广东省广州市花都区和兴学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 第届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此作答即可．
【详解】解：A、不属于轴对称图形，故该选项是错误的；
B、属于轴对称图形，故该选项是正确的；
C、不属于轴对称图形，故该选项是错误的；
D、不属于轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：B．
2. 在下列各命题中，是假命题的是（ ）
A. 在一个三角形中，等边对等角B. 全等三角形的对应边相等
C. 同旁内角相等，两直线平行D. 等角的补角相等
【答案】C
【解析】
【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．
【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A不符合题意；
全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C符合题意；
等角的补角相等，正确，是真命题，则D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．
3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠A＋40°，则∠A的度数为（ ）
A. 60°B. 70°C. 80°D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】先证明再结合∠B＝∠A＋40°，从而可得答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴

∵∠B＝∠A＋40°，

∴
故选B.
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质，熟练的利用平行四边形的性质求解内角的大小是解本题的关键．
4. 满足下列条件时，不是直角三角形的为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质，三边符合勾股定理，三角之和为，还有三角函数的关系式计算即可.
【详解】解：A、∵，∴是直角三角形，错误；
B、∵，∴是直角三角形，错误；
C、∵，∴，∴不是直角三角形，正确；
D、∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键在于是否有一个角为，还有一些特殊的三角函数的值得记忆.
5. 如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出代表数轴上两个单位长度，求出线段中点对应直尺处，再求线段中点对应的数即可．
【详解】解：∵点A、分别在直尺的，处，点A对应，直尺的0刻度位置对应，
∴代表数轴上两个单位长度，
∴线段中点对应直尺处，
∴线段中点对应的数为：
故选：A．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意是解题关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. x+x=x2B. x•x=2x
C. （x2）3=x5D. x3÷x=x2
【答案】D
【解析】
【详解】A、x+x=2x，选项错误；
B、x•x=x2，选项错误；
C、（x2）3=x6，选项错误；
D、正确．
故选D．
7. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A. 1B. -1C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
8. 如图，点是⊙的弦上一点．若，，的弦心距为，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，根据垂径定理得出，继而得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，，的弦心距为，
∴,，，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9. 在中，，，，则（ ）
A. 12B. 14C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由锐角的正弦定义求出的长．
过作于，由锐角的正弦定义求出，由勾股定理求出，由，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的长．
【详解】解：过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第2023秒时叶片尖点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标．
【详解】解：∵，
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点顺时针转动，
∴第1、2、3、的坐标为：，，，（与重合），
如图，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵，
∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 今年以来，我国经济持续恢复发展，信息通信业更是高质量发展，目前已建成开通5G基站130万个，则1300000用科学记数法表示为 _____．
【答案】1.3×106
【解析】
【分析】根据科学记数法进行改写即可．
【详解】1300000＝1.3×106．
故答案为：1.3×106．
【点睛】把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法．
12. 分解因式：x2-16= ________________．
【答案】（x-4）（x+4）
【解析】
【分析】利用平方差公式进行分解即可
【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
13. 若点在反比例函数的图像上，则m的值为 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】将点代入反比例函数，即可求出m的值．
【详解】解：将点代入反比例函数得，．
故答案：1．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有反比例函数上的点横纵坐标都符合函数的解析式．
14. 如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是_____块．

【答案】5
【解析】
【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，2列，先看第一层正方体可能的最少个数，再看第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【详解】解：仔细观察物体的主视图和俯视图可知：该几何体的下面最少要有4个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有5个小正方体组成．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
15. 如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OA，OB，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接OA，OB
∵点C为的中点
∴
∵CD=3
∴OD=6-3=3
在中，sin=
∴
∵为等腰三角形
∴
由勾股定理可得=
∴AB=
∴

