北京市平谷区第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份北京市平谷区第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“数与3的差不小于1”用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
2．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省材料，其厚度约为米．将用科学记 数法表示为( )
A．B．C．D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（ ）
A．1B．2C．D．
6．计算结果是（ ）
A．B．C．D．0
7．若(a-3)(a+5)=a2+ma+n ,则m、n的值分别为( )
A．-3, 5B．2, -15C．-2, -15D．2, 15
8．方程组的解与的值互为相反数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．下列公式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．定义表示不少于实数的最小整数，例如：．给出下列结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④若，，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）
11．不等式组的解集是 ．
12．二元一次方程的一个解为，写一对符合题意的正整数，的值，则 ， ．
13．如果关于x的不等式的解集为，写出一个满足条件的a值
14．计算： ．
15．计算： ．
16．若方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
17．计算： ．
18．在本学期第六章《整式的运算》的学习中，我们用如图中面积的割补来解释某个乘法公式几何意义，这个乘法公式是 （用图中的字母表示）．

19．已知ax=3 ，ay=4，a2x+y 的值是 ．
20．我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分．）
21．计算
(1)
(2)
22．解方程组
(1)
(2)
23．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
24．求不等式组的整数解．
25．已知，求代数式的值．
26．关于和的二元一次方程组的解，均是正数，求满足条件的的整数值．
四、解答题（27小题5分，28小题4分，29题5分，30题6分）
27．2018年4月23日，第23个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，我区某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初二年级两个班订购图书情况如下表：
（1）求老舍文集和四大名著每套各是多少元；
（2）学校准备再购买老舍文集和四大名著共10套，总费用不超过700元，问学校有哪几种购买方案．
28．【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程（2）变形：，即，把方程（1）代入（3）得：，所以，将代入（1）得，所以原方程组的解为．
【解决问题】：已知，满足方程组，模仿小明的“整体代换”法求的值．
29．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是： ；
(3)已知，，求的值；
(4)如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，两个正方形的面积和为26，求的面积．
30．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：
①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为 ．
②计算： ， ．
(2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b．
(3)如果一个“迥异数”的十位数字是x，个位数字是，另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值．
答案与解析
1．B
【分析】本题考查了列不等式，根据关键字找出相应的关系是解答本题的关键；
根据“数与3的差”可列式，再根据“不小于”的含义是大于或等于，即，列出不等式即可．
【解答】根据题意列出不等式：
故选：B．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】将0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5．
故选C．
【点拨】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．D
【分析】根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可．
【解答】解：∵
∴
在数轴上表示D选项是正确的；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点．
4．B
【分析】此题考查了幂的运算法则，根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项法则进行判断即可．
【解答】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．与不是同类项，不能进行运算，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握二元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键．
把x，y代入二元一次方程组得，，计算求解即可．
【解答】解：将代入得
解得：，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了幂的乘方和合并同类项，正确掌握运算法则是解题的关键；
利用幂的乘方运算法则化简，进而根据合并同类项法则计算即可．
【解答】
故选：D．
7．B
【解答】【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，根据多项式相等满足的条件即可求出m与n的值．
【解答】∵（a-3）（a+5）=a2+2a-15=a2+ma+n，
∴m=2，n=-15，
故选B．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．B
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题的关键；
利用加减消元法得，，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【解答】
，得
，
把代入得，
，
与的值互为相反数，
，
解得．
故选：B．
9．C
【分析】此题考查了乘法公式，根据平方差公式和完全平方公式进行计算后即可得到答案．
【解答】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键．
根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答．
【解答】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确，故选项符合题意；
若，根据的意义，得，结论②错误，故选项不符合题意；
若，则，结论③正确，故选项符合题意；
当，，时，有∶，，
，
或6，即，结论④是正确，故选项符合题意．
综上所述：①③④正确，
故选∶C．
11．
【分析】此题考查了求一元一次不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【解答】解：
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：
12． 3（答案不唯一） 1（答案不唯一）
【分析】此题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，根据题意得到，选取合适的m值，求出n的值即可．
【解答】解：∵二元一次方程的一个解为，
∴
取当时，
解得
故答案为：3，1（答案不唯一）
13．（答案不唯一）
【分析】利用不等式的基本性质判断即可确定出a的值．
【解答】解：∵不等式ax＜3的解集为x＞，
∴a＜0，
则a的值可以为-1，
故答案为-1（答案不唯一）．
【点拨】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
14．##
【分析】此题考查了单项式的乘法，先利用积的乘方，再利用单项式的乘法计算即可．
【解答】解：
故答案为：
15．
【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，根据完全平方公式运算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
16．##
【分析】本题主要考查解一元一次方程和不等式的能力，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键．
解关于x的方程，由方程的解为负数得到关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】
,
∵方程的解为负数，
,
解得：，
故答案为：
17．2
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：2．
18．
【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
【解答】解：在图(1)中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为，
在图(2)中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为，
由于两个阴影部分面积相等，
所以有．
故答案为2．
19．36
【分析】首先根据已知条件可得a2x的值，然后利用同底数幂的乘法运算法则求出代数式的值即可．
【解答】解：∵ax=3，ay=4，
∴a2x=（ax）2=9，
∴a2x+y=a2x•ay=9×4=36．
故答案为36．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，利用性质把a2x+y转化成a2x•ay的形式是解题的关键．
20．-5
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．
【解答】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
【点拨】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方计算，再合并同类项；
（2）平方差公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
【解答】（1）
（2）
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式，单项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是解题的关键.
