苏教版 (2019)13.2 基本图形位置关系综合训练题

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知识点01 直线与平面的位置关系
【即学即练1】（2024·高二·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）．
A．直线在平面内B．直线与平面相交或平行
C．直线与平面相交D．直线平行平面
【答案】B
【解析】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得：
当时，可满足题意；
当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意；
当时，无法满足题意.
故直线与平面相交或平行.
故选：B.
知识点02 直线和平面平行的判定
文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行．
图形语言：
符号语言：、，．
知识点诠释：
（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：
①直线a在平面外，即；
②直线b在平面内，即；
③直线a，b平行，即a∥b．
这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．
【即学即练2】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】对于①，若，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．
故选：A．
知识点03 直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行．
符号语言：若，，，则．
图形语言：
知识点诠释：
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；
（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．
【即学即练3】（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.
【解析】因为平面，平面，
且平面平面，所以，
同理可证，因此.
知识点04 直线与直线垂直的定义
两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
知识点诠释：
空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足．
【即学即练4】（2024·高一·全国·专题练习）如图；在直三棱柱中，，，．求证；

【解析】证明：在中，因为，可得，
所以为直角三角形，可得，
由在直三棱柱中，可得平面，且平面，
所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以．
知识点05 直线与平面垂直的定义与判定
1、直线和平面垂直的定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
知识点诠释：
（1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．
（2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．
（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：．
（4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题．
命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．
命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．
2、直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
知识点诠释：
（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视．
（2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要．
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
【即学即练5】47．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.
【解析】
因为四边形是菱形，所以.
因为，，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为，平面，且，所以平面.
知识点06 直线与平面所成的角
（1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是．
【即学即练6】52．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
【解析】（1）连接，
在平行四边形中，
为与的交点，为的中点，
又为的中点，，
又平面平面平面；
（2）取的中点，连接，
为的中点，，且，
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在中，，
，从而，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为．
知识点07 直线与平面垂直的性质
1、基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线．
符号语言：
图形语言：
2、性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
符号语言：
图形语言：
【即学即练7】（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【解析】证明：如图，连接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
知识点08 距离
（1）直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离．
（2）平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离．
【即学即练8】（2024·高二·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求到平面的距离.
【解析】（1）连接,如图:
因为,四边形为菱形,
所以,
又为棱的中点,
所以,
因为,
所以,
因为平面,平面,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
（2）因为平面,平面,
所以平面,
则到平面的距离即为点到平面的距离,
设点到平面的距离为,
因为,,平面,,四边形为菱形,
所以,
解得,
即到平面的距离为.
题型一：直线与平面的位置关系
【典例1-1】（2024·高三·宁夏·期中）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（ ）
A．B．与相交
C．D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【解析】在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点，
如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；
因，平面，平面，则，
当直线b为直线时，直线是异面直线，此时；
当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交，
所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内.
故选：D.
【典例1-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．平行或异面C．异面D．异面或相交
【答案】B
【解析】因为平面平面，直线，直线，
所以与没有交点，即与可能平行，也可能异面．
故选：B.
【变式1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）．
A．内的所有直线与a是异面直线B．内不存在与a平行的直线
C．内存在唯一一条直线与a平行D．内的所有直线与a都相交
【答案】B
【解析】设，
A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误.
D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误.
BC，若存在，则由于，
所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误.
故选：B
【变式1-2】（2024·高一·陕西西安·期中）如图，，，，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是（ ）