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弓形面积，掌握的思路是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，垂足为D，P为线段上的一个动点，连接，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】在的外部作，作于F，交于P，此时最小，，根据，得，，即可得，则，在中，，，运用锐角三角函数即可得．
【详解】解：如图所示，在的外部作，作于F，交于P，
此时最小，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，线段的最小值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值得意义、有理数得乘方、零指数幂、负整数指数幂运算法则分别计算求值即可；
（2）去分母化解为整式方程，求解验根即可．
【详解】解：（1）原式＝；
（2），
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故分式方程的解为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
（1）求证：平分；
（2）若点E为中点，，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形及平行线的性质可得，根据等边对等角可得，等量代换得出，即可证明平分；
（2）先证，推出，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质求出，最后用勾股定理解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵点E为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，难度一般，能够综合应用上述知识点是解题的关键．
19. 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE 中BD边上的高为多少？
【答案】（1）55°；（2）作图见解析；（3）4.
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E作BC边的垂线即可；
（3）过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求；
（3）过A作BC边的垂线AG，
∴AD为△ABC的中线，BD=5，
∴BC=2BD=2×5=10，
∵△ABC的面积为40，
∴BC•AG=40，即×10•AG=40，解得AG=8，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E为AD的中点，
∴EF是△AGD的中位线，
∴EF=AG=×8=4．
20. 2022年5月，某市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测
（1）【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小明、小亮参加测试样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：
①请用树状图或列表法求小明、小亮作答相同试卷概率．
②表中______；______．
（2）【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图；A组：；组：；组：．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
（3）【监测反思】
请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性．
【答案】（1）①小明、小亮作答相同试卷的概率为；②79，76
（2）甲校学生阅读课外书的平均数量为32本；乙校学生阅读课外书的平均数量为30本
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）①利用列表法或树状图列举出所有等可能的结果，再根据等可能事件概率公式计算即可；②根据中位数和众数的概念分析求解即可；
（2）根据加权平均数的计算公式分析计算即可；
（3）根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性．
【小问1详解】
解：①设3套不同的试卷分别为1、2、3，列表如下：
一共有9种等可能情况，而满足题意的有三种情况，
（小亮、小莹作答相同试卷的概率）；
②将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，
位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多是76，
，
故答案为：79，76；
【小问2详解】
解：由题意，甲校学生阅读课外书的平均数量为（本，
乙校学生阅读课外书的平均数量为（本；
【小问3详解】
解：甲校样本学生阅读课外书的平均数量为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳；
综上所述，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量．
【点睛】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，频数分布直方图，加权平均数，中位数，众数，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法，以及相关统计量的意义是解题的关键．
21. 某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且，支架CD与水平线AE垂直，，，，求真空热水管AB的长【参考数据：，，】
【答案】170cm．
【解析】
【分析】在中，根据，，求出支架CD的长即可，在中，根据，，求出OC的长是多少，进而求出OD的长是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB的长．
【详解】在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
答：真空热水管AB的长为170cm．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
22. 某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）根据表中的数据，请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，若每天获得240元的利润，销售单价为多少；
（3）销售单价定为多少时，超市每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）30元 （3）销售单价定为34元时，超市每天的利润最大，最大利润是256元
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可得；
（2）根据利润等于销售量乘以每千克商品的利润建立方程，解方程即可得；
（3）设销售单价定为元时，超市每天的利润为元，先建立关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【小问1详解】
解：设与之间函数关系式为，
将点代入得：，
解得，
，
，
，
则与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：设销售单价为元，则销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
因为超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
所以销售单价为30元．
【小问3详解】
解：设销售单价定为元时，超市每天的利润为元，
则，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值，最大值为256，
答：销售单价定为34元时，超市每天的利润最大，最大利润是256元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立函数关系式和方程是解题关键．
23. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数（m为常数且）的图象在第二象限交于点C，轴，垂足为D，若．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标．
（3）请观察图象，直接写出不等式的解集．
（4）点M、N分别为x轴和双曲线上的动点，若以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为．
（2）
（3）或
（4）M的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出的坐标，证明，求出点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立两个函数解析式，求出交点坐标即可；
（3）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围即可得到答案；
（4）分为边和对角线两种情况，根据平行四边形对边相等且平行进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
，，，
∴
，
，
∴，
，
，
，
∴点，
，
，
解得，
∴一次函数解析式为．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【小问2详解】
解：联立，解得：或，
∴直线和双曲线的另外一个交点坐标为：，
∴；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
【小问4详解】
解：如图所示，当为边，四边形是平行四边形时，
∴，
∴轴，
∴点N的纵坐标为，
在中，当时，，
∴；

如图所示，当为边，四边形是平行四边形时，
∴，，
∴轴，
∴点N的纵坐标为，
在中，当时，，
∴；

如图所示，当为对角线，四边形是平行四边形时，
∴，即轴， ，
∴点N的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定等等，正确利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键．
24. 如图，在中，，以为直径的交，边于点D、F．过点D作于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若半径为5，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质证得．得出，由平行线的性质得出，则可得出答案；
（2）连接，证得，然后依据相似三角形的性质得到，即可得证；
（3）过点O作于点G，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，设，则．由勾股定理得出，解方程可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图1，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
又为半径．
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：连接，如图2，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴D为的中点，
∵，
∴，
∴
∴点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
过点O作于点G，如图3，
∴，，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
设，
，则．
在中，，
即，
解得（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴为直线，点C坐标为．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线上方抛物线上的一个动点，求点M到直线的最大距离．
【答案】（1）
（2）或
（3）最大为
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为，求出b的值，再把b的值和C的坐标代入计算即可；
（2）作轴于点E，利用相似三角形的判定方法可证得，设，则，再分别讨论P的位置列式求解即可；
（3）作轴于点F，交于点R，作于点N，用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式表示出的长度，再通过求证联合建立比值关系列式计算即可．
【小问1详解】
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
将代入中，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图1中，作轴于点E．
∵，
∴，
∴，
设，则，
①当点P在x轴上方时：，
解得（不符题意，舍），
②当点P在x轴下方时：，
解得（不符题意，舍），
∴或；
【小问3详解】
作轴于点F，交于点R，作于点N，．
∵，
∴，
设，
将代入得解得，
∴，
设，则，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，
∴，
∴
，
当时，最大为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，三角函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质和相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
1
2
3
1
2
3
销售单价x（元）
…
20
25
40
…
销售量y（千克）
…
30
25
10
…