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2024年江西省吉安市 吉安县城北中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）
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▶中考全部内容◀
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 在下列四个实数中，比2大的无理数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数定义，实数的大小比较，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数以及实数大小比较方法，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数、有规律但是不循环的数．
【详解】解：A、3是有理数，不符合题意；
B、∵，，∴，符合题意；
C、∵，，∴，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
2. 下列式子中，有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考差了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，0次幂有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0；0次幂底数不能为0．据此逐个判断即可．
【详解】解：当时，，
当时，有意义，符合题意，
当时，、、无意义，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的左视图．熟练掌握从左边看到的是左视图，看得到的是实线，看不到的是虚线是解题的关键．
根据从左边看到的是左视图进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，该几何体的左视图如下；
故选：C．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了积乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．先计算积的乘方，再利用同底数幂的除法计算即可求解．
【详解】解：
原式
故选：D．
5. 某数学小组利用所学知识进行探究：如图所示的木板余料可以看作是由一个边长为30的正方形和一个边长为40的正方形组成的，小组的同学们打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它面积相等的正方形木板．
甲、乙两同学给出两种不同的方案，则下列判断正确的是（ ）
A. 甲正确，乙也正确B. 甲正确，乙不正确
C. 甲不正确，乙正确D. 甲不正确，乙也不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的面积，拼图问题，根据性质拼图计算是解题的关键．
【详解】如解图，木板余料的面积为2500，
若围成等面积的正方形，边长需为50，如图所示，
显然甲、乙方案都符合这一要求，
故选A．
6. 抛物线的与的部分对应值如下表：
则下列判断错误的是（ ）
A. 该抛物线的开口向下B. 当时，随的增大而减小
C. D. 该抛物线与轴只有一个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先根据当和当时的函数值相同，得到对称轴为直线，则由对称性可得，当时，，据此可判断D；再由增减性即可判定A、B；根据当时，，即可判断C．
【详解】解：∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴由对称性可得，当时，，
∴抛物线与轴有两个交点，故D说法错误，符合题意；
∵且，
∴在对称轴左侧y随x增大而增大，
∴抛物线开口向下，故A说法正确，不符合题意
∴当时，随的增大而减小，，故B说法正确，不符合题意
∴当时，，故C说法正确，不符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
提取公因式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 江西推进特色装备制造业发展，到2026年，全省装备制造业产业链营业收入力争达到8000亿元，数据“8000亿”用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】解：∵亿，
故答案为：．
9. 如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理，计算即可，本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】根据题意，得
，
故，
，
解得，
故答案为：3．
10. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为______尺．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式．
根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可．
【详解】解：（尺）
故答案为：．
11. 小亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置15克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是______克．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
设该药品质量为x克，根据“”得“”，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设该药品质量为x克，
由题意可得： ，
解得．
故答案为：5．
12. 如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】3或6或7
【解析】
【分析】分，，三种情况计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键．
【详解】∵在中，，，，
∴，，
过点A作于点M，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，．
①如图1，当时，
则，
∴，
∴．
在中，
，
∴，
∴，
∴
②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
∴，
∴，，．
设，则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∴，
∴；
③如图3，当时，
在中，，
∴，
∴．
综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13 （1）计算：．
（2）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，求证：．
【答案】（1）；（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知负指数幂、特殊角的三角函数值、以及菱形的性质和全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）分别根据负指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数运算法则即可求解．
（2）根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答．
【详解】解：（1）
原式，
．
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
14. 小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
（1）小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）配方；三
（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
【小问2详解】
