26，山东省济宁市嘉祥县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份26，山东省济宁市嘉祥县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若有意义，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，则的值可以是
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 如图，在中，，若，，则的长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意得：．
故选；B．
3. 正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。C. 对角线互相垂直D. 对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质等知识点，牢记正方形、矩形、菱形的性质成为解题的关键．
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质逐项分析即可解答．
【详解】解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确．
故选A．
4. 估计的值应在 （ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
5. 如图，在矩形中，R，P分别是，上点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ）
A. 线段的长逐渐增大B. 线段的长逐渐减小
C. 线段的长不变D. 线段的长先增大后减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质、勾股定理，连接，由三角形中位线定理可得，由矩形的性质结合勾股定理可得，由点保持不动可得长度不变，从而可得线段的长不变，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
四边形为矩形，
，
，
点保持不动，
的长度始终不变，
的长不变，
故选：C．
6. 如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正方形性质得，结合等腰三角形的性质得，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则的值是（ ）．
A. 25B. 17C. 29D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股弦图、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
由题意可得：、，然后根据完全平方公式变形即可解答．
【详解】解：由勾股定理、正方形的性质以及图形可得大正方形的面积为：；
小正方形的面积为：，
∴，即，解得：，
∴．
故选C．
8. 如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A. 20cmB. 24cmC. 14cmD. 10cm
【答案】D
【解析】
【分析】将圆柱展开，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将圆柱展开：
∵圆柱高8cm，底面周长为12cm，
∴BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝＝10（cm），
即爬行的最短路程是10cm，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
9. 如图，在菱形中，，，连接对角线交于点，是的三等分点，是的中点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，利用直角三角形的性质和勾股定理可求出，进而得到，即可根据三等分点和中点的定义求出，利用勾股定理即可求出的长，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵是的三等分点，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（ ）．
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据的面积始终等于长方形面积的四分之一，得到点在的垂直平分线上运动，连接，，，根据垂直平分线性质和两点之间，线段最短，得到，利用勾股定理算出，即可解题．
【详解】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一，
记点到的高为，又，
，
有，整理得，即点在的垂直平分线上运动，
连接，，，
点在的垂直平分线上运动，
，，
要最小，即最小，
当、、三点共线时，取得最小值为的长，
的最小值为10，即，
，
的面积是．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线性质、两点之间，线段最短、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同类二次根式才能合并列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
故答案为：；
【点睛】本题考查最简二次根式及同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并是同类二次根式．
12. 如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________
【答案】21
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查平行四边形性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
13. 在中，测得，，，则边上的高为________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．
【详解】解：如图，
，，
，
∴三角形是直角三角形．根据面积法求，
．
故答案为：．
14. 如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为__________．

【答案】1
【解析】
【分析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出，，再由等角对等边得出，从而求出的长．
【详解】∵中，，，
∴，，，
∴，，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出，是解决问题的关键．
15. 四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形；
②若，则四边形一定是菱形；
③若，则四边形一定是矩形；
④若四边形是菱形，则四边形也是菱形．
所有正确推断的序号是_____________．
【答案】②③
【解析】
【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．
【详解】解：点，，，分别为边， ，，的中点，
且，且，
且，
是平行四边形，
故①错误；
点，，，分别为边， ，，的中点，
，，
，
，
是平行四边形，
四边形是菱形，
故②正确；
点，，，分别为边， ，，的中点，
，，
，
，
，
是平行四边形，
是矩形，
故③正确；
若要四边形是菱形，需满足,
当四边形是菱形，不一定等于，
故④错误；
综上，正确的有：②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7个小题，共55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、乘法分式等知识点，掌握二次根式的运算法则成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先运用乘法公式及二次根式的乘法法则进行计算，然后再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，每个小正方形的边长是1，
①在图①中画出一个斜边是的直角三角形；
②在图②中画出一个面积是8正方形．
【答案】①见解析；②见解析
【解析】
【分析】①利用数形结合的思想画出直角三角形即可．
②利用数形结合的思想画出边长为2的正方形即可．
【详解】解：①如图①中，△ABC即为所求．
②如图②中，正方形ABCD即为所求．
【点睛】此题考查了勾股定理和网格的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理和网格的性质．
18. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．
19. 如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．
20. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
（1）代数式中x的取值范围是______；
（2）已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
【答案】（1）；
（2）①2；②．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；
（2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可．
【小问1详解】
解：，解得：，
∴x取值范围为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：①∵，
∴．
故答案为：2．
②由题意可得：，则，解得：，
经检验，是方程的根．
∴方程的解为．
21. 如图，在矩形中，的垂直平分线分别交于，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得结论；
（2）利用菱形的性质与勾股定理求解，再求解面积即可．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，是的中点，
，
，
又，
在和中，
，
，且
四边形是平行四边形，
垂直平分
四边形是菱形；
【小问2详解】
四边形是菱形
，
在中，，
，
四边形的面积．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°或AB＝BC，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得AE＝AB，CF＝CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC＝AC，E为AB中点，得CE⊥AB，故四边形AECF是矩形；
（2）当∠B＝45°时，可证∠BAC＝90°，由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形；当AB＝BC时，由BC＝AC，AB＝BC，可证得AC2+BC2＝AB2，△ACB为直角三角形，再由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形；
（3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称得此时PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股定理求出FM即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵BC＝AC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形；
（2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形，
理由：∵BC＝AC，∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EC＝AB＝AE，
∴矩形AECF为正方形，
或②当AB＝BC时，矩形AECF为正方形，
理由：∵BC＝AC，AB＝BC，
∴AC2+BC2＝2BC2，
AB2＝（BC）2＝2BC2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴EC＝AB＝AE，
∴矩形AECF为正方形；
（3）解：连接EF，连接FM交AC于P，
∵四边形AECF为正方形，
∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM，
在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4，
∴FM＝
∴PE+PM最小值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.