19，山东省枣庄市滕州市龙泉街道滕东中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份19，山东省枣庄市滕州市龙泉街道滕东中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形.
2. 若，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次进行判断即可得，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意；
B、，则，选项说法错误，不符合题意；
C、，则，选项说法错误，不符合题意；试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。D、，则，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
3. 点P是由点Q先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度而得到的，P点坐标为（）
A. P（－6，10）B. P（－2，8）C. P（－2，2）D. P（2，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列式计算即可得解．
【详解】解：将点Q先向下平移3个单位长度，再向右平移5单位长度后得到点P，
则点P的坐标为，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4. 在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形，
故本小题不符合题意；
②，
，，，
是直角三角形，故本小题符合题意；
③设，则，
，解得，
，故本小题不符合题意；
④设，，，
则，
解得，故，
是直角三角形，故本小题符合题意；
综上所述，是直角三角形的是②④共2个．
故选：C
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
6. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
7. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 65°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC′=AC，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°－2∠ACC′=180°－2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
8. 如图，在中，，D为的中点，连接，则的度数为（ ）

A. 55°B. 20°C. 25°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的底边中线、底边上的高、顶角角平分线三线合一是解题的关键．
9. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小．
【详解】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题意可知，
∴；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知，
∴．
综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或，
故选：D．
10. 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．
11. 如图，平移后得到，若，，则平移的距离的是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平移的性质得到AD=BE，求得，即可求解本题．
【详解】解：∵平移后得到，
∴AD=BE，
∵，，
∴，
∴平移的距离是3；
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了平移的性质，灵活的应用平移的性质是解题的关键．
12. 已知点在第三象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第三象限内点的坐标的特征列不等式组求出m的范围即可.
【详解】∵点在第三象限，
由①得，
由②得，
∴m的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征及一元一次不等式组.熟练掌握平面直角坐标系中各个象限内点的特征及一元一次不等式组的解法是解题的关键.
13. 不等式组无解，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
14. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱都垂直于横梁，，则立柱_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质；由中点可得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：∵点D是斜梁的中点，
∴；
∵，
∴；
故答案为：2．
15. 如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN=45°．若 BM=1， CN=3，则 MN 的长为________ ．
【答案】．
【解析】
【分析】过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，
∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠CAN=45°．
于，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
∴MN2=BM2+NC2．
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．
16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点， ， ， ，…那么点的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，观察可得每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0依次出现，据此规律求解即可．
【详解】解：， ， ， ，…
以此类推可知，每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0依次出现，
∵，
∴的坐标为，即，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等式组：并写出它的所有正整数解．
【答案】不等式组的解集为．所有正整数解有1，2
【解析】
【详解】
由①，得．由②，得．
不等式组的解集为．所有正整数解有1，2．
18. 如图，在边长为个单位长度的正方形网格图中，将三角形经过平移后得到三角形的图形，点、、均在格点上，其中、．
（1）在网格图中画出平面直角坐标系及三角形；
（2）写出点、和的坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2），，；
（3）三角形的面积为．
【解析】
【分析】（）先利用B点坐标建立平面直角坐标系，根据点，的坐标得到平移的方向和距离，由此作图；
（）根据建立后的平面直角坐标系即可得到点的坐标；
（）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可求解；
本题考查了作图——平移变换，建立平面直角坐标系，熟练掌握平移的性质及建立平面直角坐标系的方法是解题的关键．
【小问1详解】
如图，平面直角坐标系及三角形即为所求．
【小问2详解】
由图可得，，，；
【小问3详解】
三角形的面积为．
19. 在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D；AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为 ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【答案】（1）AD＝BD；（2）BC＝6；（3）OA＝5．
【解析】
【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
∴BD＋DE＋EC＝6，即BC＝6；
（3）
∵l1是线段AB垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA＝OC，
∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，
∴OB＋OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征，余角的性质、对顶角的性质等知识点．
（1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论；
（2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再根据（1）是等腰三角形结合，设的长为x，则，由建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：，，，
，
设的长为x，则，
∵，，，
，即，
，
，
．
21. 已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【答案】（1）60°；（2）27.
【解析】
【分析】（1）先求出∠BAC＝ 60°，再用AD是△ABC的角平分线求出∠BAD，再根据垂直，即可求解；
（2）过D作DF⊥AC于F，三角形ABC的面积为三角形ABD和三角形ACD的和即可求解.
【详解】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE＋×AC×DF＝×10×3＋×8×3＝27．
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元
（2）有5种购买方案；最低费用是8440元
【解析】
【分析】（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，列出方程组，求解即可；
（2）设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据不等关系列出不等式组，求出，根据m取正整数，得出有5种购买方案，根据甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，得出当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，当时，总费用最少，求出最少费用即可．
【小问1详解】
解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元；
【小问2详解】
解：设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据题意得：
，
解得：，
∵m取正整数，
∴，，，，，
∴有5种购买方案，
∵甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，
∴当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，
∴当时，总费用最少，且最少费用为：
（元），
答：有5种购买方案；最低费用是8440元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
23. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．

【答案】（1）60°；（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.
24. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是的“伙伴角”．
（1）已知和互为“伙伴角”，且，则 ．
（2）如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D，E两点．
①若，且和互为“伙伴角”，求的度数；
②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数．
【答案】（1）或
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键．
（1）考虑两种情况，即，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；
（2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用伙伴角的概念，列方程即可解答；
②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答.
【小问1详解】
解：当时，，
，
；
当时，，
，
，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：①设的度数为，
，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
,
可得，
解得，
；
②设的度数为，
，
，
平分，
，
根据①可得，
，
当时，可得；
当时，可得；
综上所述，的度数为或.