原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
15. 驾驶员理论考试中，常遇到4选2的多选题．如：驾驶机动车遇到如图这种情况时，正确的做法是“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”．现制作4张形状大小完全相同的卡片，其中每张卡片的正面分别写有“停车等待动物穿过”“鸣喇叭驱赶动物”“下车驱赶动物”“与动物保持较远距离”，洗匀后背面朝上．
（1）随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是______；
（2）一次性抽取2张卡片，卡片恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况．
（1）利用简单概率公式计算即可；
（2）通过画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：一共有4张卡片，随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是，
故答案为； ；
【小问2详解】
解：记“停车等待动物穿过”的卡片为A，“鸣喇叭驱赶动物”的卡片为B，“下车驱赶动物”的卡片为C，“与动物保持较远距离”的卡片为D，则画树状图如解图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，
其中恰为“停车等待动物穿过”A和“与动物保持较远距离”D卡片的结果有2种，
∴P（恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”）
16. 如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的中点．
（2）在图2中作点，使得
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求．
（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即所求．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
故作直线，交于点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即P为的中点，
则点P即为所求．
【小问2详解】
连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，
则点N即为所求．
17. 如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若是轴正半轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】（1）（），
（2）
【解析】
【分析】(1)根据反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点．确定，，代入解析式计算即可．
(2) 设点P，直线与轴交于点．利用，列式计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义，是解题的关键．
【小问1详解】
∵，两点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为（），
∴．
∵一次函数的图象经过，两点，
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
如图，设点的坐标为（），直线与轴交于点．
∵一次函数的解析式为，
∴点的坐标为，
∴．
∵，
，
∴，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴点的坐标为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天．
（1）甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？
（2）已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？
【答案】（1）甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米
（2）最多安排乙工程队工作60天
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出分式方程以及找数量关系列一元一次不等式是解题的关键．
（1）设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米，根据“乙工程队比甲工程队单独完成节省17天”，即可列出分式方程．
（2）设安排乙工程队工作a天，则甲工程队工作天，根据“总费用不能超过800万元”即可列出一元一次不等式．
【小问1详解】
解：设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米．
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际，
∴．
答：甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米．
【小问2详解】
设安排乙工程队工作a天．
由题意得，
解得．
答：最多安排乙工程队工作60天．
19. 如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径．
（2）在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
【答案】（1）主桥拱所在圆的半径长为5米
（2）此时水面的宽度约为9米
【解析】
【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
【小问2详解】
（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
20. 2024年4月23日是第29个世界读书日，为增强学生阅读意识，积极营造浓厚的书香校园氛围，某校全体学生在4月份开展了读书月活动，活动结束后，校团委随机调查了部分学生在读书月活动的阅读量（单位：本）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______，图1中的值为______，的值为______；
（2）求统计的这组阅读量数据的平均数、众数和中位数．
（3）已知该校有1500名学生，请估计该校学生中，在读书月活动的阅读量不少于“3本”的学生共有多少人．
【答案】（1）40，25,54
（2）3本；3本；本
（3）1125人
【解析】
【分析】（1）利用3本的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用扇形的知识计算求解可得到结论；
（2）利用中位数，平均数，众数的定义计算即可；
(3)利用样本估计总体的思想计算即可．
此题考查了扇形统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握三数的计算是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，得（人），
根据题意，得，
解得；
，
解得；
故答案为：40，25,54．
【小问2详解】
∵1本4人，2本6人，3本12人，4本10人，5本8人，
∴众数是3本，
中位数是本，
平均数是本，
故答案为：
【小问3详解】
根据题意，得（人），
答：大约有1125人．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 两个以点O为圆心的半圆如图放置，AB、CD分别是直径，点E为大半圆上异于C的一点，连接OE交小半圆于点F，点P为CE上异于C、E的一点，连接OP交CE于点H，交AF于点G．
（1）①求证：AFCE；
②若＝，求；
（2）若＝2，且大半圆的直径CD＝4，点P为CE上异于C、E的动点，当阴影部分面积最小时，直接写出的长为 ．
【答案】（1）①见解析②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据已知条件证明得出∠OAF＝∠OCE，即可判断AFCE；
②由AFCE，得出△AOG∽△COH，＝，同理：＝，则＝，结合已知条件即可求解；