A．a，b中至多有一条与平行B．a，b都与平行
C．a，b都与相交D．a，b中至多有一条与相交
【答案】A
【解析】对于A、B，若直线，都平行于直线，那么直线，平行，
与题意，为异面直线矛盾，故，中至多有一条与平行，故A正确；B错误.
对于C，若，b与l相交，也满足a，b为异面直线，故C错误；
对于D，若a，b均与l相交，但交点不同，也满足a，b为异面直线，故D错误.
故选：A.
【变式1-3】（2024·高一·山东聊城·期末）若直线在平面外，则（ ）
A．平面内存在唯一的直线与平行B．平面内存在唯一的直线与垂直
C．平面内存在无数条直线与异面D．平面内的所有直线与都不相交
【答案】C
【解析】因为直线在平面外，所以直线与平面相交或平行，
当时，平面内存在无数条直线与平行，故A错误；
当时，平面内存在无数条直线与垂直，故B错误；
无论直线与平面相交或平行，平面内存在无数条直线与异面，故C正确；
当直线与平面相交时，平面内有无数条直线与相交，故D错误.
故选：C
【方法技巧与总结】（直线与平面位置关系的解题思路）
解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析．
题型二：直线与平面平行的判断定理的理解
【典例2-1】（2024·高三·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（ ）
A．内有一条直线与平行B．内有无数条直线与平行
C．任意一条与垂直的直线都垂直于D．存在一个与平行的平面经过
【答案】D
【解析】对于A，B，C，直线都可能在内，
故选:D．
【典例2-2】（2024·高一·上海嘉定·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面
B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线
C．若两直线、都与平面平行，则
D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线
【答案】D
【解析】对于A选项，记经过直线的平面为，
若两直线、互相平行，则或，A错；
对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错；
对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错；
对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对.
故选：D.
【变式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，如图，连接，则，
因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于B，如图连接，
因为，分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于C，如图，连接，则，
因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
对于D，如图取底面中心，连接，
由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
因为与平面相交，所以与平面相交，
故选：D．
【变式2-2】（2024·高一·陕西西安·期中）若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则或与异面
【答案】D
【解析】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误；
对于C：若，，则或，故C错误；
对于D：若，，则或与异面，故D正确.
故选：D
【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项）
（1）明确判定定理的关键条件．
（2）充分考虑各种可能的情况．
（3）特殊的情况注意举反例来说明．
题型三：直线与平面平行的判定
【典例3-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.
求证：平面；
【解析】连接交于，连接，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
【典例3-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．
求证：∥平面.
【解析】由题意可得∥，
且平面，平面，可得∥平面；
因为∥且，可知四边形为平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面；
且，且，平面，
可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面．
【变式3-1】（2024·高一·江西宜春·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．

(1)证明：平面.
(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
【解析】（1）连交于，因为为中点，
所以是中位线，所以．
又平面AEC，平面．
所以平面AEC．
（2）上存在点，且，使得平面，
证明：上取点，且，
因为为上的点，且，
所以在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又在中，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
【变式3-2】（2024·高三·全国·专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

【解析】因为直四棱柱中，
又，且平面，平面，
平面，平面
而，平面,
平面平面，
又平面平面
【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【解析】证明：如图所示：
取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以且，
因为为的中点，所以且，
因为、分别为、的中点，
所以且，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面，故平面．
【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项）
（1）欲证线面平行可转化为线线平行解决．
（2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形．
题型四：补全直线与平面平行的条件
【典例4-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置.
【解析】点为线段上靠近点的三等分点，证明如下：
在取点，连接，，使得，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以点为线段上靠近点的三等分点.
【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.
【解析】当时，平面PDE，证明如下：
过点C作，交的延长线于，
在PE上取一点M，使得，连接HM，FM，
因为，，所以且，
因为D是AC的中点，且，所以且，
所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即，
又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.
【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由.
【解析】存在，；理由如下：
假设存在，连接并延长，交于E，连接．
因为平面，平面平面，平面，
所以，则，
因为正方形中，，所以，假设成立.
则此时.
.
【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？
【解析】当点为的中点时，平面，证明如下：
由已知，
所以四边形为矩形，
所以，，
已知，点为的中点，则，
又，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以在上存在一点，使得平面.
’
【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【解析】存在，且，理由如下：
连接，，连接，
因为 是矩形，且为的中点，
所以，所以，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以．
【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法）
（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述.
题型五：直线与平面平行的性质
【典例5-1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.
【解析】∵四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
而平面平面，平面，
∴，∴.
【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．
(1)求证：平面EAC．
(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．
【解析】（1）连接交于，连接，
因为四边形是平行四边形，所以为中点，
又因为为中点，所以是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面平面，平面，
所以.
【变式5-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．
求证：.
【解析】证明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，
∴.
【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）
（1）欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用．
（2）性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常利用中位线性质．
题型六：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系
【典例6-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.
【解析】如图，连接，交于点，连接，
为的中点，且平面平面，
平面，平面，
，
为的中点，即实数的值为．
【典例6-2】（2024·高二·山西朔州·期中）如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形.
(1)求证：平面；
(2)若，，求四边形周长的取值范围.
【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴；
∵平面，平面，∴平面，
又∵平面，平面平面，∴；
又∵平面，平面，平面；
（2）设，，由（1）可知，同理有，
∴，，∴，
又∵，，∴，
∴，且；
∴四边形的周长为，
∴；
∴四边形周长的取值范围是.
【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥，证明：是的中点．
【解析】因为∥，平面，平面，
所以∥平面.
因为平面，平面平面，
所以∥，
又因为点是的中点，
所以点是的中点.
【变式6-2】（2024·高一·陕西渭南·期中）如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上一动点.

