辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，AC 10，因为，所以，设正项等差数列的公差为等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知数列，均为等差数列，，，则（ ）
A．9B．18C．16D．27
2．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．5
3．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
4．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A．是函数的极大值点；B．是函数的最小值点；
C．在区间上单调递增；D．在处切线的斜率小于零.
6．已知数列满足，.若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A．B．3C．D．2
8．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。
9．下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．
D．设函数且，则
10．设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且为数列的唯一最大项，则
D．若，且，则使得成立的的最大值为20
11．函数、，下列命题中正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在上单调递增，在上单调递减
C．若函数有两个极值点，则
D．若时，总有恒成立，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为8，则___________.
13．某个体户计划同时销售，两种商品，当投资额为千元时，在销售，商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售，两种商品，为使总收益最大，则商品需投入___________千元.
14．已知实数，满足，，则___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数的图象经过点，且在处取得极值.
（1）求，的值；
（2）求经过点且与曲线相切的切线方程.
16．（15分）已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
17．（15分）已知函数.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若，当时，证明：恒成立；
（3）若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围.
18．（17分）已知数列满足，且.
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在数列中，，，求的通项公式；
（3）记数列满足，求数列的前项和.
19．（17分）已知函数（为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间；
（2）若，的导数在上是增函数，求实数的最大值；
（3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数均成立.
辽宁省重点高中沈阳市郊联体
2023-2024学年度下学期高二年级期中考试数学试题答案
一、单项选择题：
1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B
二、多选题：
9.AC 10.BCD 11.AD
三、填空题：
12. 28 13. 14.
四、解答题：
15.（13分）（1）因为，所以. 2分
因为函数图象经过点，所以 3分
函数在处取得极值，所以 4分
，解得； 5分
经检验合题意。所以 6分
（2）法一：由（1）知，
由导数公式得
设切点坐标为，设切线方程为：
由题意可得： 9分
以或， 12分
从而切线方程为或 13分
法二：因为在上，当为切点时
7分
此时切线方程为，即 9分
当不是切点时，设切点坐标为，
，解得，
切线方程为 12分
综上切线方程为或 13分
16.（15分）（1）设正项等差数列的公差为.
因为，，所以，解得： 2分
所以. 3分
数列满足
设，
当时，有，即， 4分
当时，有，得 6分
符合，所以 7分
（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列 11分
设数列的前项和为，所以
15分
17.（15分）当时，，， 1分
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为 3分
函数的极小值是唯一的极小值，无极大值。
又， 5分
在上的最大值是，最小值是 6分
（2）因为，所以令，
. 7分
当时，，则在上单调递增， 9分
所以当时，，所以恒成立。 10分
（3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，即，解得 11分
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则 13分
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数的取值范围为 15分
18.（17分）（1）
变形得：， 2分
又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即 4分
（2）由题意可得， 5分
所以当时，，，，，
上式累加可得，
， 7分
又，所以，
当时，满足上式，
所以 9分
（3）由（1）、（2）知， 10分
则在前项中，
12分
作差得
15分
16分
从而 17分
19.（17分）（1）由已知得 1分
当时，对，， 2分
所以在上单调递增；
当时，由得，由得，
此时的增区间为，减区间为； 4分
综上当时，函数的单调增区间为，
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 5分
（2）时，，
则，令，
由在上是增函数， 7分
故恒成立，
从而，恒成立， 8分
，； 10分
（3）由（2）可知，当时，在上是增函数，
故，故在上是增函数，所以， 12分
依次令，
可得，，，， 14分
将以上不等式相加有
，
所以原不等式得证. 17分