2024年高一数学下册（苏教版）-第11章 解三角形单元综合能力测试卷（新题型）（原卷版+解析版）

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第11章 解三角形单元综合能力测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，下列式子与的值相等的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理知，所以，故C正确，其余选项不一定成立.故选：C.2．已知中，，且的面积为，则（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】因为中，，且的面积为.所以，所以或.故选：B.3．对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，若，由单调递减可知，，则为等腰三角形，故①正确；对于②，若，则，由正弦定理可知，故②正确；对于③，若，，，由余弦定理得，，则，所以符合条件的有一个，故③错误；对于④，若，则，所以，因为，所以，所以是钝角三角形，故④正确.综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3.故选：C4．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，得，而，又，所以.，由正弦定理得，即，得，所以或，得或（舍去），所以，即为等边三角形.故选：B5．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【解析】如图，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以解得，由正弦定理得，故或，因为，故为锐角，所以，此时灯塔位于游轮的南偏西方向.故选：C6．海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（    ）A． B． C． D．12【答案】C【解析】∵，∴，∵周长为，即，∴，∴，∴的面积．故选：C．7．在中，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理及得，不妨记，因为，所以，解得，即的取值范围是.故选：B8．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】中，由余弦定理得，且的面积为，由，得，化简得，又，，所以，化简得，解得，或（不合题意，舍去）所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以，设，其中，所以，当且仅当时，即时取最小值，令，由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增，又，，所以．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设的内角的对边分别为，若则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】因为，所以.又因为，.所以或.故选：CD.10．的内角的对边分别为、，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则【答案】ABD【解析】对于A中，由，可得,由正弦定理得，所以A正确；对于B中，因为，由正弦定理，可得，因为且，所以，所以有两解，即有两解，所以B正确；对于C中，若为钝角三角形，当为钝角时，由余弦定理可得，所以C错误；对于D中，因为，可得，又因为，可得，所以，所以D正确；故选：ABD.11．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（　　）A．面积的最大值为B．的最大值为C．的取值范围为D．【答案】AB【解析】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4， 则面积，即面积的最大值为， A正确；对于B，由正弦定理得，则，，，显然，有，，则当，即时，取得最大值为，B正确；对于C，，由，得，因此的取值范围为，C错误；对于D，由余弦定理得，D错误.故选：AB第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．则边 ．【答案】5【解析】在中，，，，则由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去），故答案为：513．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 ．【答案】【解析】因为，所以，即，所以，由为三角形内角得，因为a＝1，由正弦定理得，所以．故答案为：14．在中，内角所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点.（1）边上的中线长为（2）与面积之比为（3）到的距离为（4）内切圆的面积为上述四个结论，其中所有正确的序号为 .【答案】（2）（3）（4）【解析】对于（1），如图，在中，，在中，，所以，得到，所以（1）错误；对于（2），因为，又，所以，又，得到，所以（2）正确；对于（3），因为三条中线相交于点为，由（1）知，所以，又在中，，所以，故到的距离为，所以（3）正确；对于（4），设内切圆的半径为，又因为，所以，又，所以，得到，所以，内切圆的面积为，所以（4）正确，故答案为：（2）（3）（4）.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.(1)求A；(2)若，，求的面积.【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得,又，从而,因为，所以.（2）由余弦定理得,又，，，所以，即，因为，所以，设的面积为，.16．（15分）一艘海轮从出发，沿北偏东70°的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东10°的方向航行到达海岛.(1)求的长;(2)如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行多少？【解析】（1）由题意知，在中， ，，，根据余弦定理，得，所以n mile．（2）由正弦定理得，即，又，所以．所以应沿北偏东的方向航方向航行 n mile即可到达C处.17．（15分）已知函数，在锐角中，．(1)求A的值；(2)角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求面积最大值．【解析】（1）函数，由，得，在锐角中，，则，于是，所以.（2）在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，显然当时，是锐角三角形，因此，所以面积最大值为.18．（17分）已知.(1)求函数图象的对称轴方程；(2)设的内角所对的边分别为，若且.求的取值范围．【解析】（1）已知，则，由（k∈Z），得（k∈Z），即函数图象的对称轴方程为（k∈Z）；（2）由，得，又，即.所以，又，由正弦定理，得，即又，所以，所以.即的取值范围为．19．（17分）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，的平分线为，且．(1)求的面积；(2)求的取值范围．【解析】（1）由题意可得，在中，的平分线为，且，所以，，则，由余弦定理得，，即，所以，，，则，为直角三角形，故.（2）在平面凸四边形中，，则，由（1）可得，，，在中，由正弦定理可得，所以，，又因为，且，所以，则，所以的取值范围是．