(1)若直线面ACP，求证：P为棱SD的中点；
(2)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【解析】（1）
连接与交于点，则为的中点，
因为直线面ACP，平面，平面平面，
所以，又为的中点，所以P为棱SD的中点.
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点，连接，因为，则，
又为的中点，在中，有，
又平面，平面，平面，
过作，交于，连接，
又平面，平面，平面，
，平面，平面平面，
又平面，平面，
由，则，
由，为的中点，则，所以，
所以侧棱上存在一点，当满足时，平面.
题型七：由线面平行的性质求长度问题
【典例7-1】（2024·高一·吉林通化·阶段练习）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．

(1)求证：平面
(2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积.
【解析】（1）证明：因为截面是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，，
因为平面，且平面平面，所以，
又因为平面，EH在面EFGH内，所以平面.
（2）因为分别为的中点，且，
可得且，且，
因为，可得，所以四边形为矩形，
所以四边形的面积为.
【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【解析】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，，
如图所示，连接与交于点，连接，
在棱上取，连接，，则，且，
因为平面PBD，且平面，平面平面，
所以，所以，
又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以，
在直角中，，，所以，
所以.
【变式7-1】（2024·高一·全国·课时练习）在空间四边形中，，与直线都平行的平面分别交于点E，F，G，H．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求四边形的周长．
【解析】（1）证明：因为直线平面平面，平面平面，所以．
同理得，所以．同理得，所以四边形是平行四边形，
（2）由（1）可知，两式相加得，所以四边形的周长为．
【变式7-2】（2024·高二·全国·课时练习）如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长．
【解析】因为，所以点 与直线a可以确定一个平面，即平面．
因为，且平面，平面，
所以，即，所以．
于是．
【变式7-3】（2024·高一·福建龙岩·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，E是线段PD上的点，且，PA=PD=AD=3，，，∠ADC=45°．
(1)求证：平面PAB；
(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使平面PAB？若存在，求出MN的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF．
∵，
∴且，
又，且，
∴，EF=AD，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴，
而平面PAB，平面PAB，则平面PAB．
（2）线段AD上存在点N且，使得平面PAB．
理由如下：
如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN．
∵，，
∴．
∵平面PAB，平面PAB，
∴平面PAB．
由（1）知平面PAB，又，
∴平面平面PAB，又M是CE上的动点，平面CEN，
∴平面PAB，
∴线段AD上存在点N，使得平面PAB．
∵，BC=AN，
∴ND=2．
在中，∠ADC=45°，，由余弦定理知CN=2．
在中，CN=NE=2，，
∴由余弦定理知∠CNE=120°，
∴MN的最小值为，
∴线段AD上存在点N，使平面PAB，且MN的最小值为1．
题型八：证明两直线垂直
【典例8-1】（2024·高一·陕西渭南·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：

(1)平面；
(2)．
【解析】（1）四棱锥的底面是矩形，
，平面，平面，
，又，、平面，
平面；
（2）由（1）知平面，
同理可得，平面，
，分别是，的中点，
，平面，
又平面，.
【典例8-2】（2024·高一·陕西延安·期末）在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

(1)平面；
(2).
【解析】（1）
如图，连结，在正方体中，
因为，为棱的中点，
所以为的中位线，所以，
又因为平面，不在平面内，
所以平面.
（2）在正方体中，
由面，面，所以，又，
面，面，，所以面，
又由面，所以.
【方法技巧与总结】（证明两直线垂直的常用方法）
（1）利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理；
（2）定义法：即证明两条直线夹角是；
（3）利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线．
题型九：线面垂直的概念与定理的理解
【典例9-1】（2024·高二·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）.
A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直
B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直
C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直
D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直
【答案】C
【解析】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直，
A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符，
故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
【典例9-2】（2024·高二·北京·学业考试）已知直线，和平面，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．是平面的斜线
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
故选：C
【变式9-1】（2024·高一·河南南阳·期末）已知a，b为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a⊥α，a⊥b，则b//αB．若a//α，a⊥b，则b⊥α
C．若a//α，b//α，则a//bD．若a⊥α，a//b，则b⊥α
【答案】D
【解析】对于A，若a⊥α，a⊥b，则b//α或b⊂α，故A错误；
对于B，若a//α，a⊥b，则b//α或b⊂α，或b与α相交，故B错误；
对于C，若a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若a⊥α，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正确．
故选：D．
【变式9-2】（2024·高一·福建宁德·阶段练习）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（ ）

