北京市第十八中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各组数中，能构成直角三角形是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，2C. 3，，5D. 5，12，13
4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）
A. B. 3C. D. 2
6. 下列命题正确的是（ ）．
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 四边形的对角线，交于点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；
②若四边形是平行四边形，则与交于点O；
③若四边形矩形，则四边形也是矩形；
④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．
所有正确推断序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
二、填空题（本题共24分,每小题3分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ___________．
10. 计算：已知，，则__________．
11. 如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为_____．
12. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
13. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则________．
14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则_____．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为__________．
16. 将一张长与宽之比为的矩形纸片进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是（每一次的折痕如图中的虚线所示），则第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ____________________；第2024次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ____________________．
三、解答题（本题共60分.第17、18、20、23题，每小题5分，第19、21题每小题5分；第22、24、25题，每小题5分；第26、27题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 计算：．
19. 计算：．
20. 已知，求代数式的值．
21. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知∶如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，O为AC的中点．

求作∶四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法∶①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明∶∴点O为AC的中点，
∴AO=CO．
又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据)．
22. 如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．
23. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
（1）在图中，画一个格点三角形，使得，；；
（2）在（1）的条件下，直接写出边上的高的值．
24. 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．
小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ；
（2）小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．
请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图，在筝形中，，，
求证： ．
证明：
（3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可） ．
25. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．
26. 已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．
27. 在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．
（1）如图2，点B坐标为（0，b）．
①若b=4，则点A，B的“相关矩形”的面积是______；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为______．
（2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．