（2）根据已知条件求得，根据，可知的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小，当时，当最小时，最大，此时证明是等边三角形，可得，根据弧长公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
证明①∵∠AOF＝∠COE，AO＝FO，CO＝EO，
∴，
∴，
∴∠OAF＝∠OCE，∴AFCE；
②∵AFCE，
∴△AOG∽△COH，
∴＝，
同理：＝，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝；
【小问2详解】
∵＝2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小，
∴当时，当最小时，最大，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴,
∴,
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 课本再现
定义应用
（1）如图，已知：在四边形中，，
用矩形的定义求证：四边形是矩形．
（2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形．
拓展延伸
（3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形；
（）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形；
（）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
证明：∵E 是 的中点，
∴
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
由折叠易知，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当时，，
∴，不符合题意，
综上所述，符合题意的．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：和：的开口都向上，，与轴相交于点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，点在线段上（点不与点重合）．抛物线的顶点为，抛物线的顶点为．
（1）若，求点的坐标．
（2）若为等腰直角三角形
①求的值；
②为的中点，当时，求的值．
（3）请判断点，点，点是否在同一条直线上，若是，请求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）是，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质．
（1）先得出当时，抛物线的解析式，将其化为顶点式，即可解答；
（2）①先求出，再求出时x的值，得出，根据等腰三角形的定义得出，即可解答；②如图，过点作，垂足为，根据平行线的性质得出，则， 将抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的顶点的坐标为，进而得出，，即可列出方程求解；
（3）点，点，点在同一条直线上．将抛物线的解析式化为，设点的横坐标为，纵坐标为，得出，，则．即可推出点，点都在直线．令，得，则点在直线上，即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，抛物线的解析式为，
∴点的坐标为．
【小问2详解】
解：①在中，令，得，
∴；
令，得，
解得，，
∴．
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得．
②如图，过点作，垂足为，
∴．
∵，，
∴，
∴．
由①得，且是的中点，
∴．
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∴，．
∵，
∴，
解得．
【小问3详解】
解：点，点，点在同一条直线上．
∵，
∴
∴设点的横坐标为，纵坐标为，
∴，，
∴．
∵
∴点，点都在直线．
令，得，
∴点在直线上，
∴点，点，点在同一条直线上，该直线的解析式为．…
0
…
…
0
3
3
…
解：原方程可变形为，（第一步）
∴，（第二步）
∴，（第三步）
∴，（第四步）
∴，（第五步）
∴，．（第六步）
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形．
▶中考全部内容◀
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 在下列四个实数中，比2大的无理数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数定义，实数的大小比较，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数以及实数大小比较方法，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数、有规律但是不循环的数．
【详解】解：A、3是有理数，不符合题意；
B、∵，，∴，符合题意；
C、∵，，∴，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
2. 下列式子中，有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考差了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，0次幂有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0；0次幂底数不能为0．据此逐个判断即可．
【详解】解：当时，，
当时，有意义，符合题意，
当时，、、无意义，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的左视图．熟练掌握从左边看到的是左视图，看得到的是实线，看不到的是虚线是解题的关键．
根据从左边看到的是左视图进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，该几何体的左视图如下；
故选：C．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了积乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．先计算积的乘方，再利用同底数幂的除法计算即可求解．
【详解】解：
原式
故选：D．
5. 某数学小组利用所学知识进行探究：如图所示的木板余料可以看作是由一个边长为30的正方形和一个边长为40的正方形组成的，小组的同学们打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它面积相等的正方形木板．
甲、乙两同学给出两种不同的方案，则下列判断正确的是（ ）
A. 甲正确，乙也正确B. 甲正确，乙不正确
C. 甲不正确，乙正确D. 甲不正确，乙也不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的面积，拼图问题，根据性质拼图计算是解题的关键．
【详解】如解图，木板余料的面积为2500，
若围成等面积的正方形，边长需为50，如图所示，
显然甲、乙方案都符合这一要求，
故选A．
6. 抛物线的与的部分对应值如下表：
则下列判断错误的是（ ）
A. 该抛物线的开口向下B. 当时，随的增大而减小
C. D. 该抛物线与轴只有一个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先根据当和当时的函数值相同，得到对称轴为直线，则由对称性可得，当时，，据此可判断D；再由增减性即可判定A、B；根据当时，，即可判断C．
【详解】解：∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴由对称性可得，当时，，
∴抛物线与轴有两个交点，故D说法错误，符合题意；
∵且，
∴在对称轴左侧y随x增大而增大，
∴抛物线开口向下，故A说法正确，不符合题意
∴当时，随的增大而减小，，故B说法正确，不符合题意
∴当时，，故C说法正确，不符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
提取公因式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 江西推进特色装备制造业发展，到2026年，全省装备制造业产业链营业收入力争达到8000亿元，数据“8000亿”用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】解：∵亿，
