21，2023年山东省东营市广饶县乐安街道乐安中学中考模拟预测数学模拟预测题

这是一份21，2023年山东省东营市广饶县乐安街道乐安中学中考模拟预测数学模拟预测题，共27页。试卷主要包含了 的倒数是， 下列运算正确的是， 将一副三角板， 如图，已知▱AOBC的顶点O等内容，欢迎下载使用。

（时间：110分钟；满分：120分）
一．选择题（每小题3分，计30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2023C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义．乘积等于1的两个数互为倒数．
由倒数的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂除法，二次根式的性质，实数的计算法则和二次根式的加法计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，化简二次根式，二次根式的加法，实数的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3. 下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【详解】解：第1个是轴对称图形，符合题意；
第2个是轴对称图形，符合题意；
第3个不是轴对称图形，不合题意；
第4个是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
4. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，，可得，再由，可求，最后利用三角形的内角和即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
5. 某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛，设有支球队，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有支球队，根据题意每两队之间都赛2场（双循环）,每支球队比赛场，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设有支球队，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. 如图是一个几何体三视图，主视图和左视图均是面积为的等腰三角形，俯视图是直径为的圆，则这个几何体的全面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】这个几何体有两个视图为三角形，那么可得是锥体，第个视图是圆，那么这个几何体是圆锥，根据主视图和左视图面积均是的等腰三角形，可以求出三角形的高为，也就是锥体的高为，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后根据全面积＝侧面积＋底面积计算即可．
【详解】解：过作于点，
∵这个几何体有两个视图为等腰三角形，俯视图是直径为的圆，
∴这个几何体是圆锥，底面直径是，半径为，
∵主视图和左视图面积均是的等腰三角形，
∴等腰三角形的底边为，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥的全面积为：．
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥表面积的计算及由三视图判断几何体；判断出几何体的形状及相关数据是解题的关键．注意：圆锥的表面积等于圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，圆锥的侧面积等于圆锥侧面展开图即扇形的面积．也考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．
7. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OPMO=ab，
∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选B．
【点睛】本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．
8. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A. （﹣1，2）B. （，2）
C. （3﹣，2）D. （﹣2，2）
【答案】A
【解析】
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）．
【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M，
∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），
∴AH=2，HO=1，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴MG=-1，
∴G（-1，2），
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
9. 如图，中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为 x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】当时，即点P在点B时，；再根据题意得，然后根据勾股定理求出的值，从而得解．
【详解】解：由函数图像知，当时，即点P在点B时，，
根据三角形两边之差小于第三边，得，
当点P在点E时，取最大值，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
，即，
，
或（不符合题意，舍去）
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确读懂函数图象、熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理是解答此题的关键．
10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF2+BE2=EF2；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】解：
①∵在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1
∴AB=（所以①正确）
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠BDE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴，
∴AF•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴，
即，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，
故④正确．
故选C．
二．填空题（11－14小题，每小题3分，15－18小题，每小题4分，计28分）
11. 冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝米，110纳米用科学记数法表示________．
【答案】米##
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：110纳米= 米=米．
故答案为：米．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键．
13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为________．
【答案】165
【解析】
【分析】根据中位数的定义，结合图表信息解答即可．
【详解】解：由题意可知一共有2+4+3+2+3+1=15名运动员，把15名运动员的成绩按照从低到高排列，第8名运动员的成绩是165cm，
∴中位数是165．
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数．
14. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案．
【详解】解：，以原点O为位似中心，相似比为，
对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，
的坐标是或，
故答案为：或．
15. 若关于x的分式方程有增根，则____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程 ，利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，整理得：，
∵关于x的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：3．
16. 如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线、与地面的夹角分别为和，该大灯照亮地面的宽度的长为米，则该大灯距地面的高度约为______．（参考数据：，，，）
【答案】1米
【解析】
【分析】过点作，垂足为，设米，则米，然后在中，利用锐角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
米，
该大灯距地面的高度约为米．
故答案为：米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值．
【详解】，点为的中点，
，
∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点 连接 ，
，
∴当共线时，的值最小，
，
，
∴，
，
的最小值为
故答案为：
18. 在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
【答案】2022
【解析】
【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
三．解答题（62分）
19. 计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）13 （2）
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值、解一元二次方程、实数的运算、负整数指数幂、及特殊角三角函数值、绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算绝对值、锐角三角函数、负整数指数幂，再进行加减计算即可；
（2）先利用分式的性质进行化简，再解一元二次方程求出x的值，再代入分式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
解方程得，，
∵时，分式无意义
∴，
当时，原式．
20. 如今很多初中生喜欢购买饮品引用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：白开水，B：瓶装矿泉水，C：碳酸饮料，D：非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班级有______名同学；请补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），求该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
（3）在饮用白开水的同学中有4名班委干部（其中有两名是班长），为了养成良好的生活习惯，班主任决定在这4名班委干部中随机抽取2名作为良好习惯监督员，则恰好抽到2名班长的概率是______．
【答案】（1）50 （2）2.2
（3）
【解析】
【分析】（1）结合条形图和扇形统计图数据，用B种人数除以B种人数的占比即可求出总人数，利用总人数即可求出C种的人数，再补全条形图即可；
（2）根据（1）的结果，求出总的费用再除以总人数即可求解；
（3）采用列表法即可求解．
【小问1详解】
总人数：15÷30%=50（人），
C种的人数为：50-（10+15+5）=20（人），
条形图如下：
【小问2详解】
每天用于饮品的人均花费是：（元），
即：人均花费2.2元；
【小问3详解】
分别用1、2表示两名班长，3、4表示另外两名班委，采用列表法列表如下：
由上表可知总的可能情况有12种，同时抽到两位班长的情况有2种，
则同时抽到两位班长的概率为：．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用、采用列举法求解概率等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
21. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，
（1）求证：PB是⊙O切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2.