A．直线与直线相交，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线垂直，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】C
【解析】
如图，连接，则与互相平分，即是的中点，
又由是的中点，则，而平面，平面，
故平面，
四边形是正方形，则，
又由，则平面，所以.
故选：C.
【变式9-3】（2024·高三·河南郑州·期末）已知在正方体中，，交于点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．
【答案】C
【解析】连接，作出图形如图所示，
因为且，所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
同理可证，即可证明平面，
又，平面，所以平面平面，
故平面，故C正确；
对于A，因为，平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误；
对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误；
对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误．
故选：C．
【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项）
线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直．
题型十：直线与平面垂直的判定
【典例10-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由．
【解析】（1）
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
与相交，平面，
平面．
（2）当F为的中点时，平面．理由如下：
取F为的中点，G为的中点，连接，
则，且．
∵底面为菱形，且E为的中点，
，且．
，且．
∴四边形是平行四边形，．
平面平面平面．
【典例10-2】（2024·高二·上海·专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.
求证：⊥平面；
【解析】∵为⊙O的直径，
∴⊥.
又⊥平面，平面，
∴⊥.
又∵，平面，
∴⊥平面.
又平面，
∴⊥.
又⊥，且，平面，
∴⊥平面.
【变式10-1】（2024·高二·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【解析】（1）因为，是的中点，所以.
在中，，
由已知，所以，所以.
又平面，
所以平面.
（2）因为，是的中点，
所以.
由(1)知.
又因为平面，
所以平面.
【方法技巧与总结】（应用判定定理的注意事项）
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直．
题型十一：直线与平面所成角
【典例11-1】（2024·高一·黑龙江双鸭山·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
【解析】（1）在正方形中，，
因为，所以，
又因为侧面是正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
而平面，则，而，
∴，而，
又平面，
∴平面
（2）连接，如图所示：
∵为正方形，，
∴，
而平面，
∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
∵，
∴，
所以直线与平面所成的角为.
【典例11-2】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．设中点为，中点为．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与面所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：取中点，连接，，则，且，
又因为且为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）过点做垂直于，交于点，连接，
因为底面，且底面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
令，则，，
在直角中，，
在中，可得，所以，
在直角中，可得,
所以在直角中，可得，
直线与面所成的角的正弦值为.
【变式11-1】（2024·高二·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为为正方形，则，
则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，
因为三角形是等边三角形，则
平面，平面，，．
所以异面直线AC与BD所成的角为．
（2）作交于点，连接，
平面，平面，
则与平面所成的角为，
设，则，
则.
【变式11-2】（2024·高二·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点．
(1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点；
(2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长．
【解析】（1）过作交于，连接,
由于,所以,
因此平面即为平面，
由于为的中点，所以为中点，
（2）由于四边形为菱形，且，，
所以,
取中点，连接,
由于平面，平面，所以,
又平面,
所以平面,
故即为直线与平面所成角，故，
故，因此
【方法技巧与总结】（求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤）
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
题型十二：直线与平面垂直的性质定理的应用
【典例12-1】如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.
【解析】因为平面ACD，平面ACD，则∥，
取的中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，且，
由题意可得：∥，且，
则∥，且，则为平行四边形，
可得∥，
且平面BCE，平面BCE，
所以∥平面BCE.
【典例12-2】（2024·高二·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
又平面为菱形，所以，
又平面，
所以平面；
（2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，
则，又平面，平面，
所以平面.
【方法技巧与总结】（证明两条直线平行的常见方法）
（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；
（3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
（4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
题型十三：空间中的距离问题
【典例13-1】（2024·高二·上海·期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 .
【答案】
【解析】设是底面的中心，则平面，又因为平面，所以，
正四面体的棱长为1，则，
,
故答案为：.
【典例13-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，求：
(1)异面直线与所成角的大小的正切值；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）连接，易知BC⊥，
∵∥，
∴即为异面直线与所成角，
∵，则，
故．
（2）连接交于O，则，
∵AB⊥平面，平面，
∴，
又∵，平面，
∴面，
∴线段OC为所求距离，∴点到平面的距离为．
【变式13-1】（2024·高一·全国·课时练习）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离．
【解析】连接BD、AC，
为正方体，
四边形ABCD为正方形，
，
，，
平面，
到平面的距离为，
平面，
到平面的距离即A到平面的距离，
棱和平面的距离为.
【变式13-2】（2024·高二·上海·期末）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 .
【答案】/
【解析】设点到平面的距离为，
因为，，为中点，
所以，所以为等边三角形，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
故答案为：.
【方法技巧与总结】（空间中距离的转化）
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离．
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底面积和高．
一、单选题
1．（2024·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B．若，则l与m可能垂直
C．若，且，则l与m可能平行
D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
【答案】B
【解析】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内，
且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B：若，则l与m可能垂直，
如图所示：，可知：，故B正确；
对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误；
对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直，
如图，取为平面，，
符合题意，但，故D错误；
故选：B.
2．（2024·浙江·一模）已知直线和平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，则存在使得且，
若且，则，
又且，所以，充分性成立；
设，，则有，但不平行，即必要性不成立.
故选：A.
3．（2024·高三·浙江·开学考试）已知是异面直线，是空间任意一点，存在过的平面（ ）
A．与都相交B．与都平行
C．与都垂直D．与平行，与垂直
【答案】A
【解析】A选项，不论在何处，过点的平面，通过绕点适当旋转，总存在平面，使得其与都相交，A正确；
B选项，若点在直线上，则此时不存在过的平面，使得其与直线平行，B错误；
C选项，若与垂直，此时过的平面假如与其中之一垂直，
则与另一直线平行，或另一直线在该平面内，故C错误；
D选项，若与垂直，点在直线上，此时过点作一个平面与垂直，
此时直线在平面内，D错误；
故选：A
4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接，则，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成角的平面角，
在等腰直角三角形中，，
所以直线与平面所成的角为.
故选：B.
5．（2024·高三·全国·专题练习）如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（ ）