故答案为：．
9. 如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理，计算即可，本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】根据题意，得
，
故，
，
解得，
故答案为：3．
10. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为______尺．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式．
根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可．
【详解】解：（尺）
故答案为：．
11. 小亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置15克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是______克．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
设该药品质量为x克，根据“”得“”，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设该药品质量为x克，
由题意可得： ，
解得．
故答案为：5．
12. 如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】3或6或7
【解析】
【分析】分，，三种情况计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键．
【详解】∵在中，，，，
∴，，
过点A作于点M，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，．
①如图1，当时，
则，
∴，
∴．
在中，
，
∴，
∴，
∴
②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
∴，
∴，，．
设，则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∴，
∴；
③如图3，当时，
在中，，
∴，
∴．
综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13 （1）计算：．
（2）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，求证：．
【答案】（1）；（2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知负指数幂、特殊角的三角函数值、以及菱形的性质和全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）分别根据负指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数运算法则即可求解．
（2）根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答．
【详解】解：（1）
原式，
．
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
14. 小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
（1）小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）配方；三
（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
【小问2详解】
原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
15. 驾驶员理论考试中，常遇到4选2的多选题．如：驾驶机动车遇到如图这种情况时，正确的做法是“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”．现制作4张形状大小完全相同的卡片，其中每张卡片的正面分别写有“停车等待动物穿过”“鸣喇叭驱赶动物”“下车驱赶动物”“与动物保持较远距离”，洗匀后背面朝上．
（1）随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是______；
（2）一次性抽取2张卡片，卡片恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况．
（1）利用简单概率公式计算即可；
（2）通过画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：一共有4张卡片，随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是，
故答案为； ；
【小问2详解】
解：记“停车等待动物穿过”的卡片为A，“鸣喇叭驱赶动物”的卡片为B，“下车驱赶动物”的卡片为C，“与动物保持较远距离”的卡片为D，则画树状图如解图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，
其中恰为“停车等待动物穿过”A和“与动物保持较远距离”D卡片的结果有2种，
∴P（恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”）
16. 如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的中点．
（2）在图2中作点，使得
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求．
（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即所求．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
故作直线，交于点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即P为的中点，
则点P即为所求．
【小问2详解】
连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，
则点N即为所求．
17. 如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若是轴正半轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】（1）（），
（2）
【解析】
【分析】(1)根据反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于、两点．确定，，代入解析式计算即可．
(2) 设点P，直线与轴交于点．利用，列式计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义，是解题的关键．
【小问1详解】
∵，两点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为（），
∴．
∵一次函数的图象经过，两点，
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
如图，设点的坐标为（），直线与轴交于点．
∵一次函数的解析式为，
∴点的坐标为，
∴．
∵，
，
∴，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴点的坐标为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天．
（1）甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？
（2）已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？
【答案】（1）甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米
（2）最多安排乙工程队工作60天
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出分式方程以及找数量关系列一元一次不等式是解题的关键．
