河北省秦皇岛市卢龙县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河北省秦皇岛市卢龙县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了精心选一选，慧眼识金！，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的）
1．下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（ ）

A．都互为对顶角B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角
C．都不互为对顶角D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角
2．下列语句不是命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．不平行的两条直线有一个交点
C．x与y的和等于0吗？D．对顶角不相等．
3．在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅贝贝同学B．贝贝和晶晶C．晶晶和欢欢D．贝贝和欢欢
5．如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（ ）
A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
6．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线的距离为（ ）
A．4cmB．5cmC．小于3cmD．不大于3cm
7．作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
8．线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为( )厘米
A．3B．7C．3或7D．2或7
9．下列计算中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列运算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
11．若方程的两个解是，，则，的值为( )
A．，B．，C．，D．，
12．某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A．B．C．D．
13．若，则下列的结果正确的是（ ）
A．1B．C．D．
14．如图，将沿着某一方向平移一定的距离得到，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共18分）
15．将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 .
16．用科学记数法表示0.00000025是 ．
17．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
18．如图所示，小红用一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则 ．
19．如图，直线 ∥，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= °.

20．已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题：
（1）当秒时， 平方厘米；
（2）当时，小正方形平移的时间为 秒．
三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！共60分）
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)已知，，求的值．
22．解方程组：
23．如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由．
24．阅读并完成下面的证明过程：
已知：如图，，，分别平分和，求证：．
证明：∵分别平分和，
∴， （角平分线定义），
又∵，
∴（ ），
∴（ ），
又∵（已知），
∴ ，
∴（ ），
∴，
又∵，
∴（ ），
∴，
∴，
∴（ ）．
25．（1）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）

A．；B．
C．；D．
（2）我们可以用几何图形来解决一些代数问题：
①如图（甲）可以写出一个关于a，b代数恒等式表示 ；
②图（乙）是四张完全重合的矩形纸片拼成的图形，图中阴影部分为正方形，它的边长为 ；请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示 ．

26．如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，求的度数；
(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由．
答案与解析
1．D
【分析】根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角，
故选：D．
【点拨】本题考查对顶角的定义，是需要熟记的内容．
2．C
【解答】命题是判断一件事情的语句，根据命题的定义可得选项A、B、D是命题；选项C，没有对事情做出判定，不是命题.故选C.
3．C
【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高是解题的关键．根据三角形的高可进行求解．
【解答】解：过点B作线段所在直线的垂线段时，只有第一个图是正确的，其余三个都是错误的作法；
故选C．
4．D
【分析】根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，
贝贝：利用内错角相等，两直线平行；
晶晶：利用同位角相等，两直线平行；
欢欢：利用内错角相等，两直线平行；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质．属于基础题，熟记平行线的判定定理即可填空．
5．A
【解答】分析：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案．
解答：解：根据图形，△DEF向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．
故选A．
6．D
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线的距离≤PC，
即点P到直线的距离不大于3cm．
故选：D．
7．B
【解答】6700000=6.7×106．
故选B．
点拨：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
8．C
【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：（厘米）．
【解答】应分两种情况：
①如图：
a与c的距离为： （厘米）．
②如图
a与c的距离为： （厘米）．
综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米．
故选：C
【点拨】本题主要考查了平行线之间的距离．解决本题的关键是熟练掌握会计算平行线间的距离．
9．C
【分析】利用平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的结构特征判断：等号左边的式子里包含有相同的数和互为相反数的数，等号右边的式子是相同数的平方减去互为相反数的平方．
【解答】A、不符合平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的结构特征，故选项错误，不符合题意；
B、不符合平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的结构特征，故选项错误，不符合题意；
C、符合平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的结构特征，原式=（-a2）2-b2=a4-b2，故选项正确，符合题意；
D、不符合平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的结构特征，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点拨】此题考查了平方差公式，解题的关键是牢记平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，深刻理解平方差公式的结构特点．
10．D
【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可
【解答】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键．
11．C
【分析】把，代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可．
【解答】解：把，代入方程得
解得：
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键．
12．C
【解答】根据若每组7人，则余下4人，得方程7y=x-4，根据若每组8人，则有一组少3人，得方程8y=x+3．可列方程组为．故选C．
13．C
【分析】先确定原式的符号，再化为，从而可得答案．
【解答】解：

