黑龙江省绥化市绥棱县第六中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 据统计，2023年的前三季度，合肥市生产总值（）亿元，按不变价格计算，同比增长.用科学记数法表示亿是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故选C．
2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：D．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘除，根据二次根式的加减、二次根式的乘除的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
5. 如图，菱形ABCD中，AB=2，，则菱形ABCD的面积是（ ）

A. 3B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质得出∠ADC=∠ABC=120°，∠BAD=60°，∠ABD=∠ADB=60°=∠BAD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，得出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=2，OB=1，OA=OB=，求出AC=2OA=2，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴∠ADC=∠ABC=120°，∠BAD=60°，∠ABD=∠ADB=60°=∠BAD，AC⊥BD，OA=OC
OB=OD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OB=1，OA=OB=，
∴AC=2OA=，
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=××2=；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，求出两条对角线的长是解题的关键．
6. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可．
【详解】A. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C. 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
D. 与，被开方数同，是同类二次根式，符合题意；
故选D．
7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
8. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法依次判断各项后即可解答．
【详解】解：选项A，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得选项A正确；
选项B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，选项B正确；
选项C，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项C正确；
选项D，由对角线相等的平行四边形是矩形，可得选项D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法以及直角三角形斜边上中线的性质，熟知平行四边形、矩形以及菱形的判定方法是解决问题的关键．
9. 如图，点E是内一点，，D是边的中点，延长线段交边于点F，点F是边的中点，若，，则边的长为（ ）

A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由直角三角形斜边上的中线的性质得到，则，再证明是的中位线，则．
【详解】解：∵，D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵点F是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
10. 如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（ ）．
A. 18B. 48C. 24D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△COD为直角三角形，
∵OE＝6，点E为线段CD中点，
∴CD＝2OE＝12，
∴C菱形ABCD＝4CD＝4×12＝48，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD．
11. 一直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为( )
A. 10B. C. 10或D. 10或
【答案】D
【解析】
【分析】设第三边长为a，再根据a为斜边或8为斜边两种情况进行分类讨论．
【详解】解：设第三边长为a，
当a为斜边时， ；
当8为斜边时， ．
综上所述，第三边的长为10或
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理和进行分类讨论是解题的关键．
12. 如图，在中，，于点E，F为的中点，连结，．有下列四个结论①；②；③；④其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】如图延长交的延长线于G，取的中点H，连接，根据题意得，结合平行四边形的性质即可证得①；利用平行四边形的性质和点F为中点证明，依据，得到，即有②；根据全等三角形面积相等和点F为中点，可证得③；利用四边形为平行四边形，证明是平行四边形，且为菱形，结合菱形性质、等腰三角形的性质和平行得到④错误．
【详解】解：延长交的延长线于G，取的中点H，连接，如图，
∵F为的中点，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
则，
∴，
故，①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，故②正确；
∵，
∴，
∴，③正确；
∵，点F和H是和中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
∴，，
∵，，
∴， ，
∴，
则，
∴，④错误；
故选∶A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质及平行线的性质，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形，并利用有关性质．
二、填空题（每题3分，满分30分）
13. 若最简二次根式能与合并，则x的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：与是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；同类二次根式的被开方数相同，本题属于基础题型．
14. 比较大小，____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质变形，再比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15. 已知，化简的结果是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.
根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.
【详解】解：∵
∴.
故答案为：5
16. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________．
【答案】
【解析】
【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一．
【详解】解：条件是．
∵分别是的中位线，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：
【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键．
17. 有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，______cm．

【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，再根据进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形面积，正确理解题意得到是解题的关键．
18. 若矩形中较短的边长为4，两对角线的夹角为，则矩形中较长边的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB=4，由勾股定理求出BC即可．
【详解】解：如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19. 在四边形ABCD中，AD// BC，对角线AC⊥BD，若AC= 12， BD= 9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是__________．