A．B．6C．D．5
【答案】C
【解析】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，，
所以，
根据平行线分割线段成比例可得，
又，解得，
②当为异面直线时，连接，如图
由①证明可知，，
所以，
又，解得.
故选：C.
6．（2024·高三·广东·阶段练习）在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱在平面上的射影长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】把正四棱锥放入正四棱柱中，
则V是上底面的中心，取的中点E，的中点F，
连接EF，BE，CF，过A作，垂足为G，
在正四棱柱中，
平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，所以侧棱在平面上的射影为，
由已知得，，，
所以，所以，
所以．
故选：B．
7．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）在三棱锥中，若顶点到底面三边距离相等，则顶点在平面上的射影为的（ ）
A．外心B．内心或旁心C．垂心D．重心
【答案】B
【解析】如图，在平面的射影为，连接，则平面，
作，，，
且分别交于，所以，
连接，，，因为平面，
所以，，，
所以在，，中，
，，，
又因为，所以，
由，，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
同理可证，，又因为，
所以点到的三边距离相等，为的内心或旁心，故B正确.
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：
①直线平面； ②直线平面；
③直线平面； ④直线平面CDE.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确.
对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确.
对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误.
对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·高三·湖南衡阳·期末）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ）
A．重合B．相交于一点C．两两平行D．恰有两条交线平行
【答案】ABC
【解析】
如图，作出一个长方体.
对于A项，可把平面依次取为平面，它们两两相交于共同的交线,故A项正确；
对于B项，可把平面依次取为平面，此时，,,,
而易得三条交线交于同一点D，故B项正确；
对于C项，可把平面依次取为平面,此时，,,,
而易得三条交线两两平行，故C项正确；
对于D项，可把平面依次取为平面,此时，,,,
若只有,因平面，而平面，则平面,
又平面,而平面平面=，则有,
即交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D项错误.
故选：ABC.
10．（2024·高三·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，而，,
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，A正确；
对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接，
则，而，,
故，即四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，B正确；
对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接，
设交于，连接，
则，而,
故，即四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，
这是不可能的，故此时平面不成立，C错误；
对于D，设底面为平行四边形，
连接交于点，交于，
则为的中点，连接，
由于为的中点，故；
又平面，平面，平面平面，
假设平面，则，
即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，
故此时平面不成立，D错误；
故选：AB
11．（2024·高三·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】
A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错；
B选项：取中点，连接，，因为，，分别为，，中点，
所以，，又平面，平面，所以∥平面，
因为，平面，所以平面∥平面，
因为平面，所以∥平面，故B正确；
C选项：连接，，因为为的中点，所以，所以平面截正方体的截面为，，
故C正确；
D选项：连接交于点，延长交的延长线于点，
因为为的中点，所以，，又，所以，
即为的三等分点，不是的中点，所以点和点到平面的距离不相等，故D错.
故选：BC．
三、填空题
12．（2024·高一·四川广元·阶段练习）如图，一块正方体形木料的上底面有一点E，经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直， 写出作该直线的方法
【答案】在平面中，画出经过点与垂直的直线
【解析】设经过点在上底面所画与垂直的直线为，
由是正方体，则平面，
平面，则有，又，
是平面内的相交直线，所以平面，
平面，则，
所以在平面中，画出经过点与垂直的直线即可．
故答案为：在平面中，画出经过点与垂直的直线
13．（2024·高二·四川巴中·期末）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .
【答案】
【解析】根据题意，因为平面，平面，
且平面平面
所以.
又是的中点，所以是的中点.
因为在中，，故.
故答案为：
14．（2024·高二·四川达州·阶段练习）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 .
【答案】
【解析】为中点，连接，如图所示，
在三棱柱中，平面，则平面，
平面，则，
为正三角形，为中点，则，
平面，，平面，
在平面内的射影为，则与平面所成角为，
，则，，，
中，，
所以与平面所成角的正切值为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·高二·上海·期末）为直角梯形，，，，平面，，
(1)求证：；
(2)求点到直线的距离.
【解析】（1）
证明：如图，连接,在中，,则，
因为直角梯形，且,则，
又，由可知①，
因平面,平面，故②
又平面，由①② 知平面,
因平面,故.
（2）
在中，因，由可知：,如图，过点作于，
由的面积可得：,解得：，
即点到直线的距离为.
16．（2024·山东·一模）如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【解析】（1）连接，在中，
∵点E和F分别是和的中点，，
又平面且平面，
平面；
（2）为中点，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
17．（2024·高二·湖南岳阳·期中）在四棱锥中，，，，，，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）平面，平面，
，
在中，，
在中，，
，又都是锐角，
，即，
又，面，
平面；
（2）取，
由（1）知平面，
为与平面所成角，
在中，，
，解得，
，
，
，
，
，
与平面所成角的正弦值为.
18．（2024·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成的角大小为，求的长．
【解析】（1） 平面，平面，
，
又底面为正方形，则
且，平面，
平面．
（2）平面，
，为锐角，
又 ，
为直线与所成的角，
，在中，，
，
在中，，，于是．
19．（2024·高一·全国·课堂例题）如图，在长方体中，，E为的中点，连接EA，EB，EC，和BD．