故选C．
【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法分逆运算，积的乘方运算的逆运算，掌握“（为正整数）”是解本题的关键．
14．D
【分析】根据平移的性质，平行线的性质进行判断即可．
【解答】解：由平移的性质可得，，，，，
∴，
∴①②④正确，③错误，
∴D正确，故符合要求；
故选：D．
【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点拨】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
16．
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【解答】解：
故答案为：．
17．20
【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【解答】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点拨】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解．
【解答】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，
，
，
∵，
，
故答案为：
19．140°
【分析】先根据平行线的性质，由//得∠3=∠1=40°，再根据平行线的判定，由∠α=∠β得AB//CD后根据平等线的性质得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入计算即可．
【解答】解：如图，

∵//，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β，
∴AB//CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°．
故答案为：140°．
考点：平行线的性质.
20． 1或5
【分析】（1）由题意可得出时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，再根据长方形的面积公式计算即可；
（2）由题意可得出重叠部分长方形的长，则可计算出宽为．再分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时和当重叠部分在大正方形的右边时，即可解答．
【解答】（1）时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，
∴．
故答案为：3．
（2）当时，重叠部分长方形的长，
∴宽为．
分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时，如图，
∴；
②当重叠部分在大正方形的右边时，如图，
∴．
综上可知小正方形平移的时间为1秒或5秒．
故答案为：1或5．
【点拨】本题考查平移的性质．明确平移前后图形的形状和面积不变和利用分类讨论的思想是解题关键．
21．(1)
(2)
(3)1
(4)8
【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，乘法公式，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
（1）先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式的法则计算；
（2）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项；
（3）先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减；
（4）先逆用同底数幂和幂的乘方法则变形，再把，代入计算．
【解答】（1）；
（2）
；
（3）原式；
（4）∵，，
∴．
22．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】
②-①×2得：y=3，
把y=3代入①得：x+3=5，
解得：x=2，
则方程组的解为．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．(1)见解析；(2) 见解析；(3) 见解析；
【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【解答】解：如图所示：
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿AC走，垂线段最短；
（3）沿BD走，垂线段最短．
【点拨】本题考查的是垂线段最短，线段的性质，两点之间线段最短．
24．；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直的定义
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论，垂直的定义，由角平分线的定义可得，，得，得到，又根据推导出，得到，即可得，又由得，得到，即，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【解答】证明：∵分别平分和，
∴，（角平分线定义），
又∵，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
又∵（已知），
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
又∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴，
∴（垂直的定义）．
故答案为：；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
25．（1）A；（2）①；②，
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用：
（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的长方形，可表示出面积为，据此可得打啊；
（2）①图甲中大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则大正方形面积为，据此可得答案；②图乙中阴影部分为一个边长为的正方形，则该阴影部分面积为，而阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则该阴影部分面积为，据此可得答案．
【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，，
故选：A；
（2）①图甲中大正方形的边长为，则其面积为，
而大正方形的面积等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则大正方形面积为，
∴，
故答案为：；
②图乙中阴影部分为一个边长为的正方形，则该阴影部分面积为，
而阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则该阴影部分面积为，
∴，
故答案为：，．
26．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）先标出和，然后再根据平行的性质可得，进而求出，然后再利用平行线的性质求解即可；
（2）作平行于格线，由平行线的性质得，，进而可求出．
【解答】（1）如图1：∵格线都互相平行，
∴，
∵，
∴，
∵格线都互相平行，
∴；
（2）如图2：作平行于格线，
∵格线都互相平行，
∴，，
∵
∴
图1 图2