福建省厦门市厦门大学附属科技中学思明校区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份福建省厦门市厦门大学附属科技中学思明校区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)，共4页。

（数学试卷）
考试时间120分钟 满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、庄位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把各题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则（ ）
A．1B．C．D．
2．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，向量，的夹角为60°，则（ ）
A．B．3C．D．
4．如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的面积等于（ ）
A．B．C．4D．
5．如图，在中，，E为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．32
6．已知正方体中，点M在线段上，记平面平面，则异面直线与l所成角为（ ）
A．B．C．D．
7．中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于（ ）
A．4B．2C．D．
8．把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．，则
C．若，则复数z对应的点位于第四象限
D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．存在t，使得D．的最小值为2
11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．正三棱台的高为
C．点P的轨迹长度为
D．高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，若复数，则z的虚部是______．
13．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，则以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为______．
14．已知在平面四边形中，，，，，则当变化时，的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
15．（本题满分13分）
已知向量，，，
（1）设，的夹角为，求的值；
（2）若，求k的值；
（3）若，求的值及在方向上投影向量的坐标．
16．（本题满分15分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求A；
（2）设是的高，求的最大值．
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，
，，E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点P到平面的距离．
18．（本题满分17分）
如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问当取何值对，可使的面积．
19．（本题满分17分）
如图，在矩形中，，，M是线段上的一动点，将沿折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段上．
（1）当点M与端点D重合时，证明：平面；
（2）求三棱锥的体积的最大值；
（3）设直线与平面所成角为，二面角的平面角为，求的最大值．