【小问2详解】
    解:在上取点,使得,连接、、,如图所示,
    为边的中点



    ,,
    ,,





    ,,


    为等边三角形,


    故 ,
    【小问3详解】
    解:以为边向下作等边三角形,连接,如图所示,
    和都是等边三角形,

    ,,






    当点在射线上运动时,点的运动轨迹是在直线上,且满足,
    当线段长度最小时,即过点向直线作垂线,为垂足,
    即, ,
    ,,

    在中,,
    又 ,


    以点为顶点,作,且,连接,如图所示,




    连接交射线于点,中,

    当三点共线时,的值最小,如图所示,
    此时, ,
    为等腰三角形,又,

    在中,,

    在中,,

    又 (前面已证),

    在中,,
    在中,,

    故当的值最小,.
    【点睛】本题是一道有关三角形的动点问题,综合考查了三角形全等判定与性质,等边三角形性质与判定,等腰三角形的性质与判定,三角形的内角和,两点之间线段最短求最值.当看到要证明线段相等的时候,可以考虑“截长补短法”,当看到动点问题时,考虑首先证明动点的运动轨迹,当求线段的最值问题考虑利用“两点之间线段最短”的原理,其中作出恰当的辅助线,构造三角形证明全等是解决本题的关键.时间
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