（1）利用代入法解方程组即可；
（2）利用加减法解方程组即可.
【解答】（1）
把①代入②得，
解得
把代入①得，，
∴
（2）
①＋②×2得，
解得
把代入①得，
解得
∴
23．；数轴表示见解析.
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，相似化成1，即可求出不等式的解集．
【解答】去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
把它的解集在数轴上表示为：
．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
24．，1，2，3
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【解答】解：
解①得
解②得
∴
∴整数解有：1，2，3．
25．6
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：


∵，
∴，
原式=．
26．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出m的取值范围．先求出方程组的解，然后结合均为正数，组成不等式组，即可求出m的取值范围，从而求得答案．
【解答】解：得，
∴，
得，
∴
∴，
∵均为正数，
∴，
解得：
则满足条件的的整数为：
27．（1）老舍文集第套50元，四大名著第套140元；（2）方案1：老舍文集8套，四大名著为2套；方案:2：老舍文集9套，四大名著为1套；方案1：老舍文集10套，四大名著为0套.
【分析】（1）设老舍文集每套x元，四大名著每套y元，根据题意列方程求解即可．
（2）设学校决定购买老舍文集a套，则购买四大名著（10-a）套，根据总费用不超过700元，列出不等式解答．
【解答】解（1）设老舍文集第套元，四大名著第套元,根据题意得：
，
.
答：老舍文集第套50元，四大名著第套140元．
（２）设学校决定购买老舍文集a套，则购买四大名著（10-a）套.
由题意，得
解得 根据题意，得：a=8,9,10
所以，该公司有以下三种方案：
方案1：老舍文集8套，四大名著为2套；
方案:2：老舍文集9套，四大名著为1套；
方案1：老舍文集10套，四大名著为0套.
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，从而得到实际问题的答案.
28．
【分析】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【解答】解：，
把方程变形，得到，
然后把代入，得，
∴，
∴．
29．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）将利用完全平方公式展开，再相加即可得出答案；
（4）设正方形的边长为x，则正方形的边长为，根据两个正方形的面积和为26得到，由得到，则，即可得到；
【解答】（1）解：图2中的阴影部分正方形的边长是，
故答案为：
（2）之间的等量关系是：，
故答案为：
（3）∵，
∴①
∵，
∴②
∵①+②，得：
∴，
∴，
（4）设正方形的边长为x，则正方形的边长为，
∵两个正方形的面积和为26，
∴
∵
∴
∴，
∴；
30．(1)①31， ②5， ，
(2)
(3)6或8
【分析】本题考查了因式分解的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键．
（1）①由“迥异数”的定义可得，②根据定义计算可得，
（2）由可求k的值，即可求b，
（3）根据题意可列出不等式，可求出即可求x的值
【解答】（1）①对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”，
“迥异数”为31，
故答案为：31；
②，
，
故答案为：5， ，
（2），
，
，
（3），
解得：，
，，
，
且x为正整数，
，7，8，
当时，，，
当时，，（不符合题意，舍去），
当时，，，
综上所述：x为6或8
老舍文集（套）
四大名著（套）
总费用（元）
初二（1）班
4
2
480
初二（2）班
2
3
520