（1）设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米，根据“乙工程队比甲工程队单独完成节省17天”，即可列出分式方程．
（2）设安排乙工程队工作a天，则甲工程队工作天，根据“总费用不能超过800万元”即可列出一元一次不等式．
【小问1详解】
解：设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米．
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际，
∴．
答：甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米．
【小问2详解】
设安排乙工程队工作a天．
由题意得，
解得．
答：最多安排乙工程队工作60天．
19. 如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径．
（2）在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
【答案】（1）主桥拱所在圆的半径长为5米
（2）此时水面的宽度约为9米
【解析】
【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
【小问2详解】
（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
20. 2024年4月23日是第29个世界读书日，为增强学生阅读意识，积极营造浓厚的书香校园氛围，某校全体学生在4月份开展了读书月活动，活动结束后，校团委随机调查了部分学生在读书月活动的阅读量（单位：本）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______，图1中的值为______，的值为______；
（2）求统计的这组阅读量数据的平均数、众数和中位数．
（3）已知该校有1500名学生，请估计该校学生中，在读书月活动的阅读量不少于“3本”的学生共有多少人．
【答案】（1）40，25,54
（2）3本；3本；本
（3）1125人
【解析】
【分析】（1）利用3本的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用扇形的知识计算求解可得到结论；
（2）利用中位数，平均数，众数的定义计算即可；
(3)利用样本估计总体的思想计算即可．
此题考查了扇形统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握三数的计算是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，得（人），
根据题意，得，
解得；
，
解得；
故答案为：40，25,54．
【小问2详解】
∵1本4人，2本6人，3本12人，4本10人，5本8人，
∴众数是3本，
中位数是本，
平均数是本，
故答案为：
【小问3详解】
根据题意，得（人），
答：大约有1125人．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 两个以点O为圆心的半圆如图放置，AB、CD分别是直径，点E为大半圆上异于C的一点，连接OE交小半圆于点F，点P为CE上异于C、E的一点，连接OP交CE于点H，交AF于点G．
（1）①求证：AFCE；
②若＝，求；
（2）若＝2，且大半圆的直径CD＝4，点P为CE上异于C、E的动点，当阴影部分面积最小时，直接写出的长为 ．
【答案】（1）①见解析②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据已知条件证明得出∠OAF＝∠OCE，即可判断AFCE；
②由AFCE，得出△AOG∽△COH，＝，同理：＝，则＝，结合已知条件即可求解；
（2）根据已知条件求得，根据，可知的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小，当时，当最小时，最大，此时证明是等边三角形，可得，根据弧长公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
证明①∵∠AOF＝∠COE，AO＝FO，CO＝EO，
∴，
∴，
∴∠OAF＝∠OCE，∴AFCE；
②∵AFCE，
∴△AOG∽△COH，
∴＝，
同理：＝，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝；
【小问2详解】
∵＝2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小，
∴当时，当最小时，最大，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴,
∴,
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 课本再现
定义应用
（1）如图，已知：在四边形中，，
用矩形的定义求证：四边形是矩形．
（2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形．
拓展延伸
（3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形；
（）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形；
（）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
证明：∵E 是 的中点，
∴
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
由折叠易知，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当时，，
∴，不符合题意，
综上所述，符合题意的．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：和：的开口都向上，，与轴相交于点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，点在线段上（点不与点重合）．抛物线的顶点为，抛物线的顶点为．
（1）若，求点的坐标．
（2）若为等腰直角三角形
①求的值；
②为的中点，当时，求的值．
（3）请判断点，点，点是否在同一条直线上，若是，请求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）是，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质．
（1）先得出当时，抛物线的解析式，将其化为顶点式，即可解答；
（2）①先求出，再求出时x的值，得出，根据等腰三角形的定义得出，即可解答；②如图，过点作，垂足为，根据平行线的性质得出，则， 将抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的顶点的坐标为，进而得出，，即可列出方程求解；
（3）点，点，点在同一条直线上．将抛物线的解析式化为，设点的横坐标为，纵坐标为，得出，，则．即可推出点，点都在直线．令，得，则点在直线上，即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，抛物线的解析式为，
∴点的坐标为．
【小问2详解】
解：①在中，令，得，
∴；
令，得，
解得，，
∴．
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得．
②如图，过点作，垂足为，
∴．
∵，，
∴，
∴．
由①得，且是的中点，
∴．
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∴，．
∵，
∴，
解得．
【小问3详解】
解：点，点，点在同一条直线上．
∵，
∴
∴设点的横坐标为，纵坐标为，
∴，，
∴．
∵
∴点，点都在直线．
令，得，
∴点在直线上，
∴点，点，点在同一条直线上，该直线的解析式为．…
0
…
…
0
3
3
…
解：原方程可变形为，（第一步）
∴，（第二步）
∴，（第三步）
∴，（第四步）
∴，（第五步）
∴，．（第六步）
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形．
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