【解析】
【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．
考点：切线的判定
22. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.
（1）求和的值；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接，求的面积.
【答案】（1）；；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点代入到正比例函数的图象上，求出值；再把点代入到反比例函数中，求出的值；
（2）求不等式的解集，就是正比例函数图象中反比例函数图象下方时的取值范围；
（3）过点作轴，垂足为，利用勾股定理求出，根据菱形的性质求出菱形的面积，进而求出的面积．
【小问1详解】
点在正比例函数的图象上，
，
∴点，
点在正比例函数的图象上，
；
【小问2详解】
正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.
，
由图象可知，当或时，，即，
不等式的解集是或．
【小问3详解】
如图，过点作轴，垂足为，
，
，，
轴
，
四边形是菱形，
，，
．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数图象的交点问题，正比例函数和反比例函数的解析式，正比例函数图象的点的坐标特征，三角形和菱形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解本题的关键．
23. 某校为改善办学条件，计划购进两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种方式，具体情况如下表：
（Ⅰ）如果在线下购买两种书架20个，共花费5520元，求两种书架各购买了多少个；
（Ⅱ）如果在线上购买两种书架20个，共花费W元，设其中种书架购买个，求W关于的函数关系式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照该购买方案线上比线下节约多少钱.
【答案】（Ⅰ）购买A种书架8个，B种书架12个；（Ⅱ）W=-50m+5600，（Ⅲ）线上比线下节约340元．
【解析】
【分析】（Ⅰ）设购买A种书架x个，则购买B种书架（20-x）个，根据买两种书架共花费5520元，列方程求解即可；
（Ⅱ）W=买A种书架的花费+买B种书架的花费+运费，列式即可；
（Ⅲ）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出m的取值范围，再根据第（Ⅱ）小题的函数关系式，求出W的最小值即线上的花费，在求出线下需要的花费即可．
【详解】解：（Ⅰ）设购买A种书架x个，则购买B种书架（20-x）个，
根据题意，得：240x+300（20-x）=5520，
解得：x=8，
∴20-8=12，
答：购买A种书架8个，B种书架12个；
（Ⅱ）根据题意，得：
W=210m+250（20-m）+20m+30（20-m）=-50m+5600，
（Ⅲ）根据题意，得：20-m≥2m，
解得：m≤，
∵-50＜0，
∴v随m的增大而减小，
∴当m=6时，W最小为-300+5600=5300，
线下购买时的花费为：240×6+300×14=5640，
5640-5300=340（元），
∴线上比线下节约340元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第（3）小题的关键是能根据函数的增减性，求出W的最小值．
24. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
25. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明；
（2）基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长；
（3）拓展升华：如图4，中， ，，为的角平分线，的中垂线交延长线于F，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质易证，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证；
（2）由折叠的性质得出，，由（1）知，，由勾股定理求出的值即可得出答案；
（3）根据可得，从而求得，再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案．
【小问1详解】
证明：
，
是的角平分线
又，
【小问2详解】
将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处
，
由（1）知，
，
小问3详解】
为的角平分线，
，
，，
的中垂线交延长线于F，
，
又
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、角平分线、中垂线、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4
规格
线下
线上
单价（元/个）
运费（元/个）
单价（元/个）
运费（元/个）
A
240
0
210
20
B
300
0
250
30