(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求直线AD到平面的距离．
【解析】（1）在长方体中，棱平面，平面，则，
于是就是直线与平面所成的角，
所以．
（2）在长方体中，直线，平面，平面，则直线平面，
所以直线AD到平面的距离即为点A到平面的距离，
由E为的中点，得，从而，因此．
又平面，平面，则，
而平面，因此平面，即点A到平面的距离为AE，且为，
所以直线AD到平面的距离为．
课程标准
学习目标
（1）能从直线与平面平行的定义出发，借助长方体等，猜想直线与平面平行的充分条件，并通过具体实例进行验证，归纳出直线与平面平行的判定定理；会用定义和判定定理判定直线与平面平行．
（2）能用自己的语言解释直线与平面平行的性质定理；能用直线与平面平行的性质定理解决问题．
（3）能够通过观察实物、模型、图片等抽象出几何的研究对象，说出直线与平面垂直的定义，发现其判定定理并做出解释．
（4）能利用直线和平面所成角的定义，确定直线与平面所成角的范围，能在图形中画出并求出直线和平面所成的角．
（1）掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
（2）掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．
（3）了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成的角的概念.
（4）掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
（5）掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题．
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
有无数个公共点
直线a与平面α相交
有且只有一个公共点
直线a与平面α平行
无公共点