河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题

这是一份河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了已知函数等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（ ）
A.23B.21C.20D.18
3.设为复数，且，则下列说法正确的有（ ）
A.若，则B.若，则的最大值为2
C.若，则D.若，则
4.如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ）
A.2B.C.1D.
5.（ ）
A.B.C.D.
6.已知点为可行域内任意一点，则的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.过点 与圆相切的两条直线夹角为，则 （ ）
A.B.C.D.
8.已知函数（，）的两个零点分别为，，若，，-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知直三棱柱中，且，直线与底面所成角的正弦值为，则（ ）
A.线段上存在点，使得
B.线段上存在点，使得平面平面
C.直三棱柱的体积为
D.点到平面的距离为
11.若，其中为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线方程为 .
13.设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则 .
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为.已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知等比数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和记为，求.
16.（15分）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为.
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上.
18.（17分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 浙江某市一调研机构为了解本市市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为.
(1)是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？
(2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将获得现金100元的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取8人，记奖金的总数为元，求的数学期望与方差.
附：，其中.
19.（17分）已知函数，其中.
(1)若，求的值；
(2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值.
条件①：；
条件②：；
条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
数学 • 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】由，得，因为，所以，即.故必要性满足；
.因为，，所以.故充分性满足.
所以“”是“”的充要条件.
故选C.
2.【答案】B
【解析】即为相邻两项之差的绝对值之和，
则在数轴上重复的路径越多越好，又，
比如，其对应的一个排列为
则的最大值是
故选：B
3.【答案】B
【解析】A选项，不妨设，满足，但，A错误；
B选项，设，则，即，
因为，解得，
则，
故的最大值为2，B正确；
C选项，设，则，而，
满足，但不满足，C错误；
D选项，，
当时，满足上式，故不一定等于0，即可能不相等，D错误.
故选：B
4.【答案】B
【解析】在中，由余弦定理得，
即，得①，
在中，由余弦定理得，
即，得②，
又，
所以③，
由②①，得，
由，得，代入③得.
故选B.
5.【答案】A
【解析】
.
故选：A.
6.【答案】C
【解析】可行域内的点有，，，，，，，，共个，
其中满足的有，，，共个，
所以所求的概率.
故选：C
7.【答案】A
【解析】
化为标准方程为，圆心为(2,1)，半径为1，
过点(0,0)与圆相切的两条直线夹角为，设切线为，
点线距离为，则，解得或，故切线为或，
根据两直线的夹角公式得，且易知一定为第一象限角，
解得.
故选A.
8.【答案】A
【解析】
由韦达定理可知，，，
所以调整顺序后-1，，成等差数列， ，-1，成等比数列，
所以，，所以，，
，∴，，∴，
解集，
故选：A.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】ABD
【解析】由，得该圆心为，半径为，
易知该圆过原点，由，当时，
得，作出函数的图象，如图，
由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有1个交点，
当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有4个交点，
根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.
故选：ABD
10.【答案】ABD
【解析】在直三棱柱中，底面，
则即为直线与底面所成角，即，
则，
所以
又且，所以，
又底面，底面，所以，
所以，解得，
所以直三棱柱的体积，故C错误；
又底面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，因为点在线段，
设，，
则，
若，则，即，解得，
此时为线段的中点，
故在线段上存在点，使得，故A正确；
当为线段的中点时，则，，
设平面的法向量为，
则，取，
又，，设平面的法向量为，
则，取，
因为，所以平面平面，
即当为线段的中点时满足平面平面，故B正确；
又，，，
设平面的法向量为，则，取，
则点到平面的距离，故D正确.
故选：ABD
11.【答案】BC
【解析】依题意，令，
对于A，，A错误；
对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；
对于C，，，
所以，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】因为，则，
所以切点为，且，
则，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
故答案为：
13.【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
由，则，解得，又，
所以，所以，代入，
解得，
当时，，
当，时，，
满足上式，所以，.
故答案为：.
14.【答案】6
【解析】设，由题意,,，
可知，
故当时，，
当时，，
当，，
当时，，
当时，，
轨迹方程的图形如图，
图形的面积为：.
故答案为：6.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等比数列的公比为.
由已知，且，得，即（*）
易观察，2是（*）方程的一个根，∴，
又恒成立，
∴，又，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，
，
以上两个式子相减得，，
∴.
16.（15分）【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接.
因为，且，
又分别是棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）四边形均为正方形，所以.
所以平面.
因为，
所以平面.
从而.
又，
所以为等边三角形.
因为是棱的中点，
所以.
即两两垂直.
以为原点，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，
则，
所以.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
因为，所以.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角正弦值为.
17.（15分）【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由双曲线的左、右焦点分别为，，
直线与的左、右两支分别交于，两点，且四边形为矩形，
所以，且，
由，解得或，
即，则，又，，
解得，，，
所以双曲线的方程为，
所以，，，，
所以的中点为，又，
所以矩形的外接圆的方程为.
（2）由（1）知，，
依题意知直线的斜率不为零，设直线为，，，
由，得.
当且，
所以，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以，
，
所以，
解得，
故点在定直线上.
18.（17分）【答案】(1)有
(2)，
【解析】（1），，，
故男市民中得优秀奖的人数为，女市民中得优秀奖的人数为，
可得如下列联表：
故，
故有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关；
（2），令为获得优秀奖的市民人数，
则，有，，
由，故，
.
19.（17分）【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）法一：
，
即可得，
又，所以；
法二：
，
所以即得，
又，所以；
（2），
选择②，，，
因为，所以，
因为的最小正周期，，
所以由可得，
所以，；
或法二：因为，，
所以即，
因为，所以，；
选择③，，
的图像与直线的一个交点的横坐标为，
即可得，所以，
又，所以，
法一：令，，
解得，即的单增区间为，
又时，单调递增，
所以，是的一个子区间，
所以，，即可得，又，
所以，故是的一个子区间，所以m的最大值为；
法二：因为，，所以，
因为在上单增，
所以，，
即可得，，，
所以，所以，可得m的最大值为.
不可选择条件①，理由如下：
若，则，即，
由，故该方程无解，故函数不存在，故不可选①.0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀奖
非优秀奖
总
男
25
75
100
女
5
95
100
总
30
170
200