【答案】27
【解析】
【分析】根据中位线的性质推出四边形EFNM是矩形即可．
【详解】解：如图：
由题可得E、F分别为AD，AB中点，
∴EF∥BD，EF=BD=，
同理可得MN∥BD，MN=BD=，FN∥AC，FN=AC=6，EM∥AC，EM=AC=6，
∴EF∥MN，FN∥EM，
∴四边形EFNM是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FN，
∴四边形EFNM是矩形，
∴S矩EFNM=6×=27，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，证明四边形EFNM是矩形是解题关键．
20. 在平面直角坐标系中，已知点，则以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点向右平移4个单位得到，即可求解．
【详解】解：∵点，是平行四边形，
∴，
将点向右平移4个单位得到
如图所示，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
21. 如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，

∵正方体的棱长为，O为的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
答：蚂蚁需爬行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，灵活运用所学知识是关键．
22. 根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可．
【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个，
第二个图中平行四边形的个数是，
第三个图中平行四边形的个数是，

∴第个图中平行四边形的个数是，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共6小题，共54分．解答应写出文字说明、演算步骤和证明过程）
23 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．
【小问1详解】
解；
；
【小问2详解】
解：
．
24. 洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，
根据勾股定理可得：x2+52=（x+2）2，
解得，x=．
答：旗杆的高度为米．
【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．
25. 如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查垂线的作法及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，．再由垂直的定义及平行线的判定确定，根据全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
26. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【详解】（1）∵CE∥BD DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=AD=
∴AO==3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD= ∠ACE=90°
∴AE==
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．
27. 中考新考法 阅读理解题阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图①，在中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：要证明等于 的一半．可以用倍长法将 延长一倍，如图②，延长到点，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A. 转化思想 B. 类比思想 C. 数形结合思想 D. 从一般到特殊思想
（3）如图③，点 是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，，点，分别是和的中点，连接．若 ，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）A
（3）的长为
【解析】
【分析】（1）延长到，使得，连接、，证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形是矩形，则，进而得出结论；
（2）由（1）的证明方法即可得出结论；
（3）连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接，
则四边形，四边形，四边形都为矩形，得，，再由勾股定理得，然后证是的中位线，即可求解．
【小问1详解】
证明：如解图①，延长到点，使得 连接，，
图①
是斜边上的中线，
，
又，
四边形是平行四边形，
又
平行四边形是矩形，
，
，
；
【小问2详解】
由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，
故答案为：A
【小问3详解】
解：如解图②，连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接，
则四边形，四边形，四边形都为矩形，
四边形，四边形均为矩形，
在 中，由勾股定理得：
点，分别是，的中点，四边形，四边形都是矩形，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
的长为

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理以及转化思想等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明为的中位线是解题的关键．
28. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形；
(2)如图1，求AF的长；
(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【答案】（1）见解析；（2）AF=5cm；（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质、平行线的性质和已知条件利用ASA证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而可得四边形AFCE是平行四边形，然后由EF⊥AC即可证得结论；
（2）设AF=xcm，则易得CF=xcm，BF=(8－x)cm，然后在Rt△ABF中，由勾股定理建立关于x的方程，解方程即得结果；
（3）分为三种情况：第一、P在AF上，由P、Q两点的速度即可进行判断；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，其中只有当Q在DE上时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，用含t的代数式分别表示出AQ和CP，从而可得关于t的方程，解方程即得结果；第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，由P、Q两点的位置即可进行判断．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵∠AOE=∠COF，
∴ΔAOE≌ΔCOF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
设AF=xcm，则CF=xcm，BF=(8－x)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，
则在RtΔABF中，由勾股定理得：，
解得：x=5，即AF=5cm；
(3)分为三种情况：
第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，
∴Q只能在CD上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，其中只有当Q在DE上时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，
∵AQ=8－(0.8t－4)，CP=5+(t－5)，
∴8－(0.8t－4)=5+(t－5)，
解得：；
第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
综上所述，当时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及平行四边形的判定等知识，是四边形的综合性问题，正确理解题意、熟练掌握特殊四边形的判定和性质、全面分类是解题的关键．